經過上面兩個例子，我們可以看到，形如
的式子很重要。
事實上，對於一個給定的初等函數，對於定義域內(非端點)一個數 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，上式總是會趨向一個定值。
如果我們令 x 1 − x 0 = Δ x {\displaystyle x_{1}-x_{0}=\Delta x} ，那麼這個式子可以寫作：
定義：一般地，函數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 在 x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} 處的導數為 lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}} ，記作 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} 或 y ′ | x = x 0 {\displaystyle y'|_{x=x_{0}}} 。
導數描述的實際上是一個函數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 處的瞬時變化率。從幾何關係上講（參見5.1.1切線），某一點導數的值即為此點切線的斜率（傾斜角的正切）。
函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在定義域內（除端點）某一點 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的導數都是一個確定的數值 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} .
這樣，當 x {\displaystyle x} 變化時， f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 便是 x {\displaystyle x} 的一個函數，我們稱它為 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的導函數(derivative function)，經常也直接簡稱 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的導數。即
