高中数学/函数与三角/函数的奇偶性

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

函数的奇偶性是高中考试的基础考点。这是无论翘了多少节课，在考试前都应该知道的东西。不过，不是所有的普通高中通用教材都会明确给出函数奇偶性的概念。例如在2003年中国大陆人民教育出版社出版的《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》第1册（上）^[1]的函数章节中就没有明确提及奇偶性的概念。

预备知识

阅读本节内容，读者应该了解函数和复合函数的概念。

考试要求

应付中学考试，应该主要掌握利用定义证明函数的奇偶性、利用图象特点判断奇偶性。在此基础上，还应该掌握含参数的函数的奇偶性讨论、涉及广义奇偶性的对称问题。

后续课程联系

实际上在高中所学的函数知识中看不出它的实际用途。学习函数的奇偶性主要是为本科阶段的课程作准备。有关奇偶性（或广义奇偶性）的讨论价值会充分体现在对奇偶函数积分时的结果差异、三角级数的正交性、多重线性代数理论、量子力学中处理全同粒子/量子纠缠态/空间“宇称/极性”（parity，其实就是全局的对称性）等课题中。

基础知识

奇偶性的定义

奇函数（odd function）是指同时满足以下2个特性的一元函数 $f (x)$ ^[2]：
其定义域dom是关于原点对称的区间。

$\forall x \in d o m, f (- x) = - f (x)$

从几何上看，奇函数的图象是中心对称图形，且对称中心位于坐标系的原点^[2]^[3]。换句话说，奇函数的图象在绕原点做180度旋转后不会改变。这种关于原点的中心对称是特殊的旋转对称。

偶函数（even function）是指同时满足以下2个特性的一元函数 $f (x)$ ^[2]：
其定义域dom是关于原点对称的区间。

$\forall x \in d o m, f (- x) = f (x)$

从几何上看，偶函数的图象是轴对称图形，且对称轴刚好是坐标系的y轴^[2]^[3]。换句话说，偶函数的图象在对y轴作镜像反射后不会改变。这种关于坐标轴的两侧对称是特殊的轴对称。

注意：奇函数与偶函数从定义上看只差一个字和一个正负号，但是其图象的特点差异其实非常大。

既不是奇函数，也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。例如 $y = x + 1$ 就是一个非奇也非偶的函数，虽然它的定义域是关于原点对称的，但是它的图象既不关于原点呈中心对称，也不关于y轴呈两侧对称。又例如 $y = x (x \leq 10)$ 也是一个非奇也非偶的函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。又例如 $y = 0 (x \in ℝ)$ 是一个奇函数也是一个偶函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。

要判断一个函数是奇函数、偶函数还是其它函数应该按照如下的步骤：

验证函数的定义域关于原点是对称的。一般以文字简要说明即可。
在定义域内任取一点 $x_{0}$ ，计算 $f (- x_{0})$ 的值。如果发现计算结果等于 $f (x_{0})$ ，那么可以判断是奇函数；如果等于 $- f (x_{0})$ ；如果肯定不等于这二者，则为非奇数非偶函数。

反过来，如果已知一个函数的奇偶性，就等价于知道了以下条件：

函数的定义域关于原点是对称的。
在定义域内任取一点 $x_{0}$ ，对于奇函数肯定有关系 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立，对于偶函数肯定有关系 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立。

注意：遇到判断函数奇偶性的问题，先要判断定义域的对称性。如果检查完定义域满足对称性的要求，才可以考虑带入表达式进行计算化简。解题时，验证函数定义域的对称性是用简短的一句话就可以解决的事情，但是特别容易被一些初学者遗漏，从而导致逻辑流程不完整而考试扣分。

相关例题1：若 $f (x)$ 为 $ℝ$ 上的奇函数，则下列说法正确的有( )。

A.

f (x) + f (- x) = 0

；B.

f (x) - f (- x) = 2 f (x)

C.

f (x) f (- x) < 0

；D.

\frac{f (x)}{f (- x)} = - 1

相关例题2：分别判断下列各个函数在其默认定义域上的奇偶性，并对奇函数或偶函数按照定义给与证明：

(1)

f (x) = \frac{1}{x}

；

(2)

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

；

(3)

f (x) = | x |

；

(4)

f (x) = 2 x + 3

；

(5)

f (x) = (x - 1) (x + 1)

；

(6)

f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} - 1

；

(7)

f (x) = \frac{1 + 2^{x}}{1 - 2^{x}} (x \in ℤ)

；

(8)

f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} (x \in ℤ)

；

(9)

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}

；

(10)

f (x) = \frac{x}{| x |}

；

(11)

f (x) = \frac{1 + | x |}{1 - | x |}

；

(12)

f (x) = \frac{x^{2} + | x | + 1}{x^{2} - | x | + 1}

；

相关例题3：已知函数 $f (x) = m x^{2} + n x + 2 m + n$ 是偶函数，其定义域为[m+1, -2n+2]，求m和n的值。

相关例题4：已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在(-1, 1)上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ 。

(1) 求

f (x)

的表达式。

(2) 用定义证明

f (x)

在(-1, 1)上是递增函数。

(3) 解关于实数t的不等式

f (t - 1) + f (t) < 0

。

结合奇偶性与单调性判断图象特征或解不等式

相关例题1：若 $f (x) (x \in ℝ)$ 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在 $f (x)$ 图象上的是( )。

A.

(a, - f (a))

；B.

(- a, - f (a))

；C.

(- a, - f (- a))

；D.

(a, f (- a))

相关例题2：若偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1]$ 上单调递减，判断 $f (- \frac{3}{2})$ 、 $f (- 1)$ 和 $f (2)$ 的大小顺序。

相关例题3：已知奇函数 $f (x)$ 在 $ℝ$ 上单调递减。若 $f (1) = - 1$ ，求满足 $- 1 \leq f (x - 1) \leq 1$ 的x的取值范围。

相关例题4：若 $f (x)$ 是定义在 $ℝ$ 上的偶函数，且在区间 $[0, + \infty)$ 上是增函数，求不等式 $f (2 x - 1) - f (- 3) < 0$ 的解集。

相关例题5：若奇函数 $f (x)$ 是定义在 $ℝ$ 上的增函数，求不等式 $f (2 x - 1) + f (3) < 0$ 的解集。

复合函数的奇偶性

可以从奇/偶函数之间的四则运算和复合这2个角度来分析所得结果的奇偶性。

相关例题1：分别判断以下说法的正确性：

(1) 常函数都是偶函数。

(2) 奇函数的平方一定也是奇函数。

(3) 一个奇函数与另一个奇函数的乘积可能仍然是奇函数。

相关例题2：设函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域都为 $ℝ$ ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，则下列说法中正确的有( )。

A.

| f (x) | g (x)

是奇函数；B.

f (x) | g (x) |

是奇函数

C.

f (x) + | g (x) |

是偶函数；D.

| f (x) | + g (x)

是偶函数

相关例题3：已知 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别是定义在 $ℝ$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) - g (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，求 $f (1) + g (1)$ 的值。

相关例题4：已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且 $f (x) + g (x) = x^{2} - \frac{1}{x + 1} - 2$ ，求 $f (2)$ 的值。

常用结论与常见模型

函数的奇偶分解

奇偶性的一大用途就是我们可以将任何定义域关于原点对称的函数分解为一个奇函数与一个偶函数的和。有的高中教辅书上会将其作为习题列出，但作为一个重要且并不复杂的技巧，我们在这里将其做法作为结论直接给出。

任何定义域关于原点对称的函数 $f (x)$ 都可以被分解为一个奇函数 $g (x)$ 与一个偶函数 $h (x)$ 的和^[2]：
$f (x) = g (x) + h (x)$
其中， $g (x) = \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ ，其中， $h (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2}$ 。

这是一个在高中课程学习中很少被提及，但是在后续课程中很有用的基本技巧。它将一个比较一般的函数分解为对称性处理起来较为简单的2个部分。在后续的多重线性代数和量子力学的课程中，这个分解技巧也叫做函数的对称化（symmetrize）和反对称化（antisymmetrize），分解出来的奇函数部分叫做原函数的反对称部分，偶函数部分叫做原函数的对称部分。

根据奇偶性延拓函数

在保持某些性质必须依旧成立的前提下，扩大函数定义域范围的过程叫做函数的延拓（continuation或extension）。高中数学中常见的延拓形式有奇偶延拓和周期延拓。

相关例题1：已知函数 $f (x)$ 是定义在 $ℝ$ 上的奇函数，且当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f (x) = 2 x^{3} + x^{2}$ ，求 $f (2)$ 的值。

相关例题2：已知 $f (x)$ 是奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，且 $f (3) = 6$ ，求a的值。

相关例题3：已知 $f (x)$ 是定义在 $ℝ$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ 。

(1) 求函数

f (x)

的解析式，并画出其图象。

(2) 根据图象写出

f (x)

的单调区间和值域。

广义奇偶性

广义奇偶性就是关于特定纵轴或特定点的对称函数。广义奇偶性是对局限于原点和y轴的普通奇偶性的延伸。

假定函数 $f (x)$ 的定义域dom关于 $x = a$ 对称，关于函数的中心对称性，以下说法等价：

$f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 中心对称

$\forall x \in d o m, f (a - x) + f (a + x) = 2 b$

$\forall x \in d o m, f (x) + f (2 a - x) = 2 b$

满足以上条件的函数也叫做关于指定点对称的广义奇函数。

普通奇函数也满足以上情形，是 $a = 0$ 时的特例。

假定函数 $f (x)$ 的定义域dom关于 $x = a$ 对称，关于函数的轴对称性，以下说法等价^[2]：

$f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 对称。

$\forall x \in d o m, f (a - x) = f (a + x)$ 。

$\forall x \in d o m, f (x) = f (2 a - x)$ 。

满足以上条件的函数也叫做关于指定竖直线对称的广义偶函数。

普通偶函数也满足以上情形，是 $a = 0$ 时的特例。

相关例题1：如果函数 $f (x)$ 满足 $f (a - x) + f (b + x) = c$ ，则它的图象一定关于哪个点呈中心对称？

相关例题2：如果函数 $f (x)$ 满足 $f (a - x) = f (b + x)$ ，则它的图象一定关于哪条直线对称？

相关例题3： $f (x)$ 与 $f (2 a - x)$ 的图像什么时候是关于某个点对称的？什么时候是关于某条纵轴对称的？

补充习题

参考资料

↑ 人民教育出版社中学数学室. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003. ISBN 7-107-16755-3 （中文（中国大陆））.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 傅荣强 (主编). 第2讲“函数的性质”第2.2小节“函数的奇偶性”. (编) 田旭; 马建丽; 许冲冲. 龙门专题：新课标高中数学函数 1. 中国北京市东黄城根北街16号: 龙门书局. 2008: 73–84. ISBN 978-7-5088-1594-7 （中文（中国大陆））.
↑ ^3.0 ^3.1 （简体中文）高中数学竞赛讲义（三）──函数．人教网（2011年8月9日）．

外部链接

[1] 人民教育出版社中学数学室. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003. ISBN 7-107-16755-3 （中文（中国大陆））.

[龙门专题_2008_函数的奇偶性-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 傅荣强 (主编). 第2讲“函数的性质”第2.2小节“函数的奇偶性”. (编) 田旭; 马建丽; 许冲冲. 龙门专题：新课标高中数学函数 1. 中国北京市东黄城根北街16号: 龙门书局. 2008: 73–84. ISBN 978-7-5088-1594-7 （中文（中国大陆））.

[人教网_2011_竞赛讲义_函数-3] 3.0 ^3.1 （简体中文）高中数学竞赛讲义（三）──函数．人教网（2011年8月9日）．

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