高中數學/函數與三角/函數的奇偶性

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

函數的奇偶性是高中考試的基礎考點。這是無論翹了多少節課，在考試前都應該知道的東西。不過，不是所有的普通高中通用教材都會明確給出函數奇偶性的概念。例如在2003年中國大陸人民教育出版社出版的《全日制普通高級中學教科書(必修) 數學》第1冊（上）^[1]的函數章節中就沒有明確提及奇偶性的概念。

預備知識

閱讀本節內容，讀者應該了解函數和複合函數的概念。

考試要求

應付中學考試，應該主要掌握利用定義證明函數的奇偶性、利用圖象特點判斷奇偶性。在此基礎上，還應該掌握含參數的函數的奇偶性討論、涉及廣義奇偶性的對稱問題。

後續課程聯繫

實際上在高中所學的函數知識中看不出它的實際用途。學習函數的奇偶性主要是為本科階段的課程作準備。有關奇偶性（或廣義奇偶性）的討論價值會充分體現在對奇偶函數積分時的結果差異、三角級數的正交性、多重線性代數理論、量子力學中處理全同粒子/量子糾纏態/空間「宇稱/極性」（parity，其實就是全局的對稱性）等課題中。

基礎知識

奇偶性的定義

奇函數（odd function）是指同時滿足以下2個特性的一元函數 $f (x)$ ^[2]：
其定義域dom是關於原點對稱的區間。

$\forall x \in d o m, f (- x) = - f (x)$

從幾何上看，奇函數的圖象是中心對稱圖形，且對稱中心位於坐標系的原點^[2]^[3]。換句話說，奇函數的圖象在繞原點做180度旋轉後不會改變。這種關於原點的中心對稱是特殊的旋轉對稱。

偶函數（even function）是指同時滿足以下2個特性的一元函數 $f (x)$ ^[2]：
其定義域dom是關於原點對稱的區間。

$\forall x \in d o m, f (- x) = f (x)$

從幾何上看，偶函數的圖象是軸對稱圖形，且對稱軸剛好是坐標系的y軸^[2]^[3]。換句話說，偶函數的圖象在對y軸作鏡像反射後不會改變。這種關於坐標軸的兩側對稱是特殊的軸對稱。

注意：奇函數與偶函數從定義上看只差一個字和一個正負號，但是其圖象的特點差異其實非常大。

既不是奇函數，也不是偶函數的函數叫做非奇非偶函數。例如 $y = x + 1$ 就是一個非奇也非偶的函數，雖然它的定義域是關於原點對稱的，但是它的圖象既不關於原點呈中心對稱，也不關於y軸呈兩側對稱。又例如 $y = x (x \leq 10)$ 也是一個非奇也非偶的函數，因為它的定義域不是關於原點對稱的。又例如 $y = 0 (x \in ℝ)$ 是一個奇函數也是一個偶函數，因為它的定義域不是關於原點對稱的。

要判斷一個函數是奇函數、偶函數還是其它函數應該按照如下的步驟：

驗證函數的定義域關於原點是對稱的。一般以文字簡要說明即可。
在定義域內任取一點 $x_{0}$ ，計算 $f (- x_{0})$ 的值。如果發現計算結果等於 $f (x_{0})$ ，那麼可以判斷是奇函數；如果等於 $- f (x_{0})$ ；如果肯定不等於這二者，則為非奇數非偶函數。

反過來，如果已知一個函數的奇偶性，就等價於知道了以下條件：

函數的定義域關於原點是對稱的。
在定義域內任取一點 $x_{0}$ ，對於奇函數肯定有關係 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立，對於偶函數肯定有關係 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立。

注意：遇到判斷函數奇偶性的問題，先要判斷定義域的對稱性。如果檢查完定義域滿足對稱性的要求，才可以考慮帶入表達式進行計算化簡。解題時，驗證函數定義域的對稱性是用簡短的一句話就可以解決的事情，但是特別容易被一些初學者遺漏，從而導致邏輯流程不完整而考試扣分。

相關例題1：若 $f (x)$ 為 $ℝ$ 上的奇函數，則下列說法正確的有( )。

A.

f (x) + f (- x) = 0

；B.

f (x) - f (- x) = 2 f (x)

C.

f (x) f (- x) < 0

；D.

\frac{f (x)}{f (- x)} = - 1

相關例題2：分別判斷下列各個函數在其默認定義域上的奇偶性，並對奇函數或偶函數按照定義給與證明：

(1)

f (x) = \frac{1}{x}

；

(2)

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

；

(3)

f (x) = | x |

；

(4)

f (x) = 2 x + 3

；

(5)

f (x) = (x - 1) (x + 1)

；

(6)

f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} - 1

；

(7)

f (x) = \frac{1 + 2^{x}}{1 - 2^{x}} (x \in ℤ)

；

(8)

f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} (x \in ℤ)

；

(9)

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}

；

(10)

f (x) = \frac{x}{| x |}

；

(11)

f (x) = \frac{1 + | x |}{1 - | x |}

；

(12)

f (x) = \frac{x^{2} + | x | + 1}{x^{2} - | x | + 1}

；

相關例題3：已知函數 $f (x) = m x^{2} + n x + 2 m + n$ 是偶函數，其定義域為[m+1, -2n+2]，求m和n的值。

相關例題4：已知函數 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定義在(-1, 1)上的奇函數，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ 。

(1) 求

f (x)

的表達式。

(2) 用定義證明

f (x)

在(-1, 1)上是遞增函數。

(3) 解關於實數t的不等式

f (t - 1) + f (t) < 0

。

結合奇偶性與單調性判斷圖象特徵或解不等式

相關例題1：若 $f (x) (x \in ℝ)$ 是奇函數，則下列坐標表示的點一定在 $f (x)$ 圖象上的是( )。

A.

(a, - f (a))

；B.

(- a, - f (a))

；C.

(- a, - f (- a))

；D.

(a, f (- a))

相關例題2：若偶函數 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1]$ 上單調遞減，判斷 $f (- \frac{3}{2})$ 、 $f (- 1)$ 和 $f (2)$ 的大小順序。

相關例題3：已知奇函數 $f (x)$ 在 $ℝ$ 上單調遞減。若 $f (1) = - 1$ ，求滿足 $- 1 \leq f (x - 1) \leq 1$ 的x的取值範圍。

相關例題4：若 $f (x)$ 是定義在 $ℝ$ 上的偶函數，且在區間 $[0, + \infty)$ 上是增函數，求不等式 $f (2 x - 1) - f (- 3) < 0$ 的解集。

相關例題5：若奇函數 $f (x)$ 是定義在 $ℝ$ 上的增函數，求不等式 $f (2 x - 1) + f (3) < 0$ 的解集。

複合函數的奇偶性

可以從奇/偶函數之間的四則運算和複合這2個角度來分析所得結果的奇偶性。

相關例題1：分別判斷以下說法的正確性：

(1) 常函數都是偶函數。

(2) 奇函數的平方一定也是奇函數。

(3) 一個奇函數與另一個奇函數的乘積可能仍然是奇函數。

相關例題2：設函數 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定義域都為 $ℝ$ ，且 $f (x)$ 是奇函數， $g (x)$ 是偶函數，則下列說法中正確的有( )。

A.

| f (x) | g (x)

是奇函數；B.

f (x) | g (x) |

是奇函數

C.

f (x) + | g (x) |

是偶函數；D.

| f (x) | + g (x)

是偶函數

相關例題3：已知 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分別是定義在 $ℝ$ 上的偶函數和奇函數，且 $f (x) - g (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，求 $f (1) + g (1)$ 的值。

相關例題4：已知函數 $f (x)$ 與 $g (x)$ 分別是定義域上的奇函數與偶函數，且 $f (x) + g (x) = x^{2} - \frac{1}{x + 1} - 2$ ，求 $f (2)$ 的值。

常用結論與常見模型

函數的奇偶分解

奇偶性的一大用途就是我們可以將任何定義域關於原點對稱的函數分解為一個奇函數與一個偶函數的和。有的高中教輔書上會將其作為習題列出，但作為一個重要且並不複雜的技巧，我們在這裏將其做法作為結論直接給出。

任何定義域關於原點對稱的函數 $f (x)$ 都可以被分解為一個奇函數 $g (x)$ 與一個偶函數 $h (x)$ 的和^[2]：
$f (x) = g (x) + h (x)$
其中， $g (x) = \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ ，其中， $h (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2}$ 。

這是一個在高中課程學習中很少被提及，但是在後續課程中很有用的基本技巧。它將一個比較一般的函數分解為對稱性處理起來較為簡單的2個部分。在後續的多重線性代數和量子力學的課程中，這個分解技巧也叫做函數的對稱化（symmetrize）和反對稱化（antisymmetrize），分解出來的奇函數部分叫做原函數的反對稱部分，偶函數部分叫做原函數的對稱部分。

根據奇偶性延拓函數

在保持某些性質必須依舊成立的前提下，擴大函數定義域範圍的過程叫做函數的延拓（continuation或extension）。高中數學中常見的延拓形式有奇偶延拓和周期延拓。

相關例題1：已知函數 $f (x)$ 是定義在 $ℝ$ 上的奇函數，且當 $x \in (- \infty, 0)$ 時， $f (x) = 2 x^{3} + x^{2}$ ，求 $f (2)$ 的值。

相關例題2：已知 $f (x)$ 是奇函數，當 $x < 0$ 時， $f (x) = x^{2} + a x$ ，且 $f (3) = 6$ ，求a的值。

相關例題3：已知 $f (x)$ 是定義在 $ℝ$ 上的偶函數，當 $x \geq 0$ 時， $f (x) = x^{2} - 2 x$ 。

(1) 求函數

f (x)

的解析式，並畫出其圖象。

(2) 根據圖象寫出

f (x)

的單調區間和值域。

廣義奇偶性

廣義奇偶性就是關於特定縱軸或特定點的對稱函數。廣義奇偶性是對局限於原點和y軸的普通奇偶性的延伸。

假定函數 $f (x)$ 的定義域dom關於 $x = a$ 對稱，關於函數的中心對稱性，以下說法等價：

$f (x)$ 的圖象關於點 $(a, b)$ 中心對稱

$\forall x \in d o m, f (a - x) + f (a + x) = 2 b$

$\forall x \in d o m, f (x) + f (2 a - x) = 2 b$

滿足以上條件的函數也叫做關於指定點對稱的廣義奇函數。

普通奇函數也滿足以上情形，是 $a = 0$ 時的特例。

假定函數 $f (x)$ 的定義域dom關於 $x = a$ 對稱，關於函數的軸對稱性，以下說法等價^[2]：

$f (x)$ 的圖象關於直線 $x = a$ 對稱。

$\forall x \in d o m, f (a - x) = f (a + x)$ 。

$\forall x \in d o m, f (x) = f (2 a - x)$ 。

滿足以上條件的函數也叫做關於指定豎直線對稱的廣義偶函數。

普通偶函數也滿足以上情形，是 $a = 0$ 時的特例。

相關例題1：如果函數 $f (x)$ 滿足 $f (a - x) + f (b + x) = c$ ，則它的圖象一定關於哪個點呈中心對稱？

相關例題2：如果函數 $f (x)$ 滿足 $f (a - x) = f (b + x)$ ，則它的圖象一定關於哪條直線對稱？

相關例題3： $f (x)$ 與 $f (2 a - x)$ 的圖像什麼時候是關於某個點對稱的？什麼時候是關於某條縱軸對稱的？

補充習題

參考資料

↑ 人民教育出版社中學數學室. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003. ISBN 7-107-16755-3 （中文（中國大陸））.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 傅榮強 (主編). 第2講「函數的性質」第2.2小節「函數的奇偶性」. (編) 田旭; 馬建麗; 許沖沖. 龍門專題：新課標高中數學函數 1. 中國北京市東黃城根北街16號: 龍門書局. 2008: 73–84. ISBN 978-7-5088-1594-7 （中文（中國大陸））.
↑ ^3.0 ^3.1 （簡體中文）高中數學競賽講義（三）──函數．人教網（2011年8月9日）．

外部連結

[1] 人民教育出版社中學數學室. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003. ISBN 7-107-16755-3 （中文（中國大陸））.

[龙门专题_2008_函数的奇偶性-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 傅榮強 (主編). 第2講「函數的性質」第2.2小節「函數的奇偶性」. (編) 田旭; 馬建麗; 許沖沖. 龍門專題：新課標高中數學函數 1. 中國北京市東黃城根北街16號: 龍門書局. 2008: 73–84. ISBN 978-7-5088-1594-7 （中文（中國大陸））.

[人教网_2011_竞赛讲义_函数-3] 3.0 ^3.1 （簡體中文）高中數學競賽講義（三）──函數．人教網（2011年8月9日）．

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