高中数学/函数与三角/分段函数、复合函数与反函数的概念

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阅读指南[编辑]

基础知识[编辑]

分段函数[编辑]

函数可以在不同的几个定义域上分别单独给出定义,这样表示的函数叫做分段函数piecewise function)。分段函数最常用于表达某些人为构造的函数例子,例如图象有间断点的函数、各子区域上对应法则各不相同的函数。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解,这时也会需要用到分段函数的形式表示。

高中阶段涉及分段函数的常见题型是求值题和解方程题。

分段函数的多轮迭代求值[编辑]

这里列举一些典型的求值时需要多次迭代分段函数的问题。还有一些同类型的多次求值问题涉及函数的递推关系式,我们会在学习周期函数的章节中继续补充此类问题。

Crystal Clear action edit 相关例题1:设,求的值。

Crystal Clear action edit 相关例题2:已知,则的等价表达式为(    )。
A.x + |x|
B.0
C.
D.

Crystal Clear action edit 相关例题3:设,求的值。

包含分段函数的解方程题[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1:已知函数,若,求x的值。

Crystal Clear action edit 相关例题2:已知函数,且,求a的值。

Crystal Clear action edit 相关例题3:已知函数,求方程的解。

函数的简单复合与还原[编辑]

函数可以彼此相互嵌套,形成复合函数composite function),其嵌套的过程叫做函数复合function composition)。f(x)和g(x)的复合函数f(g(x))可以记作g·f。函数的内部发生换元或嵌入其它函数后,定义域一般也会有对应变化。

Crystal Clear action edit 相关例题1:已知函数,求函数的表达式。

Crystal Clear action edit 相关例题2:已知函数的定义域为[-2, 1],求函数的定义域。

Crystal Clear action edit 相关例题3:已知的定义域为[-2, 2],求的定义域。

Crystal Clear action edit 相关例题4:已知函数的定义域为[0, 2],求函数的定义域。

Crystal Clear action edit 相关例题5:已知是一次函数,且,求的表达式。

Crystal Clear action edit 相关例题6:已知函数满足,求的表达式。

Crystal Clear action edit 相关例题7:若函数,且,求a的值。

反函数[编辑]

原函数与其反函数的图象关于特殊直线y = x一定是轴对称的。

常用结论与常见模型[编辑]

分段的复合函数[编辑]

稍复杂的函数解析式求解[编辑]

对于一些稍复杂的求函数解析式的题目,经常需要用到如下技巧:

  • 换元法
  • 构造函数方程组法

其中,函数方程是指包含未知函数的方程,而函数方程组是同时成立的多个函数方程。大部分函数方程难以求解或是没有唯一解。除了本节介绍的简单类型,还有少数易解的函数方程会在函数方程简介章节介绍。

Crystal Clear action edit 相关例题:已知函数满足,求的表达式。

参考资料[编辑]

外部链接[编辑]

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