按照一定的顺序排列的一列数叫做数列 (Sequence of number),数列中的每个数叫做这个数列的项 ,数列中的每一个数都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常叫做首项),排在第二位的数叫做数列的第二项……以此类推,排在第n位的数叫做这个数列的第n项。 所以,数列的一般形式可以写成
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots }
图2-1-1
简记为
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
。其中,项目有限的数列叫做有穷数列 ,而项目无穷的数列则称之为无穷数列 。
数列可以看成正整数集N*(或其有限子集)为定义域的函数
a
n
=
f
(
n
)
{\displaystyle a_{n}=f(n)}
,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对的一列函数值,如图2-1-1所示。反过来,对于函数
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
,如果
f
(
i
)
{\displaystyle f(i)}
(
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
{\displaystyle i=1,2,3,\cdots }
)有意义,那么我们可以得到一个数列:
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
f
(
3
)
,
⋯
,
f
(
n
)
⋯
{\displaystyle f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n)\cdots }
如果数列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
的第n项与序号n之间的关系可以通过一个算式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式 。我们可以通过这个公式计算出数列的各个项。
一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看作最简单的等差数列,此时,A叫做a和b的等差中项(arithmetic mean)。
一般的,如果等差数列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
的首项是
a
1
{\displaystyle a_{1}}
,公差是
d
{\displaystyle d}
,根据等差数列的定义,可以得到
a
2
−
a
1
=
d
,
a
3
−
a
2
=
d
,
a
4
−
a
3
=
d
,
⋯
{\displaystyle a_{2}-a_{1}=d,a_{3}-a_{2}=d,a_{4}-a_{3}=d,\cdots }
所以
a
2
=
a
1
+
d
,
{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d,}
a
3
=
a
2
+
d
=
(
a
1
+
d
)
+
d
=
a
1
+
2
d
,
{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=\left(a_{1}+d\right)+d=a_{1}+2d,}
a
4
=
a
3
+
d
=
(
a
1
+
2
d
)
+
d
=
a
1
+
3
d
{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=\left(a_{1}+2d\right)+d=a_{1}+3d}
…………
由此可得等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d}
首先,引入一个小故事.
200多年前,高斯的数学老师提出了下面的问题:
1
+
2
+
3
+
⋯
+
=
100
=
?
{\displaystyle 1+2+3+\cdots +=100=?}
据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法算出了正确答案:
(
1
+
100
)
+
(
2
+
99
)
+
⋯
+
(
50
+
51
)
=
101
×
50
=
5050
{\displaystyle \left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\cdots +\left(50+51\right)=101\times 50=5050}
一般的,我们称
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}
为数列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
的前n项和,即
S
n
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}
。
由高斯算法的启示,对于公差为
d
{\displaystyle d}
的等差数列,我们用两种方法表示Sn:
S
n
=
a
1
+
(
a
1
+
d
)
+
(
a
1
+
2
d
)
+
⋯
+
[
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2d\right)+\cdots +\left[a_{1}+\left(n-1\right)d\right]}
......①
S
n
=
a
n
+
(
a
n
−
d
)
+
(
a
n
−
2
d
)
+
⋯
+
[
a
n
−
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2d\right)+\cdots +\left[a_{n}-\left(n-1\right)d\right]}
......②
由①+②得到:
2
S
n
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
1
+
a
n
)
+
⋯
+
(
a
1
+
a
n
)
{\displaystyle 2S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{n}\right)+\cdots +\left(a_{1}+a_{n}\right)}
一共有n个
由此得到等差数列的前n项和的公式
S
n
=
n
(
a
1
+
a
n
)
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
如果代入等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d}
,
S
n
{\displaystyle S_{n}}
也可以用首项
a
1
{\displaystyle a_{1}}
和公差
d
{\displaystyle d}
表示,即:
S
n
=
n
a
1
+
n
(
n
−
1
)
2
d
{\displaystyle S_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d}
再引入一个实例:
1.细胞分裂的个数可以组成下面的数列:
1
,
2
,
4
,
8
,
⋯
{\displaystyle 1,2,4,8,\cdots }
2.一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒成为第二轮,以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是:
1
,
20
,
20
2
,
20
3
,
⋯
{\displaystyle 1,20,20^{2},20^{3},\cdots }
。
可以看到,这些数列都有一个特点:从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一常数。
一般的如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么称这个数列为等比数列(geometric sequence),这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母
q
{\displaystyle q}
表示(
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0}
)。
与等差数列的概念类似,如果在a,b中间插入一个数G,那么G叫做a和b的等比中项。
下面我们来研究等比数列的通项公式。
通过上面两个实例,类比等差数列的推导过程,可以得到等比数列的通项公式:
a
n
=
a
1
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}
国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者,问他想要什么。发明者说:“请在棋盘的第一个格子里放一粒麦粒,第二个格子里放上两颗麦粒,第三个格子里放上四颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的二倍,直到第64个格子,请满足我的要求。”国王认为这个要求不高,就同意了。如果1000粒麦子的质量是40g,根据调查,目前世界小麦年产量为6亿吨。根据以上数据判断国王能否实现它的诺言。
我们分析一下,如果把各个格所放的麦粒看做一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。
一般的,对于等比数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots }
,它的前n项的和是
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}
根据等比数列的通项公式,上面的式子可以写成
S
n
=
a
1
+
a
1
q
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{n}-1+a_{1}q^{n}}
…………①
我们发现,如果用公比q乘①的两边,可以得到:
q
S
n
=
a
1
q
+
a
1
q
2
+
⋯
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
{\displaystyle qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q_{n}}
…………②
①、②的右边有很多相同的项,用①分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,得
(
1
−
q
)
S
n
=
a
1
−
a
1
q
n
{\displaystyle \left(1-q\right)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}}
当
q
≠
1
{\displaystyle q\neq 1}
时,等比数列前n项和的公式为
S
n
=
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
(
q
≠
1
)
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}(q\neq 1)}
因为
a
n
=
a
1
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}
,所以上面的公式还可以写成
S
n
=
a
1
−
a
n
q
1
−
q
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}}}
有了上述公式,就可以解决本节开头提出的问题。由
a
1
=
1
,
q
−
2
,
n
=
64
{\displaystyle a_{1}=1,q-2,n=64}
,可得
S
64
=
1
×
(
1
−
2
64
)
1
−
2
=
2
64
−
1
{\displaystyle S_{64}={\frac {1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}}=2^{64}-1}
这个数很大,超过了1.84×1019 ,估计一千粒麦子的质量约为40克,那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨,因此,国王根本不能实现它的诺言。
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