高中數學/必修五/第二章

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2.1 數列的概念與簡單表示法[編輯]

按照一定的順序排列的一列數叫做數列(Sequence of number),數列中的每個數叫做這個數列的,數列中的每一個數都和它的序號有關,排在第一位的數稱為這個數列的第一項(通常叫做首項),排在第二位的數叫做數列的第二項……以此類推,排在第n位的數叫做這個數列的第n項。所以,數列的一般形式可以寫成

圖2-1-1

簡記為。其中,項目有限的數列叫做有窮數列,而項目無窮的數列則稱之為無窮數列

數列可以看成正整數集N*(或其有限子集)為定義域的函數,當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對的一列函數值,如圖2-1-1所示。反過來,對於函數,如果()有意義,那麼我們可以得到一個數列:

如果數列的第n項與序號n之間的關係可以通過一個算式來表示,那麼這個公式叫做這個數列的通項公式。我們可以通過這個公式計算出數列的各個項。

2.2 等差數列[編輯]

一般的,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,那麼這個數列叫做等差數列(arithmetic sequence),這個常數叫做等差數列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.

由三個數a,A,b組成的等差數列可以看作最簡單的等差數列,此時,A叫做a和b的等差中項(arithmetic mean)。

一般的,如果等差數列的首項是,公差是,根據等差數列的定義,可以得到

所以

…………

由此可得等差數列的通項公式

2.3 等差數列的前n項和[編輯]

首先,引入一個小故事.

200多年前,高斯的數學老師提出了下面的問題:

據說,當其他同學忙於把100個數逐項相加時,10歲的高斯卻用下面的方法算出了正確答案:

一般的,我們稱為數列的前n項和,即

由高斯算法的啟示,對於公差為的等差數列,我們用兩種方法表示Sn:

......①

......②

由①+②得到:一共有n個

由此得到等差數列的前n項和的公式

如果代入等差數列的通項公式也可以用首項和公差表示,即:

2.4 等比數列[編輯]

再引入一個實例:

1.細胞分裂的個數可以組成下面的數列:

2.一輪計算機病毒可以查找計算機中的地址簿,通過郵件進行傳播。如果把病毒製造者發送病毒稱為第一輪,郵件接收者發送病毒成為第二輪,以此類推。假設每一輪每一台計算機都感染20台計算機,那麼在不重複的情況下,這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是:

可以看到,這些數列都有一個特點:從第二項起,每一項與它前一項的比等於同一常數。

一般的如果一個數列從第二項起,每一項與它前一項的比等於同一常數,那麼稱這個數列為等比數列(geometric sequence),這個常數叫做等比數列的公比,公比常用字母表示()。

與等差數列的概念類似,如果在a,b中間插入一個數G,那麼G叫做a和b的等比中項。

下面我們來研究等比數列的通項公式。

通過上面兩個實例,類比等差數列的推導過程,可以得到等比數列的通項公式:

2.5 等比數列的前n項和[編輯]

國際象棋起源於古代印度。相傳國王要獎勵國際象棋的發明者,問他想要什麼。發明者說:「請在棋盤的第一個格子裏放一粒麥粒,第二個格子裏放上兩顆麥粒,第三個格子裏放上四顆麥粒,以此類推,每個格子裏放的麥粒都是前一個格子麥粒數的二倍,直到第64個格子,請滿足我的要求。」國王認為這個要求不高,就同意了。如果1000粒麥子的質量是40g,根據調查,目前世界小麥年產量為6億噸。根據以上數據判斷國王能否實現它的諾言。

我們分析一下,如果把各個格所放的麥粒看做一個數列,我們可以得到一個等比數列,它的首項是1,公比是2,求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒總和就是求這個數列前64項的和。

一般的,對於等比數列,它的前n項的和是

根據等比數列的通項公式,上面的式子可以寫成

…………①

我們發現,如果用公比q乘①的兩邊,可以得到:

…………②

①、②的右邊有很多相同的項,用①分別減去②的兩邊,就可以消去這些相同的項,得

時,等比數列前n項和的公式為

因為,所以上面的公式還可以寫成

有了上述公式,就可以解決本節開頭提出的問題。由,可得

這個數很大,超過了1.84×1019,估計一千粒麥子的質量約為40克,那麼以上麥粒總質量超過了7000億噸,因此,國王根本不能實現它的諾言。

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