高中數學/必修五/第二章

2.1 數列的概念與簡單表示法

按照一定的順序排列的一列數叫做數列（Sequence of number），數列中的每個數叫做這個數列的項，數列中的每一個數都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第一項（通常叫做首項），排在第二位的數叫做數列的第二項……以此類推，排在第n位的數叫做這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成

$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots$

圖2-1-1

簡記為$\left\{a_{n}\right\}$。其中，項目有限的數列叫做有窮數列，而項目無窮的數列則稱之為無窮數列。

數列可以看成正整數集N*（或其有限子集）為定義域的函數$a_{n}=f(n)$，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對的一列函數值，如圖2-1-1所示。反過來，對於函數$y=f(x)$，如果$f(i)$($i=1,2,3,\cdots$)有意義，那麼我們可以得到一個數列:

$f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n)\cdots$

如果數列$\left\{a_{n}\right\}$的第n項與序號n之間的關係可以通過一個算式來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式。我們可以通過這個公式計算出數列的各個項。

2.2 等差數列

一般的,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,那麼這個數列叫做等差數列(arithmetic sequence),這個常數叫做等差數列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.

由三個數a,A,b組成的等差數列可以看作最簡單的等差數列，此時，A叫做a和b的等差中項(arithmetic mean)。

一般的,如果等差數列$\left\{a_{n}\right\}$的首項是$a_{1}$，公差是$d$，根據等差數列的定義，可以得到

$a_{2}-a_{1}=d,a_{3}-a_{2}=d,a_{4}-a_{3}=d,\cdots$

所以

$a_{2}=a_{1}+d,$

$a_{3}=a_{2}+d=\left(a_{1}+d\right)+d=a_{1}+2d,$

$a_{4}=a_{3}+d=\left(a_{1}+2d\right)+d=a_{1}+3d$

…………

由此可得等差數列的通項公式

$a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d$

2.3 等差數列的前n項和

首先,引入一個小故事.

200多年前,高斯的數學老師提出了下面的問題：$1+2+3+\cdots +=100=?$

據說，當其他同學忙於把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法算出了正確答案：

$\left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\cdots +\left(50+51\right)=101\times 50=5050$

一般的,我們稱$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$為數列$\left\{a_{n}\right\}$的前n項和，即$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$。

由高斯算法的啟示，對於公差為$d$的等差數列，我們用兩種方法表示Sn:

$S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2d\right)+\cdots +\left[a_{1}+\left(n-1\right)d\right]$ ......①

$S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2d\right)+\cdots +\left[a_{n}-\left(n-1\right)d\right]$......②

由①+②得到：$2S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{n}\right)+\cdots +\left(a_{1}+a_{n}\right)$一共有n個

由此得到等差數列的前n項和的公式

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

如果代入等差數列的通項公式$a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d$，$S_{n}$也可以用首項$a_{1}$和公差$d$表示，即：

$S_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d$

2.4 等比數列

再引入一個實例：

1.細胞分裂的個數可以組成下面的數列：$1,2,4,8,\cdots$

2.一輪計算機病毒可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播。如果把病毒製造者發送病毒稱為第一輪，郵件接收者發送病毒成為第二輪，以此類推。假設每一輪每一台計算機都感染20台計算機，那麼在不重複的情況下，這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是：$1,20,20^{2},20^{3},\cdots$。

可以看到，這些數列都有一個特點：從第二項起，每一項與它前一項的比等於同一常數。

一般的如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等於同一常數，那麼稱這個數列為等比數列（geometric sequence），這個常數叫做等比數列的公比，公比常用字母$q$表示（$q\neq 0$）。

與等差數列的概念類似，如果在a，b中間插入一個數G，那麼G叫做a和b的等比中項。

下面我們來研究等比數列的通項公式。

通過上面兩個實例，類比等差數列的推導過程，可以得到等比數列的通項公式：

$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$

2.5 等比數列的前n項和

國際象棋起源於古代印度。相傳國王要獎勵國際象棋的發明者，問他想要什麼。發明者說：「請在棋盤的第一個格子裡放一粒麥粒，第二個格子裡放上兩顆麥粒，第三個格子裡放上四顆麥粒，以此類推，每個格子裡放的麥粒都是前一個格子麥粒數的二倍，直到第64個格子，請滿足我的要求。」國王認為這個要求不高，就同意了。如果1000粒麥子的質量是40g，根據調查，目前世界小麥年產量為6億噸。根據以上數據判斷國王能否實現它的諾言。

我們分析一下，如果把各個格所放的麥粒看做一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒總和就是求這個數列前64項的和。

一般的，對於等比數列$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots$，它的前n項的和是

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$

根據等比數列的通項公式，上面的式子可以寫成

$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{n}-1+a_{1}q^{n}$…………①

我們發現，如果用公比q乘①的兩邊，可以得到：

$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q_{n}$…………②

①、②的右邊有很多相同的項，用①分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，得$\left(1-q\right)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}$

當$q\neq 1$時，等比數列前n項和的公式為

$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}(q\neq 1)$

因為$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，所以上面的公式還可以寫成

$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}}$

有了上述公式，就可以解決本節開頭提出的問題。由$a_{1}=1,q-2,n=64$,可得

$S_{64}={\frac {1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}}=2^{64}-1$

這個數很大，超過了1.84×10¹⁹，估計一千粒麥子的質量約為40克，那麼以上麥粒總質量超過了7000億噸，因此，國王根本不能實現它的諾言。

練習題

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