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綜合數學/實數及其運算/集合的基本運算

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集合是數學中一個基本概念,本課主要學習集合。

集合與元素

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一般地,我們把研究對象統稱為元素,把一些元素組成的整體叫做集合,簡稱。通常,我們用大寫字母表示集合,用小寫字母表示集合中的元素。如果 是集合 的元素,我們就稱 屬於集合,記作;反之,則稱 不屬於集合,記作[1]

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那麼就稱這個集合為全集(通常情況下,也把給定的集合稱為全集),通常記作

集合的表示

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集合一般有兩種表示法:列舉法描述法

列舉法

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顧名思義,列舉法就是一個一個將集合中的元素列舉出來,再用「」將元素括起來表示集合,元素與元數之間應用「」隔開。當元素個數過多時,可在將元素規律表示出來後用「」省略後續元素。

例1.6.1

用列舉法表示集合「不大於20的正奇數」,「大於或等於10的偶數」。
這裡集合是一個有限集合,元素較少,可以完全列舉;但集合是一個無窮集合,只能用省略號省去部分元素。

描述法

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描述法是表示一個集合最常用的方法。設為某個與有關的條件或法則,為滿足的全體構成的集合,則記

[2]

相應地,設為某個與有關的條件或法則,為滿足的全體有序數對構成的集合,則記

例1.6.2

用描述法表示例1.1.2中的集合。
依題意,用描述法表示集合,則


答案不唯一。

集合的分類

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集合有許多種,在數學上可以將集合按元素的個數分為無限集有限集空集,還可以按元素的類別分為數集點集等。

數集和點集

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顧名思義,數集就是數構成的集合,點集就是點構成的集合。我們見的最多的集合就是數集。數學中有一些特殊數集[3]

由有理數和無理數構成的集合叫作實數集,記作
由整數和分數構成的集合叫作有理數集,記作
由自然數和負整數構成的集合叫作整數集,記作
由零和正整數構成的集合叫作自然數集,記作。有時為了明確自然數集中包括0,我們會將它記作;反之,不包含0的自然數集(正整數集)我們記作
由除了1和它本身以外不再有其他的因數的整數構成的集合叫作質數集(有時稱作素數集),記作
由形如的數構成的集合叫作複數集,其中為虛數單位且,記作

還有一些特殊數集如四元數集()、八元數集()和十六元數集()等現階段不要求掌握,虛數集、無理數集(均用表示)等有消歧義的一般不使用。

無限集、有限集和空集

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是正整數的全體,且,如果存在一個正整數,使得集合一一對應,那麼我們稱集合A為有限集。同時定義,不含任何元素的集合稱作空集,記作。空集是特殊的有限集[4],且空集是否是點集或數集是任意的。相反地,有限集之外的集合我們叫作無限集。

例1.6.3

判斷下列集合是什麼集合

(1)
(2)
(3)
(4)

(1)依題意,集合「大於等於0、小於等於10的(實)數」,明顯,集合是無限數集;
(2)由於實數範圍內滿足的數只有0,且,故集合為有限數集;
(3)明顯,自然數集內沒有小於-3的數,則,為空集;
(4)由於集合滿足的點有無數個,故集合為一無限點集。

集合的性質

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集合有確定性互異性無序性三個性質。

確定性

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給定一個集合,則哪些元素在這個集合中,哪些元素不在都應是確定的。例如「我們班個子高的學生」就不是一個集合,因為多高才叫「高個子」是不確定的,不滿足集合的確定性;而「我們班身高大於170 cm的學生」是一個集合。或說,任意給定一個元素,則它是否屬於集合是確定的。

互異性

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集合中任意兩個元素都是不同的對象。如不是一個集合,而才是一個集合[5]。互異性使集合中的元素是沒有重複,即使兩個相同的對象在同一個集合中,也只能算作這個集合的一個元素。

無序性

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集合中的元素排列是沒有順序的。例如,集合

以上就是集合的三個性質。

集合間的基本關係和運算

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集合間的基本關係 

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一般地,對於兩個集合,如果集合中的任何一種元素都是集合的元素,我們則稱集合是集合子集,記作

(或

讀作「包含於」(或「包含」)。同時,如果有兩個集合滿足,我們則稱這兩個集合相等,記作


若對於兩個集合,有


我們則稱集合是集合真子集,記作[6]

(或

讀作「真包含於」(或「真包含」)。 由上述定義我們可以得到(子集的性質):

1. 空集是任何集合的子集;
2. 任何集合都是它本身的子集,即
3. (集合的傳遞性)如果集合



更一般地,我們有:




4.  若集合中有個元素,則的子集共有,真子集有個。

集合的相等和真子集均滿足上述性質。證明略。

例1.6.4

列舉出集合

的全部子集。
集合的全部子集有:

集合的相關運算

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一般地,由集合與集合的所有元素構成的集合,稱為併集,記為


可表示為

又有,由集合與集合的所有公共元素構成的集合,稱為交集,記為


可表示為

例1.6.5

若集合



由題,有

對於由所有屬於集合但不屬於集合的元素,我們稱為集合相對於相對補集,記作

[7]

可表示為


特殊地,集合相對於全集的補集叫作絕對補集,記作

[8]

可表示為


由所有屬於但不屬於的元素所構成的集合叫作集合對稱差,記作

可表示為


關於集合運算有以下常用結論:

(1)等冪律
(2)同一律
(3)互補律
(4)交換律
(5)結合律
(6)分配率
(7)吸收率
(8)反演律

利用相關定義即可證明,略。上述運算定律在以後會有很大幫助。

容斥原理

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若記有限集合中的元素個數為[9],則由Venn圖(下圖)可知:

1.
2.

一般地,對於個有限集合,則有

我們稱上述公式為容斥定理
該原理可以用數學歸納法證明。
時,結論顯然成立。
假設命題對成立,需證明命題對也成立。
注意到,由的情形可知:


由歸納假設,對於個集合,有


又由歸納假設,對於個集合,有

把上兩式代入一式,即得容斥原理。

Venn圖

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在2.3中提到的Venn圖是用於顯示元素集合重疊區域的圖示,也稱維恩圖、文氏圖。在集合論中,常常用Venn圖來表示集合間的關係或運算。
同樣的,我們之前學過的集合的關係和運算也可以用Venn圖表示如下:

區間與鄰域

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集合論中常用的實數集合為區間與鄰域。
,我們定義:

(1)閉區間
(2)開區間
(3)半開區間
(3.1)左開區間:
(3.2)右開區間:
(4)無窮區間
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)  

通常,我們將上述四類區間統稱為區間。其中(1)-(3)我們稱為有限區間分別稱為區間的左端點、右端點。
為某個正數,則稱開區間為點鄰域;稱為鄰域的中心,為鄰域的半徑。
的鄰域去掉中心後的集合


稱為點空心鄰域去心鄰域;稱開區間為點左鄰域為點右鄰域
的鄰域可表示為不等式


的空心鄰域可表示為不等式

注釋

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  1. 有時也將記作
  2. 當描述法式子中未指明數的性質時,默認為實數。
  3. 有時可以用粗體字母表示特殊數集的符號。
  4. 由於空集不符合有限集定義,故有時不將它看作有限集。
  5. 有時也將含有幾個相同的元素的集合視為集合,並將幾個相同元素視為一個元素。
  6. 有時也將「」寫作「」,多見於我國(指中華人民共和國)中學教材。
  7. 有時也記為