综合数学/实数及其运算/集合的基本运算

集合是数学中一个基本概念，本课主要学习集合。

集合与元素

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合，简称集。通常，我们用大写字母 $A, B, C \dots$ 表示集合，用小写字母 $a, b, c \dots$ 表示集合中的元素。如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，我们就称 $a$ 属于集合 $A$ ，记作 $a \in A$ ；反之，则称 $a$ 不属于集合 $A$ ，记作 $a \in̸ A$ ^[1]。

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常情况下，也把给定的集合称为全集），通常记作 $U$ 或 $I$ 。

集合的表示

集合一般有两种表示法：列举法和描述法。

列举法

顾名思义，列举法就是一个一个将集合中的元素列举出来，再用“ ${}$ ”将元素括起来表示集合，元素与元数之间应用“ $,$ ”隔开。当元素个数过多时，可在将元素规律表示出来后用“ $\dots$ ”省略后续元素。

例1.6.1

用列举法表示集合 $A =$ “不大于20的正奇数”， $B =$ “大于或等于10的偶数”。
解这里集合 $A$ 是一个有限集合，元素较少，可以完全列举；但集合 $B$ 是一个无穷集合，只能用省略号省去部分元素。
故

\begin{matrix} A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}, \\ B = {10, 12, 14, 16, \dots} 。 \end{matrix}

描述法

描述法是表示一个集合最常用的方法。设 $P (x)$ 为某个与 $x$ 有关的条件或法则， $X$ 为满足 $P (x)$ 的全体 $x$ 构成的集合，则记 $X$ 为

X = {x | P (x)}

。^[2]

相应地，设 $P (x, y)$ 为某个与 $x, y$ 有关的条件或法则， $A$ 为满足 $P (x, y)$ 的全体有序数对 $(x, y)$ 构成的集合，则记 $A$ 为

A = {(x, y) | P (x, y)}

。

例1.6.2

用描述法表示例1.1.2中的集合。
解依题意，用描述法表示集合，则

\begin{matrix} A = {x | x = 2 n + 1, 0 \leq n \leq 9, n \in ℤ}, \\ B = {x | x = 2 n, n \geq 5, n \in ℤ} 。 \end{matrix}

答案不唯一。

集合的分类

集合有许多种，在数学上可以将集合按元素的个数分为无限集、有限集和空集，还可以按元素的类别分为数集和点集等。

数集和点集

顾名思义，数集就是数构成的集合，点集就是点构成的集合。我们见的最多的集合就是数集。数学中有一些特殊数集^[3]：

由有理数和无理数构成的集合叫作实数集，记作

ℝ

；

由整数和分数构成的集合叫作有理数集，记作

ℚ

；

由自然数和负整数构成的集合叫作整数集，记作

ℤ

；

由零和正整数构成的集合叫作自然数集，记作

ℕ

。有时为了明确自然数集中包括0，我们会将它记作

ℕ_{0}

；反之，不包含0的自然数集（正整数集）我们记作

ℕ^{*}

；

由除了1和它本身以外不再有其他的因数的整数构成的集合叫作质数集（有时称作素数集），记作

ℙ

；

由形如

a + b i

的数构成的集合叫作复数集，其中

a, b \in ℝ

，

i

为虚数单位且

i^{2} = - 1

，记作

ℂ

；

还有一些特殊数集如四元数集（ $ℍ$ ）、八元数集（ $𝕆$ ）和十六元数集（ $𝕊$ ）等现阶段不要求掌握，虚数集、无理数集（均用 $𝕀$ 表示）等有消歧义的一般不使用。

无限集、有限集和空集

令 $ℕ^{*}$ 是正整数的全体，且 $N_{n} = {1, 2, 3, \dots, n}$ ,如果存在一个正整数 $n$ ，使得集合 $A$ 与 $N_{n}$ 一一对应，那么我们称集合A为有限集。同时定义，不含任何元素的集合称作空集，记作 $\emptyset$ 。空集是特殊的有限集^[4]，且空集是否是点集或数集是任意的。相反地，有限集之外的集合我们叫作无限集。

例1.6.3

判断下列集合是什么集合

(1)

A = {x | 0 ⩽ x \leq 10}

；

(2)

B = {x | x \in ℤ, x^{2} ⩽ 0}

；

(3)

C = {x | x \in ℕ, x < - 3}

；

(4)

D = {(x, y) | x ⩾ y}

；

解 (1)依题意，集合 $A =$ “大于等于0、小于等于10的（实）数”，明显，集合 $A$ 是无限数集；
(2)由于实数范围内满足 $x^{2} \leq 0$ 的数只有0，且 $0 \in ℤ$ ，故集合 $B = {0}$ 为有限数集；
(3)明显，自然数集内没有小于-3的数，则 $C = \emptyset$ ，为空集；
(4)由于集合满足 $x ⩾ y$ 的点有无数个，故集合 $D$ 为一无限点集。

集合的性质

集合有确定性、互异性和无序性三个性质。

确定性

给定一个集合，则哪些元素在这个集合中，哪些元素不在都应是确定的。例如“我们班个子高的学生”就不是一个集合，因为多高才叫“高个子”是不确定的，不满足集合的确定性；而“我们班身高大于170 cm的学生”是一个集合。或说，任意给定一个元素 $a$ ，则它是否属于集合 $A$ 是确定的。

互异性

集合中任意两个元素都是不同的对象。如 ${1, 1, 2}$ 不是一个集合，而 ${1, 2}$ 才是一个集合^[5]。互异性使集合中的元素是没有重复，即使两个相同的对象在同一个集合中，也只能算作这个集合的一个元素。

无序性

集合中的元素排列是没有顺序的。例如，集合 ${1, 3, 2} = {1, 2, 3}$ 。

以上就是集合的三个性质。

集合间的基本关系和运算

集合间的基本关系

一般地，对于两个集合 $A, B$ ，如果集合 $A$ 中的任何一种元素都是集合 $B$ 的元素，我们则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记作

A \subseteq B

（或

B \supseteq A

）

读作“ $A$ 包含于 $B$ ”（或“ $B$ 包含 $A$ ”）。同时，如果有两个集合 $A, B$ 满足 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，我们则称这两个集合相等，记作

A = B

。

若对于两个集合 $A, B$ ，有

A \subseteq B

但

A \neq B

我们则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记作^[6]

A \subset B

（或

B \supset A

）

读作“ $A$ 真包含于 $B$ ”（或“ $B$ 真包含 $A$ ”）。由上述定义我们可以得到（子集的性质）：

1. 空集是任何集合的子集；

2. 任何集合都是它本身的子集，即

A \subseteq A

；

3. （集合的传递性）如果集合

A \subseteq B, B \subseteq C

，

则

A \subseteq C

；

更一般地，我们有：

若

A_{1} \subseteq A_{2}, A_{2} \subseteq A_{3}, \dots, A_{n - 1} \subseteq A_{n},

则

A_{1} \subseteq A_{n}

；

4. 若集合

A

中有

n

个元素，则

A

的子集共有

2^{n}

，真子集有

2^{n - 1}

个。

集合的相等和真子集均满足上述性质。证明略。

例1.6.4

列举出集合

A = {1, 2, 3}

的全部子集。
解集合 $A$ 的全部子集有：

\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}

集合的相关运算

一般地，由集合 $A$ 与集合 $B$ 的所有元素构成的集合，称为 $A, B$ 的并集，记为

A \cup B

，

可表示为

A \cup B = {x | x \in A \lor x \in B}

。

又有，由集合 $A$ 与集合 $B$ 的所有公共元素构成的集合，称为 $A, B$ 的交集，记为

A \cap B

，

可表示为

A \cap B = {x | x \in A \land x \in B}

。

例1.6.5

若集合

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}

，

求 $A \cap (A \cup B)$
解由题，有

\begin{matrix} A \cap (A \cup B) & = {1, 2, 3} \cap ({1, 2, 3} \cup {2, 3, 4}) \\ = {1, 2, 3} \cap {1, 2, 3, 4} \\ = {1, 2, 3} 。 \end{matrix}

对于由所有属于集合 $B$ 但不属于集合 $A$ 的元素，我们称为集合 $A$ 相对于 $B$ 的相对补集，记作

B - A

^[7]，

可表示为

B - A = {x | x \in B \land x \in̸ A}

。

特殊地，集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集叫作绝对补集，记作

\overline{A}

^[8]，

可表示为

\overline{A} = {x | x \in̸ A}

。

由所有属于 $A \cup B$ 但不属于 $A \cap B$ 的元素所构成的集合叫作集合 $A, B$ 的对称差，记作

A Δ B

，

可表示为

A Δ B = {x | x \in A \cup B \land x \in̸ A \cap B}

。

关于集合运算有以下常用结论：

(1)等幂律：

A \cap A = A, A \cup A = A

；

(2)同一律：

A \cap I = A, A \cup I = I, A \cap \emptyset = \emptyset, A \cup \emptyset = A

；

(3)互补律：

A \cap \overline{A} = \emptyset, A \cup \overline{A} = I, \overline{\overline{A}} = A, \overline{I} = \emptyset, \overline{\emptyset} = I

；

(4)交换律：

A \cap B = B \cap A, A \cup B = B \cup A

；

(5)结合律：

A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C, A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C

；

(6)分配率：

A \cap (⋃_{i} A_{i}) = ⋃_{i} (A \cap A_{i}), A \cup (⋂_{i} A_{i}) = ⋂_{i} (A \cap A_{i})

；

(7)吸收率：

A \cup (A \cap B) = A, A \cap (A \cup B) = A

；

(8)反演律：

\overline{⋂_{i} A_{i}} = ⋂_{i} \overline{A_{i}}, \overline{⋃_{i} A_{i}} = ⋃_{i} \overline{A_{i}}

。

利用相关定义即可证明，略。上述运算定律在以后会有很大帮助。

容斥原理

若记有限集合 $A$ 中的元素个数为 $| A |$ ^[9]，则由Venn图（下图）可知：

1.

| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |

；

2.

| A \cup B \cup C | = | A | + | B | + | C | - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C |

。

A∪B
A∪B∪C

一般地，对于 $n$ 个有限集合 $A_{1}, A_{2} \dots, A_{n}$ ，则有

| ⋃_{i = 1}^{n} | = \sum_{k = 1}^{n} ({(- 1)}^{k - 1} (\sum_{1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n} | ⋂_{j = 1}^{k} A_{i_{j}} |))

。

我们称上述公式为容斥定理。
证该原理可以用数学归纳法证明。
当 $n = 2$ 时，结论显然成立。
假设命题对 $n - 1$ 成立，需证明命题对 $n$ 也成立。
注意到 $⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = (⋃_{i = 1}^{n - 1} A_{i}) \cup A_{n}$ ，由 $n = 2$ 的情形可知：

\begin{matrix} | ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} | & = | ⋃_{i = 1}^{n - 1} A_{i} | + | A_{n} | - | (⋃_{i = 1}^{n - 1} A_{i}) \cap A_{n} | \\ = | ⋃_{i = 1}^{n - 1} A_{i} | + | A_{n} | - | ⋃_{i = 1}^{n - 1} (A_{i} \cap A_{n}) | ， \end{matrix}

由归纳假设，对于 $n - 1$ 个集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} - 1$ ，有

\begin{matrix} | ⋂_{i = 1}^{n} (A_{i} \cap A_{n}) | & = \sum_{k = 1}^{n - 1} ({(- 1)}^{k - 1} (\sum_{1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n} | ⋂_{j = 1}^{k} (A_{i_{j}} \cap A_{n}) |)) \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} ({(- 1)}^{k - 1} (\sum_{1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n} | (⋂_{j = 1}^{k} A_{i_{j}}) \cap A_{n} |)) ， \end{matrix}

又由归纳假设，对于 $n - 1$ 个集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} - 1$ ，有

| ⋃_{i = 1}^{n - 1} A_{i} | = \sum_{k = 1}^{n - 1} ({(- 1)}^{k - 1} (\sum_{1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n} | ⋂_{j = 1}^{k} A_{i_{j}} |))

，

把上两式代入一式，即得容斥原理。 $◼$

Venn图

在2.3中提到的Venn图是用于显示元素集合重叠区域的图示，也称维恩图、文氏图。在集合论中，常常用Venn图来表示集合间的关系或运算。
同样的，我们之前学过的集合的关系和运算也可以用Venn图表示如下：

U
A^C∪B^C
A∪C
A∪B^C
A Δ B
A^C∪B
B^C
A
A^C
B
A∩B^C
(A Δ B)^C
A^C∩B
A^C∩B^C
A∩B
∅

区间与邻域

集合论中常用的实数集合为区间与邻域。
设 $a, b \in ℝ$ 且 $a < b$ ，我们定义：

(1)闭区间：

[a, b] = {x | a ⩽ x ⩽ b}

；

(2)开区间：

(a, b) = {x | a < x < b}

；

(3)半开区间：

(3.1)左开区间：

(a, b] = {x | a < x ⩽ b}

；

(3.2)右开区间：

[a, b) = {x | a ⩽ x < b}

；

(4)无穷区间：

(4.1)

(- \infty, b] = {x | x ⩽ b}

；

(4.2)

(- \infty, b) = {x | x < b}

；

(4.3)

[a, + \infty) = {x | x ⩾ a}

；

(4.4)

(a, + \infty) = {x | x > a}

；

(4.5)

(+ \infty, - \infty) = ℝ

。

通常，我们将上述四类区间统称为区间。其中(1)-(3)我们称为有限区间， $a, b$ 分别称为区间的左端点、右端点。
设 $ε$ 为某个正数，则称开区间 $(x_{0} - ε, x_{0} + ε)$ 为点 $x_{0}$ 的 $ε$ 邻域；称 $x_{0}$ 为邻域的中心， $ε$ 为邻域的半径。
点 $x_{0}$ 的邻域去掉中心 $x_{0}$ 后的集合

(x_{0} - ε, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + ε)

称为点 $x_{0}$ 的空心邻域或去心邻域；称开区间 $(x_{0} - ε, x_{0})$ 为点 $x_{0}$ 的左邻域， $(x_{0}, x_{0} + ε)$ 为点 $x_{0}$ 的右邻域。
点 $x_{0}$ 的邻域可表示为不等式

| x - x_{0} | < ε

；

点 $x_{0}$ 的空心邻域可表示为不等式

0 < | x - x_{0} | < ε

。

注释

↑ 有时也将 $\in̸$ 记作 $\overline{\in}$ 。
↑ 当描述法式子中未指明数的性质时，默认为实数。
↑ 有时可以用粗体字母表示特殊数集的符号。
↑ 由于空集不符合有限集定义，故有时不将它看作有限集。
↑ 有时也将含有几个相同的元素的集合视为集合，并将几个相同元素视为一个元素。
↑ 有时也将“ $\subset, \supset$ ”写作“ $⫋, ⫌$ ”，多见于我国（指中华人民共和国）中学教材。
↑ 或 $∁_{B} A$ 。
↑ 或 $A^{C}$ 、 $∁_{U} A$ 。
↑ 有时也记为 $c a r d (A)$ 。

[1] 有时也将 $\in̸$ 记作 $\overline{\in}$ 。

[2] 当描述法式子中未指明数的性质时，默认为实数。

[3] 有时可以用粗体字母表示特殊数集的符号。

[4] 由于空集不符合有限集定义，故有时不将它看作有限集。

[5] 有时也将含有几个相同的元素的集合视为集合，并将几个相同元素视为一个元素。

[6] 有时也将“ $\subset, \supset$ ”写作“ $⫋, ⫌$ ”，多见于我国（指中华人民共和国）中学教材。

[7] 或 $∁_{B} A$ 。

[8] 或 $A^{C}$ 、 $∁_{U} A$ 。

[9] 有时也记为 $c a r d (A)$ 。

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