高中數學/函數與三角/兩角和與差的三角函數公式

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

和角公式與差角公式是推導大量其它三角函數公式的基石。在證明和角公式與差角公式時，我們參照了中國大陸2003年版《全日制普通高級中學教科書·數學》的思路。這種證明不複雜，但是不算特別簡明。在向量章節中學習了向量的點積和叉積後，和角公式與差角公式的幾何意義會變得非常自然。

在後續的微積分課程中，利用復指數的歐拉恆等式也可以快速導出本節的和角公式和差角公式。但是歐拉恆等式的常見證明本身也是依賴許多三角函數公式的，因此並不適合作為和角公式和差角公式的證明方法，否則容易導致循環論證。

預備知識

閱讀本節內容只需要掌握弧度制與任意角的三角函數值章節的知識。

考試要求

大多數情況下，掌握和角公式與差角公式的正向與逆向使用即可。它們本身的證明步驟比較繁瑣，不必作為學習重點，考試很少考它們的由來證明。

後續課程聯繫

在高中會作適當了解的雙曲函數和後續微積分課程中的雅可比橢圓函數也有類似的兩個變量的加法與減法公式。

基礎知識

和角公式與差角公式

公式推導

在平面直角坐標系的單位圓上取如下4個點：
$P_1=(1,0),P_2=(\cos (a+b),\sin (a+b)),P_3=(\cos a,\sin a),P_4=(\cos (-b),\sin (-b))$
這樣取點的動機是我們希望設法用角a和角b的正弦值和餘弦值的組合表示出這兩角之和或兩角之差的正餘弦值。

由兩點間的距離公式（畢氏定理的推論）可知：
$\begin{array}{c}|P_1{P}_2{|}^2=(\cos (a+b)-1{)}^2+{\sin }^2(a+b)\\ |P_3{P}_4{|}^2=(\cos (-b)-\cos a{)}^2+(\sin (-b)-\sin a{)}^2\end{array}$

記坐標系的原點為O，因為$\mathrm{△}{P}_{1}O{P}_2$與$\mathrm{△}{P}_{3}O{P}_4$全等，所以有$|P_1{P}_2{|}^2=|P_3{P}_4{|}^2$，即：
$\begin{array}{c}(\cos (a+b)-1{)}^2+{\sin }^2(a+b)=(\cos (-b)-\cos a{)}^2+(\sin (-b)-\sin a{)}^2\\ \Rightarrow {\cos }^2(a+b)-2\cos (a+b)+1+{\sin }^2(a+b)={\cos }^2(-b)-2\cos (-b)\cos a+{\cos }^{2}a+{\sin }^2(-b)-2\sin (-b)\sin a+{\sin }^{2}a\\ \Rightarrow ({\cos }^2(a+b)+{\sin }^2(a+b))-2\cos (a+b)+1={\cos }^{2}b-2\cos b\cos a+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}b+2\sin b\sin a+{\sin }^{2}a\\ \Rightarrow 1-2\cos (a+b)+1=({\sin }^{2}b+{\cos }^{2}b)+({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)-2\cos b\cos a+2\sin b\sin a\\ \Rightarrow 2-2\cos (a+b)=1+1-2\cos b\cos a+2\sin b\sin a\\ \Rightarrow -2\cos (a+b)=-2\cos b\cos a+2\sin b\sin a\\ \Rightarrow \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{array}$
最後一步出現的式子叫做兩個任意角之差的餘弦值公式（subtraction formula for cosine of two arbitrary angles或difference formula for cosine of two arbitrary angles），它對於任意的角a和b都成立。上式演算的核心思路就是打開平方，並將相似的正、餘弦的平方項整理到一起，以便利用對任意角始終成立的畢氏三角學恆等式${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$化簡結果。

提示：三角函數記號有一些常見的簡寫規則需要注意：(1)$\sin ax$一般是指$\sin (ax)$，$\sin a\cos b$一般是指$(\sin a)\cdot (\cos b)$，${\sin }^{2}x$一般是指$(\sin x{)}^2$，$\sin x^2$一般是指$\sin (x^2)$；(2)當需要表達2個角之和的三角函數值，或一個角的負倍數的三角函數值時，函數的括號不能省略。例如$\sin (-a)$不能省略括號，$\sin (a+b)$省略括號後含義將會完全不同。

在上述公式中用-b替換b，就得到兩個任意角之和的餘弦值公式（addition formula for cosine of two arbitrary angles或sum formula for cosine of two arbitrary angles）：
$\cos (a-b)=\cos a\cos (-b)-\sin a\sin (-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

繼續使用以上結論，還可以得到2個誘導公式：

$\cos (\frac{\pi }{2}-a)=\cos \frac{\pi }{2}\cos a+\sin \frac{\pi }{2}\sin a=0\cdot \cos a+1\cdot \sin a=\sin a$

$\cos a=\sin (\frac{\pi }{2}-a)$

提示：雖然這2個公式在初中/國中階段初學三角比例時遇到過，但是此前並未將它們推廣到對任意角都適用的情形。

利用上述的餘弦的差角公式和2個誘導公式，可得兩個任意角之和的正弦值公式（addition formula for sine of two arbitrary angles或sum formula for sine of two arbitrary angles）：
$\begin{array}{c}\sin (a+b)=\cos (\frac{\pi }{2}-(a+b))=\cos ((\frac{\pi }{2}-a)-b)=\cos (\frac{\pi }{2}-a)\cos b+\sin (\frac{\pi }{2}-a)\sin b=\sin a\cos b+\cos a\sin b\end{array}$
再次用-b替換上述公式中的b，同樣可得兩個任意角之差的正弦值公式（subtraction formula for sine of two arbitrary angles或difference formula for sine of two arbitrary angles）。

最後，我們推導兩角和與差的正切公式（sum and difference formulas for tangent或tangent sum and difference Formulas）：
$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\sin (\alpha \pm \beta )}{\cos (\alpha \pm \beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta }=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\pm \frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }\pm \frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\pm \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{1\pm \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

我們將剛才導出的有關和與差的重要三角函數公式如下：

正弦函數、餘弦函數、正切函數的和角公式與差角公式列舉如下：

• 兩角和與差的正弦公式：$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• 兩角和與差的餘弦公式：$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• 兩角和與差的正切公式：$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

其中的2個角度$\alpha$和$\beta$都可以是任意大小的角。這些兩角的和與差的三角函數公式也統稱為和差恆等式（sum and difference identities）。

2個推廣到任意角的公式：

• $\cos (\frac{\pi }{2}-a)=\sin a$
• $\sin (\frac{\pi }{2}-a)=\cos a$

本節最基礎的是給角求值、給值求角、給值求值這3類問題。由於正弦與餘弦的公式形式相似，所以我們將正/餘弦的和/差角公式練習題單獨放在一個小節，正切函數的和/差角公式也單獨放在一個小節。

正弦與餘弦的和/差角公式的練習題

相關例題1： 計算或化簡下列各式：

(1) $\sin 75^{\circ }+\cos \frac{5\pi }{12}$；

(2) $\sin 45^{\circ }\sin 15^{\circ }+\cos 45^{\circ }\cos 15^{\circ }$；

(3) $\cos 44^{\circ }\sin 14^{\circ }-\sin 44^{\circ }\cos 14^{\circ }$；

(4) $\frac{\cos (x-\frac{\pi }{4})}{\sin x+\cos x}$；

(5) $\cos \frac{5\pi }{12}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{12}\sin \frac{\pi }{6}$；

(6) $2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\sin 55^{\circ }\cos 65^{\circ })$；

(7) $\frac{2\cos 10^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}$。

參考解答：
(1)
$\begin{array}{c}\sin 75^{\circ }+\cos \frac{5\pi }{12}\\ =\sin 75^{\circ }+\cos 75^{\circ }\\ =\sin (45^{\circ }+30^{\circ })+\cos (45^{\circ }+30^{\circ })\\ =(\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ })+(\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ })\\ =(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})+(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})\\ =(\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4})+(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4})\\ =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ =\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$
(2)
$\begin{array}{c}\sin 45^{\circ }\sin 15^{\circ }+\cos 45^{\circ }\cos 15^{\circ }\\ =\cos (45^{\circ }-15^{\circ })=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$
(3)
$\begin{array}{c}\cos 44^{\circ }\sin 14^{\circ }-\sin 44^{\circ }\cos 14^{\circ }\\ =\sin (14^{\circ }-44^{\circ })=-\sin (44^{\circ }-14^{\circ })\\ =-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}\end{array}$
(4)
$\begin{array}{c}\frac{\cos (x-\frac{\pi }{4})}{\sin x+\cos x}\\ =\frac{\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}}{\sin x+\cos x}\\ =\frac{\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin x+\cos x}\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\cos x+\sin x}{\sin x+\cos x}\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$
(5)
$\begin{array}{c}\cos \frac{5\pi }{12}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{12}\sin \frac{\pi }{6}\\ =\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12})\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{12}\sin \frac{\pi }{6}\\ =\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{12}\sin \frac{\pi }{6}\\ =\sin (\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6})\\ =\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$
(6)
$\begin{array}{c}2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\sin 55^{\circ }\cos 65^{\circ })\\ =2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\sin (90^{\circ }-35^{\circ })\cos (90^{\circ }-25^{\circ }))\\ =2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\cos 35^{\circ }\sin 25^{\circ })\\ =2\sin (35^{\circ }+25^{\circ })=2\sin 60^{\circ }\\ =2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\end{array}$
(7)
$\begin{array}{c}\frac{2\cos 10^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}\\ =\frac{2\cos (30^{\circ }-20^{\circ })-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}\\ =\frac{2(\cos 30^{\circ }\cos 20^{\circ }+\sin 30^{\circ }\sin 20^{\circ })-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}\\ =\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 20^{\circ }+\frac{1}{2}\sin 20^{\circ })-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}\\ =\frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ }+\sin 20^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}\\ =\frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}=\sqrt{3}\end{array}$

答案：(1)$\frac{\sqrt{6}}{2}$；(2)$\frac{\sqrt{3}}{2}$；(3)$-\frac{1}{2}$；(4)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(5)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(6)$\sqrt{3}$；(7)$\sqrt{3}$。

相關例題2： 已知$\alpha \in [0,\pi ],\sin \frac{\alpha }{3}\sin \frac{4\alpha }{3}+\cos \frac{\alpha }{3}\cos \frac{4\alpha }{3}=0$，求$\alpha$的值。

給值求值的問題一般需要先根據角度範圍推測未知函數值的大小範圍。再利用正餘弦函數的畢氏三角學恆等式${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$解方程。

相關例題3： 已知$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi ),\sin \alpha =\frac{3}{5}$，求$\cos (\frac{\pi }{4}-\alpha )$的值。

相關例題4： 已知$\alpha$為銳角，$\beta$為第3象限角，且$\cos \alpha =\frac{12}{13},\sin \beta =-\frac{3}{5}$，求$\cos (\alpha -\beta )$的值。

相關例題5： 已知$0<\alpha <\frac{\pi }{2},0<\beta <\frac{\pi }{2},\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5},\sin (\alpha -\beta )=\frac{\sqrt{10}}{10}$，求$\cos \beta$的值。

相關例題6： 在平面直角坐標系中xOy中，以Ox為始邊作2個銳角$\alpha$和$\beta$，它們的終邊分別與單位圓相交於A、B兩點。已知A、B兩點的橫坐標分別為$\frac{\sqrt{2}}{10}$、$\frac{2\sqrt{5}}{10}$，求$\cos (\alpha -\beta )$的值。

相關例題7： 已知$0<\alpha <\frac{\pi }{2},\cos \alpha =\frac{1}{3}$，分別求$\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$和$\sin (\alpha -\frac{\pi }{6})$的值。

相關例題8： 已知$0<\alpha <\frac{\pi }{2},0<\beta <\frac{\pi }{2},\sin \alpha =\frac{1}{3},\cos (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}$。

(1) 求$\cos (\alpha -\frac{\pi }{3})$的值。

(2) 求$\sin \beta$的值。

也有一些給值求角的題目需要先求出其它相關的未知三角函數值，然後再反推出角度大小。

相關例題9： 已知$\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2}),\cos \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5},\cos \beta =\frac{\sqrt{10}}{10}$，求$\alpha -\beta$的值。

相關例題10： 已知$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi ,\frac{\pi }{2}<\beta <\pi ,\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5},\cos \beta =\frac{-3\sqrt{10}}{10}$，求$\alpha +\beta$的值。

涉及正切的和/差角公式的練習題

相關例題1： 計算或化簡下列各式：

(1) $\frac{\tan 80^{\circ }-\tan 20^{\circ }}{1+\tan 80^{\circ }\tan 20^{\circ }}$；

(2) $\frac{\sqrt{3}+\tan 15^{\circ }}{1-\sqrt{3}\tan 15^{\circ }}$；

(3) $\frac{1+\tan 15^{\circ }}{1-\tan 15^{\circ }}$；

(4) $\tan 25^{\circ }+\tan 35^{\circ }+\sqrt{3}\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }$；

(5) $\tan 36^{\circ }+\tan 84^{\circ }-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }$；

(6) $(\tan 10^{\circ }-\sqrt{3})\frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}$。

參考解答：
(1)
$\begin{array}{c}\frac{\tan 80^{\circ }-\tan 20^{\circ }}{1+\tan 80^{\circ }\tan 20^{\circ }}\\ =\tan (80^{\circ }-20^{\circ })=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\end{array}$
(2)
$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}+\tan 15^{\circ }}{1-\sqrt{3}\tan 15^{\circ }}=\frac{\tan 60^{\circ }+\tan 15^{\circ }}{1-\tan 60^{\circ }\tan 15^{\circ }}\\ =\tan (60^{\circ }+15^{\circ })=\tan (45^{\circ }+30^{\circ })\\ =\frac{\tan 45^{\circ }+\tan 30^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\tan 30^{\circ }}\\ =\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\times \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\ =\frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{(3+\sqrt{3}{)}^2}{3^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3}\\ =\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3}\end{array}$
(3)
$\begin{array}{c}\frac{1+\tan 15^{\circ }}{1-\tan 15^{\circ }}=\frac{1+\tan 15^{\circ }}{1-1\times \tan 15^{\circ }}\\ =\frac{\tan 45^{\circ }+\tan 15^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\tan 15^{\circ }}\\ =\tan (45^{\circ }+15^{\circ })=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\end{array}$
(4)
$\tan (25^{\circ }+35^{\circ })=\frac{\tan 25^{\circ }+\tan 35^{\circ }}{1-\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }}\iff \tan 25^{\circ }+\tan 35^{\circ }=\tan (25^{\circ }+35^{\circ })(1-\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ })$
由此可知：
$\begin{array}{c}(\tan 25^{\circ }+\tan 35^{\circ })+\sqrt{3}\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }\\ =\tan (25^{\circ }+35^{\circ })(1-\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ })+\sqrt{3}\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }\\ =\tan 60^{\circ }(1-\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ })+\sqrt{3}\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }\\ =\sqrt{3}(1-\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ })+\sqrt{3}\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }\\ =\sqrt{3}(1-\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ }+\tan 25^{\circ }\tan 35^{\circ })\\ =\sqrt{3}\end{array}$
(5)
$\tan (36^{\circ }+84^{\circ })=\frac{\tan 36^{\circ }+\tan 84^{\circ }}{1-\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }}\iff \tan 36^{\circ }+\tan 84^{\circ }=\tan (36^{\circ }+84^{\circ })(1-\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ })$
由此可知：
$\begin{array}{c}(\tan 36^{\circ }+\tan 84^{\circ })-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }\\ =\tan (36^{\circ }+84^{\circ })(1-\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ })-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }\\ =\tan 120^{\circ }(1-\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ })-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }\\ =\tan (-60^{\circ })(1-\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ })-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }\\ =(-\sqrt{3})(1-\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ })-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }\\ =-\sqrt{3}+\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }-\sqrt{3}\tan 36^{\circ }\tan 84^{\circ }\\ =-\sqrt{3}\end{array}$
(6)
$\tan (10^{\circ }-60^{\circ })=\frac{\tan 10^{\circ }-\tan 60^{\circ }}{1+\tan 10^{\circ }\tan 60^{\circ }}\iff \tan 10^{\circ }-\tan 60^{\circ }=\tan (10^{\circ }-60^{\circ })(1+\tan 10^{\circ }\tan 60^{\circ })$
由此可知：
$\begin{array}{c}(\tan 10^{\circ }-\sqrt{3})\frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =(\tan 10^{\circ }-\tan 60^{\circ })\frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =(\frac{\sin 10^{\circ }}{\cos 10^{\circ }}-\frac{\sin 60^{\circ }}{\cos 60^{\circ }})\frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =(\frac{\sin 10^{\circ }\cos 60^{\circ }-\cos 10^{\circ }\sin 60^{\circ }}{\cos 10^{\circ }\cos 60^{\circ }})\frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =\frac{\sin (10^{\circ }-60^{\circ })}{\cos 10^{\circ }\cos 60^{\circ }}\cdot \frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =\frac{\sin (-50^{\circ })}{\cos 10^{\circ }\cos 60^{\circ }}\cdot \frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =\frac{-\sin 50^{\circ }}{\cos 10^{\circ }\cos 60^{\circ }}\cdot \frac{\cos 10^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\\ =\frac{-1}{\cos 60^{\circ }}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2\end{array}$

答案：(1)$\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{3}$；(4)$2+\sqrt{3}$；(5)$-\sqrt{3}$；(6)$-2$。

相關例題2： 已知$\tan \alpha =3,\tan \beta =5$，求$\tan (\alpha -\beta )$的值。

相關例題3： 已知$-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{2}<\beta <\frac{\pi }{2}$，且$\tan \alpha$和$\tan \beta$是方程$x^2+3\sqrt{3}x+4=0$的2個根，求$\alpha +\beta$的值。

相關例題4： 已知$0<\alpha <\frac{\pi }{2},0<\alpha <\frac{\pi }{2},(\tan \alpha -1)(\tan \beta -1)=2$，求$\alpha +\beta$的值。

誘導公式

誘導公式是一組將角度比較大的三角函數轉換為角度比較小的三角函數的變形公式。

誘導公式數量龐大，但是並不需要刻意記憶。藉助三角函數的奇偶性、周期性、兩角和與差的正/餘弦公式，可以很方便地推導出各種誘導公式。這裡列舉幾個必須熟記的：

• $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
• $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
• $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$
• $\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$
• $\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$

其中後3個公式在初中/國中階段遇到過，只是當時沒有將其推廣到任意角度。

提示：誘導公式並沒有通用的外文名稱，多半是華人數學工作者為了方便稱呼而自創的術語。在對外術語交流中，「誘導」一詞一般是與英文的「induce」（動詞）或「induction」（名詞）互譯，表示從現有事物「引申」出來的新事物。

相關例題1： 利用兩個任意角的和角公式與差角公式，快速導出上述誘導公式。

和差角公式與誘導公式有時需要結合起來使用。

相關例題2： 計算或化簡下列各式：

(1) $\cos 15^{\circ }\cos 105^{\circ }+\sin 15^{\circ }\sin 105^{\circ }$；

(2) $\sin 460^{\circ }\sin (-160^{\circ })+\cos 560^{\circ }\cos (-280^{\circ })$；

(3) $\sin 125^{\circ }\sin 245^{\circ }+\sin 35^{\circ }\sin 155^{\circ }$。

相關例題3： 計算下列各式：

(1) $\cos \frac{5\pi }{12}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{12}\sin \frac{\pi }{6}$；

(2) $\sin 14^{\circ }\cos 16^{\circ }+\sin 76^{\circ }\cos 74^{\circ }$。

常用結論與常見模型

角的配湊

在三角函數問題中，已知角度和待求表達式中的角度有時候並不一樣，但是有間接的換算關係。這時需要根據根據代求表達式中角的特點，合理地轉換為已知角度的加減組合。如果2個角度的和或差與$\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$存在直接聯繫，也會考慮逆用誘導公式。

角的常見等價拆分：

• $a=(a-b)+b$
• $2a=(a+b)+(a-b)$
  • $a=\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}$
• $2b=(a+b)-(a-b)$

相關例題1： 計算下列各式：

(1) $\cos (x-45^{\circ })\cos (x+15^{\circ })+\sin (x-45^{\circ })\sin (x+15^{\circ })$

(2) $\sin (x+27^{\circ })\cos (18^{\circ }-x)-\sin (63^{\circ }-x)\sin (x-18^{\circ })$

(3) $\sin (54^{\circ }-x)\cos (36^{\circ }+x)+\cos (54^{\circ }-x)\sin (36^{\circ }+x)$

(4) $\frac{\cos 7^{\circ }-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }}{\cos 8^{\circ }}$

相關例題2： 已知$\cos (\alpha -\frac{\beta }{2})=-\frac{3}{5},\sin (\frac{\alpha }{2}-\beta )=\frac{12}{13},\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi ),\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，求$\cos (\frac{\alpha +\beta }{2})$的值。

相關例題3： 已知$0<\alpha <\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{2}<\beta <0,\cos (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{1}{3},\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\beta }{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\cos (\alpha +\frac{\beta }{2})$的值。

相關例題4： 已知$0<\alpha <\frac{\pi }{2},\sin (\alpha +\frac{\pi }{12})=\frac{1}{3}$，求$\cos (\alpha +\frac{5\pi }{12})$的值。

相關例題5： 已知$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi ),\beta \in (0,\frac{\pi }{2}),\cos (\alpha -\frac{\beta }{2})=-\frac{3}{5},\sin (\frac{\alpha }{2}-\beta )=\frac{12}{13}$，求$\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$的值。

相關例題6： 已知$\cos (\alpha -\beta )=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos 2\alpha =\frac{\sqrt{10}}{10},0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{2}$，求$\alpha +\beta$的值。

相關例題7： 已知$\tan (\alpha +\beta )=1,\tan (\alpha -\beta )=7$，求$\tan 2\beta$的值。

相關例題8： 已知$\alpha +\beta =\frac{5\pi }{4}$，求$(1+\tan \alpha )(1+\tan \beta )$的值。

解答：
由$\alpha +\beta =\frac{5\pi }{4}$，可知$\tan (\alpha +\beta )=\tan (\frac{5\pi }{4})=\tan (\pi +\frac{\pi }{4})=\tan (\frac{\pi }{4})=1$。
再由正切的二倍角公式可知$1=\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$，即有：
$\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=1\iff \tan \alpha +\tan \beta =1-\tan \alpha \tan \beta \iff \tan \alpha \tan \beta =1-\tan \alpha -\tan \beta$
將要求值的式子展開，並帶入剛才得到的表達式：
$(1+\tan \alpha )(1+\tan \beta )=1+\tan \alpha +\tan \beta +\tan \alpha \tan \beta =1+\tan \alpha +\tan \beta +(1-\tan \alpha -\tan \beta )=2$

答案：2。

相關例題9： 已知$\tan (\frac{\pi }{12}+\alpha )=\sqrt{2},\tan (\beta -\frac{\pi }{3})=2\sqrt{2}$。

(1) 求$\tan (\alpha +\beta -\frac{\pi }{4})$的值。

(2) 求$\tan (\alpha +\beta )$的值。

相關例題10： 已知$0<\alpha <\pi ,0<\beta <\pi ,\tan (\alpha -\beta )=-7,\cos \alpha =\frac{-\sqrt{5}}{5}$。

(1) 求$\tan \beta$的值。

(2) 求$\alpha +\beta$的值。

涉及三角形的問題

相關例題1： 在三角形ABC中，已知$\tan B=\frac{\cos (C-B)}{\sin A+\sin (C-B)}$，則此三角形的形狀為(    )。

A.銳角三角形；B.直角三角形；C.等腰三角形；D.等腰三角形或直角三角形

相關例題2： 在三角形ABC中，已知$\tan A=2\sin B\cos C$，則此三角形的形狀為(    )。

A.銳角三角形；B.直角三角形；C.鈍角三角形；D.等腰三角形

相關例題3： 已知在三角形ABC中，$A>C,B=60^{\circ },\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=\frac{-\sqrt{2}}{\cos B}$，求角A的大小。

相關例題4： 設角A為非等邊三角形的最小內角，求函數$f(A)=\frac{2\sin A\cos A}{1+\sin A+\cos A}$的值域。

補充習題

基礎與中檔練習

• 下列式子中，恆等成立的是(    )。
  

A.$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha +\sin \beta$

B.$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

C.$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

D.$\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$

• 計算$\cos (x-35^{\circ })\cos (x+25^{\circ })+\sin (x-35^{\circ })\sin (x+25^{\circ })$。
• 已知$0<\beta <\alpha <\frac{\pi }{2},\sin \alpha \sin (\frac{\pi }{2}-\beta )+\cos \alpha \cos (\frac{\pi }{2}+\beta )=\frac{3\sqrt{3}}{14}$，點$P(1,4\sqrt{3})$為角$\alpha$終邊上的一點，求$\beta$的大小。
• 已知$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi ),\beta \in (-\frac{\pi }{2},0),\sin \alpha =\frac{12}{13},\cos \beta =\frac{3}{5}$，求$\cos (\alpha -\beta )$的值。
• 已知$\alpha \in (0,\frac{\pi }{4}),\cos (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{3}{5}$，分別求$\sin (\alpha -\frac{\alpha }{4})$和$\sin \alpha$的值。
• 已知$-\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{\pi }{3},\sin (\alpha +\frac{\pi }{6})=\frac{4}{5}$，分別求$\cos (\alpha -\frac{\pi }{3})$和$\cos \alpha$的值。
• 在平面直角坐標系xOy中，角A和B的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交於$A(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}),B(\frac{-7\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{10})$兩點。
  

(1) 求$\cos (\alpha +\beta )$的值。

(2) 限定$\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}),\beta \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，求$2\alpha -\beta$的值。

提高與拓展問題

• 已知$\sin \alpha -\sin \beta =1-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \alpha -\cos \beta =\frac{1}{2}$，求$\cos (\alpha -\beta )$的值。
• 已知在三角形ABC中，$\cos A\cos B=k+\sin A\sin B(k\in ℝ)$。如果將k取為a，則此時C是銳角；如果將k取為b，則此時C是直角；如果將k取為c，則此時C是鈍角。求a、b、c的大小關係。
• 利用兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式，分別推導其它3個三角函數（餘切、正割、餘割）的兩角和與兩角差公式。
• 求證：$\tan ({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3)=\frac{(\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2+\tan {\theta }_3)-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2\tan {\theta }_3}{1-(\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2+\tan {\theta }_2\tan {\theta }_3+\tan {\theta }_3\tan {\theta }_1)}$。
• 已知$x,y,z,A,B,C\in ℝ$，通過展開並化簡恆等式$(x-y\cos C-z\cos B{)}^2+(y\sin C-z\sin B{)}^2⩾0$，證明三角形內角的嵌入不等式：$x^2+y^2+z^2⩾2xy\cos C+2xz\cos B+2yz\cos A$。

參見

• 平面旋轉矩陣

外部連結

維基百科中的相關條目：

三角恆等式

維基百科中的相關條目：

誘導公式