高中數學/向量與複數/向量的概念及其簡單運算

閱讀指南

向量是基礎的數學工具之一，廣泛用於空間位置關係、高維數據與高維線性數量關係的表達。向量的用途廣泛也體現在它同時溝通了代數、幾何和三角函數。

本節的內容注重幾何直觀，學習和解題時可以多畫圖或想象成靜力學平衡問題幫助理解。但是在後面的幾節內容中，我們將越來越多地關注向量的代數運算性質，因為其代數性質實際上更能體現向量的本質，也更容易從代數角度將向量推廣到更高維的空間中。此外，我們此前多半只接觸過數值的運算，本節介紹的向量可以運算卻並不是數字。換句話說，我們將在本節的學習中第一次遇到對於非數字的事物定義「加法」和「乘法」的情況。

預備知識

本節只介紹向量的基本概念和加減運算，基本上不需要依賴高中數學其它章節的知識。了解平行、垂直、平移等基本的幾何概念和物理中力的示意圖即可。

考試要求

本節內容比較基礎，考試會比較容易，主要是為後續幾節中向量的其它性質作鋪墊。

後續課程聯繫

向量起源於物理學研究，後來在數學中也成為重要工具，是線性代數和向量分析的基石。從向量及其運算會進一步衍生出矩陣、張量的概念，用於緊湊地表達某些更高維的信息變化。向量的用途並不局限於物理學、工程力學和傳統的數學。在統計決策和機器學習中，使用向量可以簡化高維線性關係的表達，使其形式更緊湊；在計算機遊戲編程中，學習和使用向量有助於簡化有關運動和旋轉的公式和代碼的表達，向量數據的運算也是許多遊戲引擎提供的內置功能。

像本節一樣，在不是由數字組成的集合上定義「加法」等運算是完全可行的。在以後要學習的群論等數學課程中，會從更一般的角度定義和研究各種抽象的代數結構。通過合適地抽象和類比，可以幫助人們認識很多表面上看似有不同、但實際上存在相似變化規律的事物。

基礎知識

知識引入

數學是研究數與形的抽象規律的學科。不少讀者可能只接觸過有數值大小區分、可以比較的量。從本節開始，我們接觸一種新的量，它既有大小又有方向，而且不能直接比較大小。但是隨着學習的深入，會發現它是一種用途廣泛的工具。而它的由來以及使用它的優勢，要等到學習了向量的數量積和向量的叉積後才能逐漸體現出來。

基本概念

向量（vector）也譯為矢量，是一種既帶有大小信息，又帶有方向信息的量，一般使用有明確朝向和長度的線段或有順序的多個數表示。以前學過的不帶有方向信息的可運算量則被叫做標度量（scalar）或標量、純量。

向量的幾何意義是從起點到指定終點的有方向的連線段。線段的方向就是向量的方向，方向用線段末端的箭頭標出；線段的長度代表向量的大小（magnitude），也叫做向量的模（module）或長度（length）或規範數（norm）。可以在空間中任意平移的向量叫做自由向量（free vector），數學上考慮的向量都是這種自由向量。對於自由向量，一般默認從坐標系原點開始畫向量，但是也可以根據需要選擇特定的點作為起點。

提示：有的教材會同時介紹「有向線段」（directed line segment）的概念，然後指出向量可以使用有向線段來直觀表達。不過零向量由於長度為零，所以零向量是畫不出來的。

提示：這裡提及的只是初等數學與初等物理學中對向量的簡化版定義。在微分幾何及現代物理學中，為保證牛頓運動學定理的數學形式不隨參考系的選取而變化（保證物理上的嚴謹和有效性），對向量的定義還需要補充一種特殊的「指標變換規則」。

提示：向量包含大小信息，但是由於同時糅雜了方向信息，所以不能直接比較大小。

從一個點A指向另一個點B的向量可以記作${\vec {AB}}$，也可以用單字母記為${\vec {a}}$或粗體的a。向量的箭頭表示法是德國數學家奧古斯特·莫比烏斯（就是那個發現了莫比烏斯帶的男人）發明的。在數學公式中出現的向量使用這種有向箭頭標記，是為了便與普通的純數值（只有數值大小，沒有方向）區分開來。純數值也叫做標量（scalar）或純量。一個向量${\vec {a}}$的模（也即長度）一般使用記號$|{\vec {a}}|$或普通的字體a表示。

點的坐標、速度、位置移動、力都是向量；溫度、長度、質量、密度則是純量。我們可以通過關注這些具體的向量例子來總結各種向量的數學共性。

知識背景：在高中以前，您可能從未聽說過面積和體積存在方向性問題（因此可能就不會理解談論它們的方向性意義何在），因此面積和體積可以被看做是標量。實際上，後面會學到，將面積和體積看作是一種叫做張量（tensor）的東西更合適，為它們規定方向也是很有用的。數學中所關注的量主要就是純量、向量和張量這3種以及由它們派生的變量和映射。

我們補充一些有關向量的特殊名稱和概念：

• 零向量：長度為0的向量叫做零向量（zero vector），記作${\vec {0}}$或粗體的0。零向量的方向是任意的，可以說它是朝向所有的方向。
• 單位向量：長度為1的向量叫做單位向量（unit vector）。
• 平行向量：方向相同或相反的成對或多個向量叫做平行向量（parallel vectors），也叫共線向量（colinear vectors）。
• 相等向量：長度相等且方向也相同的向量叫做相等向量（equal vectors）。向量之間的相等仍然用普通的等於號表示。
• 負向量：與向量${\vec {a}}$的長度相等、方向相反的向量叫做${\vec {a}}$的負向量（negative vector），記作$-{\vec {a}}$。

此外，我們單獨規定零向量的模（也就是長度）為0。

從以上規定可以得到如下信息：

• 零向量與任何向量平行。
• 零向量是自身的負向量，即$-{\vec {0}}={\vec {0}}$。
• 對任意向量${\vec {a}}$，有$-(-{\vec {a}})={\vec {0}}$和${\vec {a}}-{\vec {a}}={\vec {0}}$成立。

注意：零向量（${\vec {0}}$或0）與純量0的含義不一樣，要注意區分。

注意：向量的共線不等同於向量在同一條直線上。

除了平行，向量也有垂直（perpendicular）的概念。從直觀上來說，如果2個非零向量所在的直線彼此垂直，就稱這2個向量彼此垂直，或者說是一對垂直向量（perpendicular vectors）。向量和平行與垂直則仍然沿用平面幾何中的對應符號$\parallel$（維基教科書不支持顯示另一種斜體的「平行」符號和「平行且等於」符號）和$\perp$。

注意：有的中學教材規定零向量與任意向量既平行也垂直。大部分中學教材只規定零向量與任意向量平行。讀者如果是需要參加考試的中學生，應該根據現行教材上的具體規定定奪。

向量的加減法及其圖示

沒錯，此為向量合成的平行四邊形法則示意圖。有兩條從同一起點（左下角）出發、沿不同方向的2個非零向量${\vec {x}}$和${\vec {y}}$正好會構成一個平行四邊形的鄰邊。此平行四邊形的深紫色對角線代表的向量指出了原先的2個分向量的向量之和。換句話說，沿對角線方向且與對角線等長的深紫色向量是原先2個分向量的等效和。位於另一條對角線上的淺紫色向量則是${\vec {x}}-{\vec {y}}$的結果。如果您或您的顯示屏沒有特別嚴重的色盲或色弱問題，應該不難看懂這幅圖。由於常見的力就是一種向量，通過找幾根相同的橡皮筋和彈簧測力計，很容易通過實驗驗證這個法則。

向量可以執行加減運算，也就是將2個已知向量的和等效合成為1個合向量。基於物理學中的事實，我們可以得到用一個向量等效地替換多個向量的方法，即向量的合成法則。

自由向量的加法滿足平行四邊形法則（parallelogram law of addition vector addition）：從1個中心點發出的2個向量可以構成一個平行四邊形，它們的合向量是起點為原點、以2個分向量為邊所形成的平行四邊形的那條對角線。

藉助巧妙平移，還可知自由向量的加法滿足三角形法則：平移2個向量，使它們一首一尾連接起來並從坐標系原點出發，則從原點直接連到終點的向量就規定為向量相加的結果。看起來得到的結果向量與參與相加的2個向量剛好構成1個三角形。

此外單獨規定任何向量與零向量的和仍然不變： ${\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}$

通過向量加法的三角形法則，可以類似地找出向量減法的三角形法則。我們將這些法則總結如下：

• 向量加法的三角形法則
• 向量減法的三角形法則
• 平行四邊形法則

向量的加法滿足交換律和結合律：

• 交換律：${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$
• 結合律：$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$

雖然許多資料推薦使用頂部帶箭頭或粗體的字母表示向量，但是並不是所有的向量都必須寫成向量的記法再運算才能有效解決問題。有的問題只涉及共線向量的運算，不涉及向量方向的空間合成，此時問題是代數加減問題，無需使用向量符號，因此不必為字母加粗或加箭頭。

提示：只涉及一個直線方向的問題最好當作純量的代數問題處理，而不是向量的空間幾何問題處理，以免將問題不必要地複雜化。

由向量符號及其加法，可以將三角不等式表述如下：

$|{\vec {AC}}|\leq |{\vec {AB}}|+|{\vec {BC}}|$或$|{\vec {a}}+{\vec {b}}|\leq |{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|$

相關例題1： 在平面上給定3個不共線的向量，使用平行四邊形法則畫出它們的和向量。

相關例題2： 探究並總結出多個向量相加的多邊形法則。

相關例題3： 化簡下列各式：

(1) ${\vec {AB}}+{\vec {CA}}+{\vec {BC}}$；

(2) $-{\vec {OE}}+{\vec {OF}}-{\vec {OD}}-{\vec {DO}}$；

(3) $({\vec {AB}}+{\vec {MB}})+{\vec {BO}}+{\vec {OM}}$；

(4) ${\vec {OA}}+{\vec {OC}}+{\vec {BO}}+{\vec {CO}}$；

(5) ${\vec {AB}}-{\vec {AC}}+{\vec {BD}}-{\vec {CD}}$；

(6) ${\vec {OA}}-{\vec {OD}}+{\vec {AD}}$；

(7) ${\vec {AB}}-{\vec {AD}}-{\vec {DC}}$；

(8) ${\vec {NQ}}+{\vec {QP}}+{\vec {MN}}-{\vec {MP}}$。

相關例題4： 若A、B、C、D是平面內任意四點，則下列各式中正確的有(    )。

A.${\vec {AC}}+{\vec {BD}}={\vec {BC}}+{\vec {AD}}$；B.${\vec {AC}}-{\vec {BD}}={\vec {DC}}+{\vec {AB}}$

C.${\vec {AB}}-{\vec {AC}}-{\vec {DB}}={\vec {DC}}$；D.${\vec {AB}}+{\vec {BC}}-{\vec {AD}}={\vec {DC}}$

相關例題5： 設$a,b$為2個相互垂直的單位向量，${\vec {OP}}={\vec {a}},{\vec {OQ}}={\vec {b}},{\vec {OR}}=r{\vec {a}}+k{\vec {b}},r\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {R}$，三角形PQR為等邊三角形，則k和r的取值為(    )。

A.$k=r={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$；B.$k=r={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$

C.$k={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}}{2}},r={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$；D.$k={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}},r={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$

相關例題6： 設正六邊形的6個頂點按逆時針順序依次為ABCDEF，記${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {AF}}$，試用含${\vec {a}}$和${\vec {b}}$的代數式分別表示出${\vec {AC}},{\vec {AD}},{\vec {AE}}$。

相關例題7： 已知矩形ABCD的長為$2{\sqrt {3}}$，寬為2，記${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {BC}},{\vec {c}}={\vec {AC}}$，請畫圖表示出向量${\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}$並求出其模的大小。

相關例題8： 已知平面上有不共線的4個點O、A、B、C。若${\vec {OA}}-3{\vec {OB}}+2{\vec {OC}}={\vec {0}}$，求${\frac {|{\vec {AB}}|}{|{\vec {BC}}|}}$的值。

相關例題9： 利用向量方法求證：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形。

數乘及其性質

將一個向量${\vec {a}}$的長度變為原來的$k\quad (k\geq 0)$倍，其結果可以記為$k{\vec {a}}$；將一個向量${\vec {a}}$的長度變為原來的$k\quad (k\geq 0)$倍後再顛倒方向，其結果可以記為$-k{\vec {a}}$。

這種將數字與向量簡單相乘在一起的運算也叫做向量的數乘或倍積（multiplication of vector by scalar）。

從幾何意義來看，向量的數乘是一種沿正向或反向對向量的拉長或縮短操作。

容易驗證向量的數乘運算有以下性質：

• 方向：當$\lambda >0$時，$\lambda {\vec {a}}$與${\vec {a}}$方向相同；當$\lambda <0$時，$\lambda {\vec {a}}$與${\vec {a}}$方向相反。
• 大小：$|\lambda {\vec {a}}|=|\lambda ||{\vec {a}}|$
  • 特別地：$|0{\vec {a}}|=0$
• 分配律：$(m+n){\vec {a}}=m{\vec {a}}+n{\vec {a}}\quad (m,n\in \mathbb {R} )$
• 分配律：$m({\vec {a}}+{\vec {b}})=m{\vec {a}}+m{\vec {b}}\quad (m\in \mathbb {R} )$
• 結合律：$m(n{\vec {a}})=(mn){\vec {a}}\quad (m,n\in \mathbb {R} )$

提示：我們暫時只討論實數與向量的乘積。但是我們在後面的選讀章節也將有機會看到，向量的數乘可以推廣到複數與向量的乘積，但是上述性質並非都對復係數的向量都成立。

向量的共線定理：
如果有一個實數$\lambda$，使得${\vec {b}}=\lambda {\vec {a}}\quad ({\vec {a}}\neq {\vec {0}})$，那麼${\vec {b}}$與${\vec {a}}$是平行（共線）向量；反之，如果${\vec {b}}$與${\vec {a}}\quad ({\vec {a}}\neq {\vec {0}})$是平行（共線）向量，那麼有且僅有一個實數$\lambda$滿足${\vec {b}}=\lambda {\vec {c}}$。

相關例題1： 已知向量${\vec {a}},{\vec {b}}$是非零向量，能使它們共線的條件是(    )。
A.$2{\vec {a}}-3{\vec {b}}=4{\vec {e}},{\vec {a}}+2{\vec {b}}=-3{\vec {e}}$ B.$\exists \lambda ,\mu ,\lambda \neq \mu ,\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {b}}={\vec {0}}$ C.$m{\vec {a}}+n{\vec {b}}={\vec {0}},m\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {R} ,m+n=0$ D.在梯形ABCD中，有${\vec {AB}}={\vec {a}},{\vec {DC}}={\vec {b}}$

相關例題2： 判斷下列命題的真假：

(1) 若${\vec {AB}}$與${\vec {CD}}$是共線向量，則A、B、C、D四點共線。

(2) 若${\vec {AB}}+{\vec {BC}}+{\vec {CA}}={\vec {0}}$，則A、B、C三點共線。

(3) $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,|\lambda a|>|a|$。

(4) 平面內任意3個向量中的每1個都可以用含另外2個的代數式表示。

相關例題3： 化簡下列各式：

(1) $6(3{\vec {a}}-2{\vec {b}})+9(-2{\vec {a}}+{\vec {b}})$；

(2) ${\frac {1}{2}}((3{\vec {a}}+2{\vec {b}})-{\frac {2}{3}}{\vec {a}}-{\vec {b}})-{\frac {7}{6}}({\frac {1}{2}}{\vec {a}}+{\frac {3}{7}}({\vec {b}}+{\frac {7}{6}}{\vec {a}}))$；

(3) $6({\vec {a}}-{\vec {b}}+{\vec {c}})-4({\vec {a}}-2{\vec {b}}+{\vec {c}})-2(-2{\vec {a}}+{\vec {c}})$。

相關例題4： 已知O為坐標系原點，A、B、C為平面內三點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是${\vec {OC}}=\alpha {\vec {OA}}+\beta {\vec {OB}},\alpha +\beta =1,\alpha \in \mathbb {R} ,\beta \in \mathbb {R}$。

相關例題5： 設O為三角形ABC內一點，點P在AB邊上，點Q在AC邊上，${\vec {PQ}}\parallel {\vec {BC}},{\frac {\vec {PQ}}{\vec {BC}}}=1$。記${\vec {a}}={\vec {OA}},{\vec {b}}={\vec {OB}},{\vec {c}}={\vec {OC}}$，試用含${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$的代數式分別表示出${\vec {OP}}$和${\vec {OQ}}$。

相關例題6： 設2個非零向量${\vec {e_{1}}}$和${\vec {e_{2}}}$不共線。

(1) 如果${\vec {AB}}={\vec {e_{1}}}+{\vec {e_{2}}},{\vec {BC}}=2{\vec {e_{1}}}+8{\vec {e_{2}}},{\vec {CD}}=3({\vec {e_{1}}}-{\vec {e_{2}}})$，求證A、B、D是共線的3個點。

(2) 求可以使得$k{\vec {e_{1}}}+{\vec {e_{2}}}$和${\vec {e_{1}}}+k{\vec {e_{2}}}$共線的實數k。

相關例題7： 已知在三角形ABC中，D是BC上的一點，且${\frac {BD}{DC}}=\lambda$，求證：${\vec {AD}}={\frac {{\vec {AB}}+\lambda {\vec {AC}}}{1+\lambda }}$。

相關例題8： 已知${\vec {AD}}=3{\vec {AB}},{\vec {DE}}=3{\vec {BC}}$，判斷${\vec {AC}}$與${\vec {AE}}$是否共線。

相關例題9： 已知在四邊形ABCD中，${\vec {AB}}={\vec {a}}+2{\vec {b}},{\vec {BC}}=-4{\vec {a}}-{\vec {b}},{\vec {CD}}=-5{\vec {a}}-3{\vec {b}}$，求證四邊形ABCD是梯形。

相關例題10： 已知$A(2\cos \alpha ,{\sqrt {3}}\sin \alpha ),B(2\cos \beta ,{\sqrt {3}}\sin \beta ),C(-1,0)$是平面上3個不同的點，且滿足關係式${\vec {CA}}=\lambda {\vec {BC}}$，求實數$\lambda$的取值範圍。

相關例題11： 已知在梯形ABCD中，|AB| = 2 |DC|, M、N分別是DC、AB的中點。記${\vec {e_{1}}}={\vec {AB}},{\vec {e_{2}}}={\vec {AD}}$，試用${\vec {e_{1}}}$和${\vec {e_{2}}}$分別表示出${\vec {DC}}$、${\vec {BC}}$和${\vec {MN}}$。

相關例題12： 已知四邊形ABCD是一個梯形，$AB\parallel CD,AB=2CD$，M、N分別是DC、AB的中點。記${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {AD}}$，試用${\vec {a}}$和${\vec {b}}$分別表示出${\vec {BC}}$和${\vec {MN}}$。

相關例題13： 已知${\vec {a}},{\vec {b}}$是不共線的2個非零向量，${\vec {OM}}=m{\vec {a}},{\vec {ON}}=n{\vec {b}},{\vec {OP}}=r{\vec {a}}+s{\vec {b}},m\in \mathbb {R} ^{*},n\in \mathbb {R} ^{*},r\in \mathbb {R} ,s\in \mathbb {R}$。若M、P、N三點共線，求證：${\frac {r}{m}}+{\frac {s}{n}}=1$。

相關例題14： 已知在三角形ABC中，BE與CD交點為P，${\vec {AB}}={\vec {a}},{\vec {AC}}={\vec {b}},{\vec {AP}}={\vec {c}},{\vec {AD}}=\lambda {\vec {a}}\quad (0<\lambda <1),{\vec {AE}}=\mu {\vec {b}}\quad (0<\mu <1)$，試用向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$表示出${\vec {c}}$。

補充習題

參見

• 高中物理/力與運動/力的概念
• 高中物理/力與運動/力的合成與分解

外部連結

維基百科中的相關條目：

向量