高中数学/向量与复数/向量的概念及其简单运算

阅读指南

向量是基础的数学工具之一，广泛用于空间位置关系、高维数据与高维线性数量关系的表达。向量的用途广泛也体现在它同时沟通了代数、几何和三角函数。

本节的内容注重几何直观，学习和解题时可以多画图或想象成静力学平衡问题帮助理解。但是在后面的几节内容中，我们将越来越多地关注向量的代数运算性质，因为其代数性质实际上更能体现向量的本质，也更容易从代数角度将向量推广到更高维的空间中。此外，我们此前多半只接触过数值的运算，本节介绍的向量可以运算却并不是数字。换句话说，我们将在本节的学习中第一次遇到对于非数字的事物定义“加法”和“乘法”的情况。

预备知识

本节只介绍向量的基本概念和加减运算，基本上不需要依赖高中数学其它章节的知识。了解平行、垂直、平移等基本的几何概念和物理中力的示意图即可。

考试要求

本节内容比较基础，考试会比较容易，主要是为后续几节中向量的其它性质作铺垫。

后续课程联系

向量起源于物理学研究，后来在数学中也成为重要工具，是线性代数和向量分析的基石。从向量及其运算会进一步衍生出矩阵、张量的概念，用于紧凑地表达某些更高维的信息变化。向量的用途并不局限于物理学、工程力学和传统的数学。在统计决策和机器学习中，使用向量可以简化高维线性关系的表达，使其形式更紧凑；在计算机游戏编程中，学习和使用向量有助于简化有关运动和旋转的公式和代码的表达，向量数据的运算也是许多游戏引擎提供的内置功能。

像本节一样，在不是由数字组成的集合上定义“加法”等运算是完全可行的。在以后要学习的群论等数学课程中，会从更一般的角度定义和研究各种抽象的代数结构。通过合适地抽象和类比，可以帮助人们认识很多表面上看似有不同、但实际上存在相似变化规律的事物。

基础知识

知识引入

数学是研究数与形的抽象规律的学科。不少读者可能只接触过有数值大小区分、可以比较的量。从本节开始，我们接触一种新的量，它既有大小又有方向，而且不能直接比较大小。但是随着学习的深入，会发现它是一种用途广泛的工具。而它的由来以及使用它的优势，要等到学习了向量的数量积和向量的叉积后才能逐渐体现出来。

基本概念

向量（vector）也译为矢量，是一种既带有大小信息，又带有方向信息的量，一般使用有明确朝向和长度的线段或有顺序的多个数表示。以前学过的不带有方向信息的可运算量则被叫做标度量（scalar）或标量、纯量。

向量的几何意义是从起点到指定终点的有方向的连线段。线段的方向就是向量的方向，方向用线段末端的箭头标出；线段的长度代表向量的大小（magnitude），也叫做向量的模（module）或长度（length）或规范数（norm）。可以在空间中任意平移的向量叫做自由向量（free vector），数学上考虑的向量都是这种自由向量。对于自由向量，一般默认从坐标系原点开始画向量，但是也可以根据需要选择特定的点作为起点。

提示：有的教材会同时介绍“有向线段”（directed line segment）的概念，然后指出向量可以使用有向线段来直观表达。不过零向量由于长度为零，所以零向量是画不出来的。

提示：这里提及的只是初等数学与初等物理学中对向量的简化版定义。在微分几何及现代物理学中，为保证牛顿运动学定理的数学形式不随参考系的选取而变化（保证物理上的严谨和有效性），对向量的定义还需要补充一种特殊的“指标变换规则”。

提示：向量包含大小信息，但是由于同时糅杂了方向信息，所以不能直接比较大小。

从一个点A指向另一个点B的向量可以记作${\vec {AB}}$，也可以用单字母记为${\vec {a}}$或粗体的a。向量的箭头表示法是德国数学家奥古斯特·莫比乌斯（就是那个发现了莫比乌斯带的男人）发明的。在数学公式中出现的向量使用这种有向箭头标记，是为了便与普通的纯数值（只有数值大小，没有方向）区分开来。纯数值也叫做标量（scalar）或纯量。一个向量${\vec {a}}$的模（也即长度）一般使用记号$|{\vec {a}}|$或普通的字体a表示。

点的坐标、速度、位置移动、力都是向量；温度、长度、质量、密度则是纯量。我们可以通过关注这些具体的向量例子来总结各种向量的数学共性。

知识背景：在高中以前，您可能从未听说过面积和体积存在方向性问题（因此可能就不会理解谈论它们的方向性意义何在），因此面积和体积可以被看做是标量。实际上，后面会学到，将面积和体积看作是一种叫做张量（tensor）的东西更合适，为它们规定方向也是很有用的。数学中所关注的量主要就是纯量、向量和张量这3种以及由它们派生的变量和映射。

我们补充一些有关向量的特殊名称和概念：

• 零向量：长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记作${\vec {0}}$或粗体的0。零向量的方向是任意的，可以说它是朝向所有的方向。
• 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量（unit vector）。
• 平行向量：方向相同或相反的成对或多个向量叫做平行向量（parallel vectors），也叫共线向量（colinear vectors）。
• 相等向量：长度相等且方向也相同的向量叫做相等向量（equal vectors）。向量之间的相等仍然用普通的等于号表示。
• 负向量：与向量${\vec {a}}$的长度相等、方向相反的向量叫做${\vec {a}}$的负向量（negative vector），记作$-{\vec {a}}$。

此外，我们单独规定零向量的模（也就是长度）为0。

从以上规定可以得到如下信息：

• 零向量与任何向量平行。
• 零向量是自身的负向量，即$-{\vec {0}}={\vec {0}}$。
• 对任意向量${\vec {a}}$，有$-(-{\vec {a}})={\vec {0}}$和${\vec {a}}-{\vec {a}}={\vec {0}}$成立。

注意：零向量（${\vec {0}}$或0）与纯量0的含义不一样，要注意区分。

注意：向量的共线不等同于向量在同一条直线上。

除了平行，向量也有垂直（perpendicular）的概念。从直观上来说，如果2个非零向量所在的直线彼此垂直，就称这2个向量彼此垂直，或者说是一对垂直向量（perpendicular vectors）。向量和平行与垂直则仍然沿用平面几何中的对应符号$\parallel$（维基教科书不支持显示另一种斜体的“平行”符号和“平行且等于”符号）和$\perp$。

注意：有的中学教材规定零向量与任意向量既平行也垂直。大部分中学教材只规定零向量与任意向量平行。读者如果是需要参加考试的中学生，应该根据现行教材上的具体规定定夺。

向量的加减法及其图示

没错，此为向量合成的平行四边形法则示意图。有两条从同一起点（左下角）出发、沿不同方向的2个非零向量${\vec {x}}$和${\vec {y}}$正好会构成一个平行四边形的邻边。此平行四边形的深紫色对角线代表的向量指出了原先的2个分向量的向量之和。换句话说，沿对角线方向且与对角线等长的深紫色向量是原先2个分向量的等效和。位于另一条对角线上的浅紫色向量则是${\vec {x}}-{\vec {y}}$的结果。如果您或您的显示屏没有特别严重的色盲或色弱问题，应该不难看懂这幅图。由于常见的力就是一种向量，通过找几根相同的橡皮筋和弹簧测力计，很容易通过实验验证这个法则。

向量可以执行加减运算，也就是将2个已知向量的和等效合成为1个合向量。基于物理学中的事实，我们可以得到用一个向量等效地替换多个向量的方法，即向量的合成法则。

自由向量的加法满足平行四边形法则（parallelogram law of addition vector addition）：从1个中心点发出的2个向量可以构成一个平行四边形，它们的合向量是起点为原点、以2个分向量为边所形成的平行四边形的那条对角线。

借助巧妙平移，还可知自由向量的加法满足三角形法则：平移2个向量，使它们一首一尾连接起来并从坐标系原点出发，则从原点直接连到终点的向量就规定为向量相加的结果。看起来得到的结果向量与参与相加的2个向量刚好构成1个三角形。

此外单独规定任何向量与零向量的和仍然不变： ${\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}$

通过向量加法的三角形法则，可以类似地找出向量减法的三角形法则。我们将这些法则总结如下：

• 向量加法的三角形法则
• 向量减法的三角形法则
• 平行四边形法则

向量的加法满足交换律和结合律：

• 交换律：${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$
• 结合律：$({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})$

虽然许多资料推荐使用顶部带箭头或粗体的字母表示向量，但是并不是所有的向量都必须写成向量的记法再运算才能有效解决问题。有的问题只涉及共线向量的运算，不涉及向量方向的空间合成，此时问题是代数加减问题，无需使用向量符号，因此不必为字母加粗或加箭头。

提示：只涉及一个直线方向的问题最好当作纯量的代数问题处理，而不是向量的空间几何问题处理，以免将问题不必要地复杂化。

由向量符号及其加法，可以将三角不等式表述如下：

$|{\vec {AC}}|\leq |{\vec {AB}}|+|{\vec {BC}}|$或$|{\vec {a}}+{\vec {b}}|\leq |{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|$

相关例题1： 在平面上给定3个不共线的向量，使用平行四边形法则画出它们的和向量。

相关例题2： 探究并总结出多个向量相加的多边形法则。

相关例题3： 化简下列各式：

(1) ${\vec {AB}}+{\vec {CA}}+{\vec {BC}}$；

(2) $-{\vec {OE}}+{\vec {OF}}-{\vec {OD}}-{\vec {DO}}$；

(3) $({\vec {AB}}+{\vec {MB}})+{\vec {BO}}+{\vec {OM}}$；

(4) ${\vec {OA}}+{\vec {OC}}+{\vec {BO}}+{\vec {CO}}$；

(5) ${\vec {AB}}-{\vec {AC}}+{\vec {BD}}-{\vec {CD}}$；

(6) ${\vec {OA}}-{\vec {OD}}+{\vec {AD}}$；

(7) ${\vec {AB}}-{\vec {AD}}-{\vec {DC}}$；

(8) ${\vec {NQ}}+{\vec {QP}}+{\vec {MN}}-{\vec {MP}}$。

相关例题4： 若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列各式中正确的有(    )。

A.${\vec {AC}}+{\vec {BD}}={\vec {BC}}+{\vec {AD}}$；B.${\vec {AC}}-{\vec {BD}}={\vec {DC}}+{\vec {AB}}$

C.${\vec {AB}}-{\vec {AC}}-{\vec {DB}}={\vec {DC}}$；D.${\vec {AB}}+{\vec {BC}}-{\vec {AD}}={\vec {DC}}$

相关例题5： 设$a,b$为2个相互垂直的单位向量，${\vec {OP}}={\vec {a}},{\vec {OQ}}={\vec {b}},{\vec {OR}}=r{\vec {a}}+k{\vec {b}},r\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {R}$，三角形PQR为等边三角形，则k和r的取值为(    )。

A.$k=r={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$；B.$k=r={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$

C.$k={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}}{2}},r={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$；D.$k={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}},r={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$

相关例题6： 设正六边形的6个顶点按逆时针顺序依次为ABCDEF，记${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {AF}}$，试用含${\vec {a}}$和${\vec {b}}$的代数式分别表示出${\vec {AC}},{\vec {AD}},{\vec {AE}}$。

相关例题7： 已知矩形ABCD的长为$2{\sqrt {3}}$，宽为2，记${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {BC}},{\vec {c}}={\vec {AC}}$，请画图表示出向量${\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}$并求出其模的大小。

相关例题8： 已知平面上有不共线的4个点O、A、B、C。若${\vec {OA}}-3{\vec {OB}}+2{\vec {OC}}={\vec {0}}$，求${\frac {|{\vec {AB}}|}{|{\vec {BC}}|}}$的值。

相关例题9： 利用向量方法求证：对角线相互平分的四边形是平行四边形。

数乘及其性质

将一个向量${\vec {a}}$的长度变为原来的$k\quad (k\geq 0)$倍，其结果可以记为$k{\vec {a}}$；将一个向量${\vec {a}}$的长度变为原来的$k\quad (k\geq 0)$倍后再颠倒方向，其结果可以记为$-k{\vec {a}}$。

这种将数字与向量简单相乘在一起的运算也叫做向量的数乘或倍积（multiplication of vector by scalar）。

从几何意义来看，向量的数乘是一种沿正向或反向对向量的拉长或缩短操作。

容易验证向量的数乘运算有以下性质：

• 方向：当$\lambda >0$时，$\lambda {\vec {a}}$与${\vec {a}}$方向相同；当$\lambda <0$时，$\lambda {\vec {a}}$与${\vec {a}}$方向相反。
• 大小：$|\lambda {\vec {a}}|=|\lambda ||{\vec {a}}|$
  • 特别地：$|0{\vec {a}}|=0$
• 分配律：$(m+n){\vec {a}}=m{\vec {a}}+n{\vec {a}}\quad (m,n\in \mathbb {R} )$
• 分配律：$m({\vec {a}}+{\vec {b}})=m{\vec {a}}+m{\vec {b}}\quad (m\in \mathbb {R} )$
• 结合律：$m(n{\vec {a}})=(mn){\vec {a}}\quad (m,n\in \mathbb {R} )$

提示：我们暂时只讨论实数与向量的乘积。但是我们在后面的选读章节也将有机会看到，向量的数乘可以推广到复数与向量的乘积，但是上述性质并非都对复系数的向量都成立。

向量的共线定理：
如果有一个实数$\lambda$，使得${\vec {b}}=\lambda {\vec {a}}\quad ({\vec {a}}\neq {\vec {0}})$，那么${\vec {b}}$与${\vec {a}}$是平行（共线）向量；反之，如果${\vec {b}}$与${\vec {a}}\quad ({\vec {a}}\neq {\vec {0}})$是平行（共线）向量，那么有且仅有一个实数$\lambda$满足${\vec {b}}=\lambda {\vec {c}}$。

相关例题1： 已知向量${\vec {a}},{\vec {b}}$是非零向量，能使它们共线的条件是(    )。
A.$2{\vec {a}}-3{\vec {b}}=4{\vec {e}},{\vec {a}}+2{\vec {b}}=-3{\vec {e}}$ B.$\exists \lambda ,\mu ,\lambda \neq \mu ,\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {b}}={\vec {0}}$ C.$m{\vec {a}}+n{\vec {b}}={\vec {0}},m\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {R} ,m+n=0$ D.在梯形ABCD中，有${\vec {AB}}={\vec {a}},{\vec {DC}}={\vec {b}}$

相关例题2： 判断下列命题的真假：

(1) 若${\vec {AB}}$与${\vec {CD}}$是共线向量，则A、B、C、D四点共线。

(2) 若${\vec {AB}}+{\vec {BC}}+{\vec {CA}}={\vec {0}}$，则A、B、C三点共线。

(3) $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,|\lambda a|>|a|$。

(4) 平面内任意3个向量中的每1个都可以用含另外2个的代数式表示。

相关例题3： 化简下列各式：

(1) $6(3{\vec {a}}-2{\vec {b}})+9(-2{\vec {a}}+{\vec {b}})$；

(2) ${\frac {1}{2}}((3{\vec {a}}+2{\vec {b}})-{\frac {2}{3}}{\vec {a}}-{\vec {b}})-{\frac {7}{6}}({\frac {1}{2}}{\vec {a}}+{\frac {3}{7}}({\vec {b}}+{\frac {7}{6}}{\vec {a}}))$；

(3) $6({\vec {a}}-{\vec {b}}+{\vec {c}})-4({\vec {a}}-2{\vec {b}}+{\vec {c}})-2(-2{\vec {a}}+{\vec {c}})$。

相关例题4： 已知O为坐标系原点，A、B、C为平面内三点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是${\vec {OC}}=\alpha {\vec {OA}}+\beta {\vec {OB}},\alpha +\beta =1,\alpha \in \mathbb {R} ,\beta \in \mathbb {R}$。

相关例题5： 设O为三角形ABC内一点，点P在AB边上，点Q在AC边上，${\vec {PQ}}\parallel {\vec {BC}},{\frac {\vec {PQ}}{\vec {BC}}}=1$。记${\vec {a}}={\vec {OA}},{\vec {b}}={\vec {OB}},{\vec {c}}={\vec {OC}}$，试用含${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$的代数式分别表示出${\vec {OP}}$和${\vec {OQ}}$。

相关例题6： 设2个非零向量${\vec {e_{1}}}$和${\vec {e_{2}}}$不共线。

(1) 如果${\vec {AB}}={\vec {e_{1}}}+{\vec {e_{2}}},{\vec {BC}}=2{\vec {e_{1}}}+8{\vec {e_{2}}},{\vec {CD}}=3({\vec {e_{1}}}-{\vec {e_{2}}})$，求证A、B、D是共线的3个点。

(2) 求可以使得$k{\vec {e_{1}}}+{\vec {e_{2}}}$和${\vec {e_{1}}}+k{\vec {e_{2}}}$共线的实数k。

相关例题7： 已知在三角形ABC中，D是BC上的一点，且${\frac {BD}{DC}}=\lambda$，求证：${\vec {AD}}={\frac {{\vec {AB}}+\lambda {\vec {AC}}}{1+\lambda }}$。

相关例题8： 已知${\vec {AD}}=3{\vec {AB}},{\vec {DE}}=3{\vec {BC}}$，判断${\vec {AC}}$与${\vec {AE}}$是否共线。

相关例题9： 已知在四边形ABCD中，${\vec {AB}}={\vec {a}}+2{\vec {b}},{\vec {BC}}=-4{\vec {a}}-{\vec {b}},{\vec {CD}}=-5{\vec {a}}-3{\vec {b}}$，求证四边形ABCD是梯形。

相关例题10： 已知$A(2\cos \alpha ,{\sqrt {3}}\sin \alpha ),B(2\cos \beta ,{\sqrt {3}}\sin \beta ),C(-1,0)$是平面上3个不同的点，且满足关系式${\vec {CA}}=\lambda {\vec {BC}}$，求实数$\lambda$的取值范围。

相关例题11： 已知在梯形ABCD中，|AB| = 2 |DC|, M、N分别是DC、AB的中点。记${\vec {e_{1}}}={\vec {AB}},{\vec {e_{2}}}={\vec {AD}}$，试用${\vec {e_{1}}}$和${\vec {e_{2}}}$分别表示出${\vec {DC}}$、${\vec {BC}}$和${\vec {MN}}$。

相关例题12： 已知四边形ABCD是一个梯形，$AB\parallel CD,AB=2CD$，M、N分别是DC、AB的中点。记${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {AD}}$，试用${\vec {a}}$和${\vec {b}}$分别表示出${\vec {BC}}$和${\vec {MN}}$。

相关例题13： 已知${\vec {a}},{\vec {b}}$是不共线的2个非零向量，${\vec {OM}}=m{\vec {a}},{\vec {ON}}=n{\vec {b}},{\vec {OP}}=r{\vec {a}}+s{\vec {b}},m\in \mathbb {R} ^{*},n\in \mathbb {R} ^{*},r\in \mathbb {R} ,s\in \mathbb {R}$。若M、P、N三点共线，求证：${\frac {r}{m}}+{\frac {s}{n}}=1$。

相关例题14： 已知在三角形ABC中，BE与CD交点为P，${\vec {AB}}={\vec {a}},{\vec {AC}}={\vec {b}},{\vec {AP}}={\vec {c}},{\vec {AD}}=\lambda {\vec {a}}\quad (0<\lambda <1),{\vec {AE}}=\mu {\vec {b}}\quad (0<\mu <1)$，试用向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$表示出${\vec {c}}$。

补充习题

参见

• 高中物理/力與運動/力的概念
• 高中物理/力與運動/力的合成与分解

外部链接

维基百科中的相关条目：

向量