高中數學/平面解析幾何/圓的方程

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識

閱讀本節，需要先學習有關直線方程補充知識、任意角的三角比的知識，並了解圓的定義。

此外，學習有關弦長公式的推導和使用，還需要了解韋達定理與平方項的代數變形技巧。

考試要求

對於有應試需要的讀者，本節介紹的內容中，只有圓系方程的相關知識不是必須掌握的。圓是最簡單的曲線之一，對於圓本身以及圓與直線的問題，爭取做到熟練求解是很有必要的，而且也是並不難做到的。

基礎知識

圓的標準方程

我們考慮設圓心為C(a, b)，半徑為r的圓。根據圓的定義，圓周上的點到圓心的距離一定都等於半徑，所以圓周上的任意一點M (x, y)一定都滿足|MC| = r。
再由勾股定理可知點M與圓心C的距離：$|MC|={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$。
由此可得此圓周的方程：
${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=r\quad \Leftrightarrow \quad (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

圓心為C (a, b)，半徑為r的圓周的平面直角坐標方程為：

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

這個方程叫做圓的標準方程（standard form for the equation of a circle），簡稱為圓的方程（circle equation）。

提示：(1)圓的方程就是指圓周的方程，一般不會包含圓的內部區域。(2)「圓外的一點」有時也泛指不在圓周上的點（可能在圓周內側，也有可能在圓周外側），讀者需要根據上下文自行判斷。

當同時已知圓的半徑和圓心時，可以直接參照標準方程寫出圓的方程。而當只知道圓的半徑或圓心，連同知道一些其它條件時，設出圓的標準方程並採用待定係數法求解是最基礎的做法。解題時要注意利用問題中提供的信息列式。

相關例題1： 求經過兩點A (3, 5)和B (-3, 7)，並且圓心在x軸上的圓的方程。

相關例題2： 已知半徑為5的圓經過點A (-2, 6)，且有一條長度為$2{\sqrt {5}}$的弦剛好被點P (5, 4)平分。求此圓的方程。

圓的一般方程

將圓的標準方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$展開，可得下列形式：
$x^{2}+y^{2}-2ax-2by+(a^{2}+b^{2}-r^{2})=0$
這說明圓的方程都可以寫成下列的特殊二次曲線形式：
$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\quad (D,E,F\in \mathbb {R} )$

反之則未必如此。為說明這一點，我們從方程形如$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$的曲線入手，先依次對其中含x與含y的項進行配方，看是否能轉換為圓的標準方程：
$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\quad \Leftrightarrow \quad (x+{\frac {D}{2}})^{2}+(y+{\frac {E}{2}})^{2}={\frac {D^{2}+E^{2}-4F}{4}}$
由於圓的半徑必須大於0，所以上式右端分式中的分子$D^{2}+E^{2}-4F$能否滿足大於0的條件就成了關鍵。
①當$D^{2}+E^{2}-4F>0$時，通過與圓的標準方程比較對應係數，容易看出該方程此時表示圓心在$(-{\frac {D}{2}},-{\frac {E}{2}})$，半徑$r={\frac {\sqrt {D^{2}+E^{2}-4F}}{2}}$的圓。
②當$D^{2}+E^{2}-4F=0$時，方程只有唯一的實數解$x=-{\frac {D}{2}},y=-{\frac {E}{2}}$，所以表示的是一個點$(-{\frac {D}{2}},-{\frac {E}{2}})$。
③當$D^{2}+E^{2}-4F<0$時，方程沒有實數解，它不表示任何圖形。

在平面直角坐標系中，圓的一般方程（general equation for a circle）為：

$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\quad (D^{2}+E^{2}-4F>0)$

圓的標準方程突出了圓的幾何特徵：指明了圓心的位置和半徑大小。

圓的一般方程突出了圓作為特殊二次曲線的代數特徵：

• $x^{2},y^{2}$兩項的係數都是相同的非零實數。
• 展開式中不存在xy這樣的「交叉性的」二次項。

點或直線與圓的位置關係

由圓標準方程的幾何意義可以判斷點$P(x_{0},y_{0})$與圓$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$的位置關係：

• 點P在圓的內側等價於$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}<r^{2}$
• 點P在圓周上等價於$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}=r^{2}$
• 點P在圓周的外側等價於$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}>r^{2}$

直線與圓的位置關係分為下列幾種情形：

• 有2個交點。此時圓心到直線的距離小於圓的半徑。
  • 特別地，當圓心到直線的距離為0時，直線正好通過圓心，將圓周一分為二。
• 有1個交點。此時圓與直線相切，圓心到直線的距離剛好等於圓的半徑。
• 不相交。此時圓心到直線的距離大於圓的半徑。

判斷直線與圓的交點個數，除了以上基於幾何直觀的處理思路，也可以用基於方程的思想處理。即聯立直線與圓的方程，然後對所得的二次方程使用根的判別式處理。

相關例題： 圓心在原點上，與直線x + y - 2 = 0相切的圓的方程是(    )。
（出自2010年中國大陸高考數學寧夏卷第Ⅱ卷第13題（填空題第1題）。）

論證直線與圓相交，常用方法有3種：

• 證明圓心到直線的距離小於半徑。
• 證明由直線和圓的方程聯立組成的方程組有2組不同的解。
• 證明直線恆過圓內部的一個定點。這種方法主要適用於某些含可變參數，但是容易判斷出所過定點的直線。

對於直線與圓相交的較簡單問題，常見的題型有下列幾種：

• 求直線與圓的交點。聯立並求解方程組即可。
• 不需要求交點。只要判斷直線與圓是否相交，通常轉化為圓到直線的距離與半徑比較大小。
• 求弦中點的未知。求出交點後，用中點坐標公式計算兩個交點的中點。或者利用後面要介紹的基於韋達定理的點差法求解。
• 求弦長。可以在求出交點後直接利用兩點的距離公式計算弦長。有時也可以採取初中幾何的做法，取半徑、半弦長、弦心距組成一個直角三角形，利用半徑的定義和勾股定理解題。

此外，求圓的切線的問題也比較常見，但是這類問題還需要補充一些結論才好處理一些，所以我們選擇在本節後面的某些小節中再去討論圓的切線問題。

圓與圓的位置關係

圓與圓的位置關係分為5種情形：完全包含、內切、相交於2點、外切、相離。

由幾何預備知識或生活常識可知，如果我們分別設圓A、B的半徑為$r_{a},r_{b}$（不妨設$r_{a}<r_{b}$），兩圓圓心的間距為d，則兩圓的位置關係可以區分如下：

• 完全包含：$d+r_{a}<r_{b}$
• 內切：$d+r_{a}=r_{b}$
• 相交於2點：$d+r_{a}>r_{b},d<r_{a}+r_{b}$
• 外切：$d=r_{a}+r_{b}$
• 相離：$d>r_{a}+r_{b}$

有時，如果問題只需要粗略判斷圓和圓是無交點（不區分包含還是相離）、相切（不區分內切還是外切）還是相交，可以模仿直線與圓位置關係的判斷方法，直接通過聯立2個圓的方程，然後利用二次方程的判別式，判斷解的個數即可。

圓的參數方程

設圓心在原點、半徑為r圓周上有一個動點M，它從位於x正半軸上的點(r, 0)開始出發，沿着逆時針方向運動。則由三角函數的單位圓定義可知，該動點轉過的角度（弧度）與所在的位置之間存在如下關係：

$\left\{{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{array}}\right.$

更一般地說，在上述結論的基礎上，利用圖形的平移變換，即可以推知圓心在點(a, b)、半徑為r的圓（周）的參數方程。

圓心在點(a, b)、半徑為r的圓（周）的參數方程（parametric equation(s) of a circle）為：

$\left\{{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\y=b+r\sin \theta \end{array}}\right.$

該方程描述平面上以轉角大小$\theta$為參變量，a、b、r為常量的動點軌跡。當$\theta$確定時，動點的坐標x與坐標y的值也都同時確定。

常用結論與常見模型

圓的切點弦方程和切線方程

相關例題1： 已知圓的方程是$x^{2}+y^{2}=4$，求經過此圓上一點$M(x_{0},y_{0})$的切線方程。

參考解答：
記原點為O。先只考慮切線非沿水平或垂直方向的情況。此時可設切線斜率為$k_{1}$，從圓心與切點連線OM的斜率為$k_{2}$。
由於O點的坐標為(0, 0)，M點的坐標已經設為$(x_{0},y_{0})$，所以按照兩點的斜率計算公式，$k_{2}={\frac {y_{0}}{x_{0}}}$。
又因為作為半徑的OM一定與過切點M的切線垂直，所以$k_{1}k_{2}=-1$，即$k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}=-{\frac {x_{0}}{y_{0}}}$。
由於已知M點的坐標表達式，也知道過該點的切線斜率$k_{1}$的表達式，所以此切線可以利用點斜式方程表達如下：
${\begin{array}{l}(y-y_{0})=k_{1}(x-x_{0})=(-{\frac {x_{0}}{y_{0}}})(x-x_{0})\\\Rightarrow x_{0}x+y_{0}y=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\end{array}}$
又因為點$M(x_{0},y_{0})$在圓上，所以該點坐標滿足圓的方程：$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4$。
利用這個關係式可以進一步簡化前面的結果：
$x_{0}x+y_{0}y=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4\quad \Rightarrow \quad x_{0}x+y_{0}y=4$
對於切線沿水平或豎直方向的情形（切點在圓周上的最偏上、下、左、右的4個點），也不難驗證此切線方程也是成立的。
於是所求的切線方程就是$x_{0}x+y_{0}y=4$。

答案：$x_{0}x+y_{0}y=4$。

相關例題2： 已知點P (-4, 7)，圓$O:x^{2}+y^{2}=13$。從點P作圓O的2條切線PA、PB，其中A、B分別為對應的切點。求直線AB的方程。

通過上述例題，我們指出下列看上去形式上很湊巧的結論：

圓周$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$上任意一點$P(x_{0},y_{0})$處的切線方程為：

$(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-a)(y-a)=r^{2}$

• 特別地，圓心在原點的圓周$x^{2}+y^{2}=r^{2}$上任意一點$P(x_{0},y_{0})$處的切線方程為：

$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$

圓周$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$上任意一點$P(x_{0},y_{0})$處的切線方程為：

$x_{0}x+y_{0}y+D{\frac {x_{0}+x}{2}}+E{\frac {y_{0}+y}{2}}+F=0$

由圓周$x^{2}+y^{2}=r^{2}$外側的一點$P(x_{0},y_{0})$向該圓周作2條切線，則2個切點AB連結而成的切點弦所在的直線方程的形式也為：

$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$

提示：事實上，這個結論並非簡單的巧合，不但可以推廣到圓心不位於原點的其它圓方程，而且對於後面即將學到的橢圓等圓錐曲線，也有完全類似的結論。由於我們會在導數與切線方程一節中論證對於二次曲線成立的更普遍情形，所以為簡潔起見、避免重複囉嗦，這裡不再贅述。就本節中遇到的情況而言，其論證方法與例題中的做法一樣，讀者可自行模仿其中的步驟來給出證明。

對稱問題

有關圓的常見對稱問題常常需要藉助點或直線的對稱知識解決，尤其是確定圓心關於定點或定直線的對稱點。

相關例題1： 求圓$C:x^{2}+y^{2}=4$關於點(2, 3)中心對稱的圓的方程。

相關例題2： 求圓$C:x^{2}+y^{2}+4x-12y+39=0$關於直線3x - 4y + 5 = 0對稱的圓的方程。

弦長公式

設直線L : y = kx + m與圓$C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$存在2個不同的交點$A(x_{1},y_{2})$和$B(x_{2},y_{2})$。我們來計算弦長|AB|在這種情況下與什麼因素有關，換句話說，就是來尋找其簡化計算公式。
首先因為A與B都是即在圓上，也在直線上，所以必然都同時滿足二者的方程。即下列的方程如果存在2個解，這2個解一定分別是A和B的坐標：

$\left\{{\begin{array}{l}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\y=kx+m\end{array}}\right.$

先化簡其中的第1個式子：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}-2a+a^{2}+y^{2}-by+b^{2}=r^{2}$
由於這2個點都滿足所給直線方程，所以可以將關係式y = km + m代入，從而將變量都統一為x：
${\begin{array}{l}x^{2}-2a+a^{2}+(kx+m)^{2}-b(kx+m)+b^{2}=r^{2}\\x^{2}-2a+a^{2}+(k^{2}x^{2}+2kmx+m^{2})-b(kx+m)+b^{2}=r^{2}\\(1+k^{2})x^{2}+(2m-b)kx+m^{2}+b^{2}-bm-2a+a^{2}-r^{2}=0\end{array}}$
在這裡，我們不打算硬算出$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$的值，而是設法利用韋達定理結合平方項的代數變形技巧套出|AB|的值。具體做法為：
${\begin{array}{l}|AB|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+((kx_{1}+m)-(kx_{2}+m))^{2}}}\\={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+k^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}}\end{array}}$
根據韋達定理，只要知道消元後所得的二次方程的2個x值之和$x_{1}+x_{2}$與2個x值之積$x_{1}x_{2}$，代入即可求出弦長的值。上述公式一般被叫做弦長公式。

提示：弦長公式沒有專門的英文名稱。

從上述推導中不難發現有：

• 原距離表達式中的2個y值的代數關係，通過代入直線約束y = kx + m，即可轉換為2個x值的代數關係。這是一種問題中涉及直線約束時，統一變量形式的常見的簡便做法。
• $|AB|={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}}=|x_{1}-x_{2}|{\sqrt {(1+k^{2})}}$
• 當已知消元後的二次方程整理為$Ax^{2}+Bx+C=0$的形式後，還可以繼續利用韋達定理對上述弦長公式進行變形：

${\begin{array}{l}|AB|={\sqrt {(1+k^{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})((-{\frac {B}{A}})^{2}-4{\frac {C}{A}})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {B^{2}}{A^{2}}}-{\frac {4C}{A}})}}\\={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {B^{2}-4AC}{A^{2}}})}}\\={\sqrt {1+k^{2}}}\cdot {\frac {\sqrt {\Delta }}{|A|}}\end{array}}$

• 弦長公式只基於直線方程與二次方程的韋達定理，因此對除圓方程以外的更一般的二次曲線$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0\quad (A,B,C,D,E,F\in \mathbb {R} )$（A與B不同時為零）與直線有2個交點的情形，應該也是仍然成立的。

因為上述各式中只涉及到以x為變量的二次方程，當我們在直線與圓的方程組中消去y得到關於x的二次方程時，才能使用這個公式。不過，我們也可以選擇消去x後得到關於y的二次方程。所以我們也會需要用到有關2個y值與弦長|AB|的關係。我們不必重新推導，將上述公式通過簡單的反向代數變形$x={\frac {y-m}{k}}$，就能得到：
${\begin{array}{l}|AB|={\sqrt {(1+k^{2})(x_{1}-x_{2})^{2}}}\\={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {y_{1}-m}{k}}-{\frac {y_{2}-m}{k}})^{2}}}={\sqrt {(1+k^{2})({\frac {y_{1}-y_{2}}{k}})^{2}}}\\=|y_{1}-y_{2}|{\sqrt {\frac {1+k^{2}}{k^{2}}}}=|y_{1}-y_{2}|{\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}\end{array}}$
並且此時對於只含y的二次方程，也有下列公式成立：
$|AB|={\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}((y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2})={\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}$

我們已經知道在解析幾何中，運算與求解是比較繁瑣的，尤其是無法使用計算機、不得不使用手工計算的情形。因此，採取合理的技巧，避免直接的硬算而同樣得到正確的答案就變得比較重要。在上述弦長公式的推導過程中，採用的就是設而不求的整體代換思想簡化計算步驟。在更廣的層面上來說，可直接硬算求解的問題只是少數，更多的問題我們只能建立好關係式，然後進行整體地分析與判斷其性質。不拘泥於細節計算（尤其是個別解的具體形式）的表象，通過巧妙的代換直奔問題核心，對於不易直接求解的問題才能獲得更廣的處理思路。我們將來在學習後續的特殊函數理論、數值分析等課程中都需要習慣適應這種對數學模型、核心關係式進行整體把握的思想。

設直線y = kx + m與二次曲線相交於不同的兩點$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，易知將它們聯繫方程組並消元後所得的二次方程判別式應該大於0。對於求解其交點弦AB的長度，有下列的弦長公式：

${\begin{array}{l}|AB|=|x_{1}-x_{2}|{\sqrt {(1+k^{2})}}={\sqrt {(1+k^{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}}\\=|y_{1}-y_{2}|{\sqrt {1+{\frac {1}{k^{2}}}}}={\sqrt {(1+k^{2})((y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2})}}\end{array}}$

由於此弦長公式對於橢圓等其它二次曲線也成立，我們以後還會繼續頻繁使用它。

阿氏圓及其方程

阿波羅尼奧斯（希臘語：Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος，英語：Apollonius of Perga，前262年－前190年）是古希臘著名的數學家和天文學家，古典幾何學的集大成者，尤其以對圓錐曲線的研究而聞名於世。

古希臘數學家阿波羅尼奧斯曾證明下列定理：

• 已知平面上兩點A、B，則所有滿足${\frac {|PA|}{|PB|}}=k\neq 1$的點P的軌跡是一個圓。

設A為坐標原點，再設好固定點$B(a,0)\quad (a\neq 0)$和動點P (x, y)。
首先，由平面上兩點間的距離公式可得：
$\left\{{\begin{array}{l}|PA|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\|PB|={\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\end{array}}\right.$
由已知約束條件${\frac {|PA|}{|PB|}}=k\neq 1$可得：
${\begin{array}{l}|PA|=k|PB|\\\Rightarrow {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=k{\sqrt {(x-a)^{2}+y^{2}}}\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}((x-a)^{2}+y^{2})\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}(x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2})\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k^{2}x^{2}-2ak^{2}x+k^{2}a^{2}+k^{2}y^{2}\\\Rightarrow (1-k^{2})x^{2}+2ak^{2}x+(1-k^{2})y^{2}=k^{2}a^{2}\end{array}}$
由於$1-k^{2}\neq 0$，可以對上式的等式兩端同時除以$(1-k^{2})$因子：
${\begin{array}{l}x^{2}+{\frac {2ak^{2}}{1-k^{2}}}x+{\frac {1-k^{2}}{1-k^{2}}}y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}\\\Rightarrow x^{2}+{\frac {2ak^{2}}{1-k^{2}}}x+y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}\end{array}}$
將上式的等式兩端同時加上$({\frac {ak^{2}}{1-k^{2}}})^{2}$以便對變量x配平方：
${\begin{array}{l}(x^{2}+{\frac {2ak^{2}}{1-k^{2}}}x+({\frac {ak^{2}}{1-k^{2}}})^{2})+y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}+({\frac {ak^{2}}{1-k^{2}}})^{2}\\\Rightarrow (x^{2}-{\frac {ak^{2}}{k^{2}-1}})^{2}+y^{2}={\frac {k^{2}a^{2}}{1-k^{2}}}+{\frac {a^{2}k^{4}}{(1-k^{2})^{2}}}\\={\frac {k^{2}a^{2}(1-k^{2})+a^{2}k^{4}}{(1-k^{2})^{2}}}={\frac {k^{2}a^{2}-k^{4}a^{2}+a^{2}k^{4}}{(1-k^{2})^{2}}}={\frac {k^{2}a^{2}}{(1-k^{2})^{2}}}=({\frac {ak}{1-k^{2}}})^{2}\end{array}}$
這是一個圓心在點$({\frac {ak^{2}}{k^{2}-1}},0)$、半徑為$|{\frac {ak}{1-k^{2}}}|$的圓。
此外，當k = 1時，易知所得動點軌跡為線段AB的垂直平分線。

類似地：

• 如果取A點坐標為(a, 0)，B點為原點，則可得到圓方程為：$(x+{\frac {a}{k^{2}-1}})^{2}+y^{2}=({\frac {ak}{k^{2}-1}})^{2}$
• 如果取A點坐標為(a, 0)，B點坐標為(-a, 0)，則可得到圓方程為：$(x+{\frac {k^{2}+1}{k^{2}-1}}a)^{2}+y^{2}=({\frac {2ak}{k^{2}-1}})^{2}$

平面上到2個定點的距離之比是常數$k\quad (k>0,k\neq 1)$的動點的軌跡是一個圓，叫做阿波羅尼奧斯圓，簡稱阿氏圓。

阿氏圓的圓心在直線AB上，半徑為AB長度的${\frac {k}{|k^{2}-1|}}$倍。

了解阿氏圓至少有2點突出的意義：

• 可以給出定義圓的另一種方法。（雖然按此定義手工繪圖作圓時並不好弄。）
• 當k變化時，由2個相同定點產生一系列圓心位置彼此不同的阿氏圓（偏心圓）。而且這些阿氏圓剛好可以用作坐標曲線，描述由等量異種電荷產生的靜電場的一組等勢面。

相關例題： 由兩定點A、B所確定的阿氏圓，其圓心有無可能位於線段AB之上？

圓系方程

具有共同特徵的一組圓叫做一個圓系列（pencil of circles），也譯為圓系或圓束。如果一個方程能描述一組具有某種共同特徵的圓，那麼這樣的方程就叫做圓系方程（equation for a pencil of circles）。

下面先列舉幾種只涉及圓與圓交點的常見圓系方程（圓與直線相交或相切的情形稍後再介紹）：

• 以(a, b)為圓心的同心圓圓系方程：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\lambda ^{2}\quad (\lambda \neq 0)$
• 過同一公共點(a, b)的圓系方程：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+\lambda _{1}(x-a)+\lambda _{2}(y-b)=0$
• 過兩圓$C_{1}:x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0$的交點的圓系方程：$(x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1})+\lambda (x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0$
• 與圓$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$相切於點$M(x_{0},y_{0})$的圓系方程：$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F)=0$（$\lambda \neq -1$，且該方程不包括原來給定的圓本身）

對於其中過兩圓交點的圓系方程，還需要注意：

• 該圓系方程不含有圓$C_{2}$，因此使用此方程時需要注意單獨檢驗$C_{2}$是否也滿足題意，以防遺漏可行的解。
• 當兩圓相交時，取$\lambda =-1$，則可得兩圓的公共弦所在的直線方程為：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$
• 當兩圓相切（不論內切或外切）時，該方程中的所有圓都彼此相切。取$\lambda =-1$，還可得兩圓的公切線方程：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$

單從定義來看，圓系其實是一個過於寬泛、比較模糊的概念。我們必須思考，提出圓系這樣一個寬泛的概念，對於解決具體問題是否有實際幫助。實際上，需要重點掌握的圓系及其圓系方程並不多，這些圓系方程才是真正有助於提供新思路解決問題的。

相關例題1： 求圓心在直線x + y = 0上，且過2個已知圓$C_{1}:x^{2}+y^{2}-2x+10y-24=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+2x+2y-8=0$交點的圓的方程。

分析與提示：
此題的常規思路是先解出已知的2個圓的交點（算出來位於(-4, 0)和(0, 2)），然後可以根據3種不同的思路確定圓心和半徑。第1種是採用待定係數法，然後建立方程組求解；第2種是利用所求圓的圓心必然同時在弦的中垂線與已知直線上這一條件，聯立直線方程組求出交點即為圓心，然後就可以進而得到半徑；第3種是在已知直線上尋找同時到2個已知交點距離相等的點，根據到2點的距離約束聯立方程組確定圓心，進而得到半徑。
圓系方程的做法則是先寫出與兩圓交於同樣兩點的圓系方程，然後根據圓系方程的形式初步確定圓心的表達式。圓系方程中含有未知參數$\lambda$，進而由它得到的圓心坐標也會包含$\lambda$。這個不算問題，因為我們還會利用題中的其它約束條件列式，就可以確定$\lambda$的具體取值。由於已知圓心在給定的直線上，即可將圓心坐標代入直線，從而求出圓系方程中的待定參數。

參考解答：
由於所求的圓通過$C_{1},C_{2}$的交點，所以可以設出滿足這一條件的圓系方程：
${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x+10y-24+\lambda (x^{2}+y^{2}+2x+2y-8)=0\quad (\lambda \neq -1)\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+{\frac {2(\lambda -1)}{1+\lambda }}x+{\frac {2(5+\lambda )}{1+\lambda }}y-{\frac {8(3+\lambda )}{1+\lambda }}=0\end{array}}$
由配方後的大致形式可知其圓心坐標為$({\frac {1-\lambda }{1+\lambda }},-{\frac {5+\lambda }{1+\lambda }})$。
因為圓心在直線x + y = 0上，因此圓心滿足該直線方程。將圓心坐標代入其中可得：
${\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}+(-{\frac {5+\lambda }{1+\lambda }})=0\quad \Rightarrow \quad \lambda =-2$
由於$\lambda$的值已經確定，所以原先所設的圓系方程可以化簡為：
${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x+10y-24+(-2)\cdot (x^{2}+y^{2}+2x+2y-8)=0\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x-6y+8=0\end{array}}$

答案：$x^{2}+y^{2}+6x-6y+8=0$。

點評：採用圓系方程的解法分析圓心坐標時，不需要將圓系方程中的所有項全部配方並整理完畢。只需要大致觀察配好的平方項應該是什麼樣子的，以便能確定圓心位置的程度就夠了，剩餘的係數如何整理可以不必去管。

相關例題2： 設$C_{1}:x^{2}+y^{2}+6x-4=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+6y-28=0$。

(1) 求過這2個圓交點的直線方程。

(2) 求過這2個圓交點，並且圓心在直線x - 4 = 0上的圓的方程。

分析與提示1：第1問由於所求直線同時通過2個已知圓的交點，因此需要同時利用2個圓的信息。只要聯立2個圓方程，不難得到含x和y的一次方程。而一次方程正好就是表示一條直線。難點在第2問。通過初步分析可以發現，所求的圓心一定在已知的2個交點的中垂線上，或者說是在兩圓的連心線上。先求出兩圓的連心線方程，聯立連心線與已知直線的方程就可以求出圓心。其次，求出兩個已知圓的交點。計算其中任意一個交點到所得的圓心的距離，即可獲知半徑。只要圓心和半徑都得到了，即可列出所求的圓的方程。

參考解答1：
(1) 將兩圓相減，可得：
$6x-6y+24=0\quad \Leftrightarrow \quad x-y+4=0$
它表示一個直線，並且是同時利用了兩個圓的已知信息得來的，必然同時經過2個已知圓，所以x - y + 4 = 0就是所求的直線。
(2) 對於圓$C_{1}$的方程化簡可得：
$x^{2}+y^{2}+6x-4=0\quad \Leftrightarrow \quad (x+3)^{2}+y^{2}=13$
即圓$C_{1}$的圓心坐標為(-3, 0)。
對於圓C_2的方程化簡可得：
$x^{2}+y^{2}+6y-28=0\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+(y+3)^{2}=37$
即圓$C_{2}$的圓心坐標為(0, -3)。
所以兩圓圓心的連心線方程為x + y + 3 = 0。
由於所求的圓必須同時通過$C_{1},C_{2}$的交點。所以所求圓的圓心也一定在它們的連心線上。
又因為還要保證所求圓的圓心在直線x - y - 4 = 0上，所以可以聯立圓心必須同時滿足的2個方程：
$\left\{{\begin{array}{l}x+y+3=0\\x-y-4=0\end{array}}\right.$
解得所求圓心的坐標位置為$x={\frac {1}{2}},y=-{\frac {7}{2}}$。
接下來，只差求出圓的半徑。只要求出其中一個交點到圓心的距離，得到的就是半徑。
設所需的某個交點為A，圓心為O。根據前面的結果，O的坐標為$({\frac {1}{2}},-{\frac {7}{2}})$。
還差A的坐標就能求出|AO|，也就是所需半徑。取2個交點中的哪個作為A都能解決問題。
由於A是兩圓的交點，我們解方程組來求所需的A點坐標：
$\left\{{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+6x-4=0\\x^{2}+y^{2}+6y-28=0\end{array}}\right.$
實際上要求解上述方程組，只需要求解其中一個圓的方程與與切點弦方程的公共解：
$\left\{{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+6x-4=0\\x-y+4=0\end{array}}\right.$
解得：x = -1, y = 3或x = -6, y = -2。
不妨記(-1, 3)為A點，易知：
${\begin{array}{l}|CO|=|{\overrightarrow {CO}}|\\=|({\frac {1}{2}}-(-1),-{\frac {7}{2}}-3)|=|({\frac {3}{2}},-{\frac {13}{2}})|\\={\sqrt {({\frac {3}{2}})^{2}+(-{\frac {13}{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {89}{2}}}\end{array}}$
這個|CD|就是求出來的半徑。故所求圓的方程為$(x-{\frac {1}{2}})^{2}+(y+{\frac {7}{2}})^{2}={\frac {89}{2}}$，也即$x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$。

分析與提示2：還是只重點看第2問。由於所求的圓經過已知的2個圓，所以這是一個圓系方程可以解決的問題。根據已知的兩圓方程，設出其它同樣經過公共交點的圓系方程，可以初步得出含參數的圓心坐標。然後利用圓心通過所給的直線，可以將圓心坐標代入已知直線，從而完全確定圓系方程中待定參數的值。進而得到所求圓的方程。

參考解答2：
(1)略。
(2)設經過已知的兩圓交點的圓的方程為：
${\begin{array}{l}(x^{2}+y^{2}+6x-4)+\lambda (x^{2}+y^{2}+6y-28)=0\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+{\frac {6}{1+\lambda }}x+{\frac {6\lambda }{1+\lambda }}y-{\frac {4+28\lambda }{1+\lambda }}=0\end{array}}$
由配方後的大致形式可知其圓心坐標為$(-{\frac {3}{1+\lambda }},{\frac {3\lambda }{1+\lambda }})$。
又因為所求的圓心在直線x - y - 4 = 0上，於是可以將含位置參數$\lambda$的圓心坐標代入該直線方程中（從而確定$\lambda$的具體值）：
$-{\frac {3}{1+\lambda }}-{\frac {3\lambda }{1+\lambda }}-4=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-7$
所以所求的圓的方程為$x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$。

答案：$x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$。

相關例題3： 設兩圓$C_{1}:x^{2}+y^{2}-6x=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}=4$。

(1) 求過$C_{1},C_{2}$的交點，且過定點M (2, -2)的圓$C_{3}$的方程。

(2) 求過$C_{1},C_{2}$的交點，且圓心在直線x + y - 1 = 0上的圓$C_{4}$的方程。

參考解答：
(1)設圓系方程為$x^{2}+y^{2}-6x+\lambda (x^{2}+y^{2}-4)=0$
由於所求的圓還經過定點M (2, -2)，故點M的坐標可以代入上述圓系方程：
$2^{2}+(-2)^{2}-6\cdot 2+\lambda (2^{2}+(-2)^{2}-4)=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =1$
將算出的$\lambda$值代回圓系方程可得：
${\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-6x+1\cdot (x^{2}+y^{2}-4)=0\\\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-6x-4=0\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-2=0\end{array}}$
(2)設圓系方程為$x^{2}+y^{2}-6x+\lambda (x^{2}+y^{2}-4)=0$
為便於找出圓心位置，對其進行初步化簡：
$(1+\lambda )x^{2}+(1+\lambda )y^{2}-6x-4\lambda =0$
易知圓心坐標為$({\frac {3}{1+\lambda }},0)$。
由於已知所求圓的圓心還通過直線x + y - 1 = 0，故可將圓心坐標代入此直線方程求出未知參數$\lambda$：
${\frac {3}{1+\lambda }}+0-1=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =2$
將得到的$\lambda$值代回圓系方程，可得：
$x^{2}+y^{2}-6x+2\cdot (x^{2}+y^{2}-4)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}-2x-{\frac {8}{3}}=0$

答案：$x^{2}+y^{2}-2x-{\frac {8}{3}}=0$。

相關例題4： 已知2個圓$C_{1}:x^{2}+y^{2}=4,C_{2}:x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0$和直線L: 2x + 2y = 0。求經過$C_{1}$和$C_{2}$交點，且與直線L相切的圓的方程。

同時涉及直線與圓交點的常見圓系方程：

• 過直線Ax + By + C = 0與圓$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$相交（或者說經過直線與圓公共交點）的圓系方程：$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$
• 與直線Ax + By + C = 0相切於點$M(x_{0},y_{0})$的圓系方程：$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (Ax+By+C)=0$

總的來說，一旦出現兩圓或多個圓連同其它直線相交在1個或2個公共點的問題，就是一個可以使用圓系方程處理的明顯暗示。而對於只涉及一條線與一個未知圓的問題，不一定會優先想到用圓系的思路處理。此時若要考慮基於圓系方程的解法，需要同時注意2個條件：

1. 直線的方程要已知。
2. 列出圓系方程後，易於通過代入題中的已知信息求解其中的待定參數。

不過相比兩圓或多個圓相交的問題，一線一圓的問題採用圓系方程法，計算量會更小一些。

相關例題5： 過點A (4,1)的圓C與直線x - y - 1 = 0相切於點B (2, 1)，則圓C的方程為(    )。
（出自2010年中國大陸高考數學寧夏卷第Ⅱ卷第15題（填空題倒數第2題）。）

分析與提示1：用待定係數法先設圓的方程，會包含3個未知參數。考慮到題目涉及相切的問題，可能需要考慮圓心和半徑，因此設置成圓的標準方程會比較方便。通過圓經過點A和點B，且與給定直線相切，可以分別列出3個獨立方程。有了3個獨立方程，一般即可求出3個未知量。對於圓與直線相切的條件，可以表達為圓心到直線的距離等於半徑，也可以表達為圓心到切點的斜率與直線斜率之乘積為-1。

參考解答1：
設圓的方程為$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
由點A在圓C上可得：$(4-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2}$。
由點B作為切點肯定也在圓C上，可得：$(2-a)^{2}+(1-b)^{2}=r^{2}$。
聯立上述2個式子，可得|4-a| = |a-2|，解得a = 3。
記已知直線x - y - 1 = 0為L，易知其斜率$k_{L}$為1。
再設所求圓的圓心為點O，易知|OB| = r，且直徑OB與切線L垂直。設OB的斜率為$k_{OB}$，由垂直條件即有斜率關係：
$k_{OB}k_{L}=-1\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {b-1}{a-2}}\cdot 1=-1\quad \Leftrightarrow \quad b=3-a=3-3=0$
即圓心坐標為(3, 0)。由此易知$r^{2}=|OB|^{2}=2$。
故所求圓的方程為$(x-3)^{2}+y^{2}=2$。

分析與提示2：將原問題看作是涉及圓與直線的圓系問題，只不過還增加了一個必須通過額外定點的條件。我們可以先設出所需的圓系方程，然後將需要滿足的定點坐標代入，即可確定圓系方程中待定的參數，從而將圓唯一確定下來。

參考解答2：
設與已知直線相切的圓系方程為$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda (x-y-1)=0$。
將必須通過的定點A (4, 1)代入上述圓系方程，可得：
$(4-2)^{2}+(1-1)^{2}+\lambda (x-y-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-2$
將求出的參數$\lambda$重新帶回原來所在的圓系方程，可得所求的圓為$(x-3)^{2}+y^{2}=2$。

答案：$(x-3)^{2}+y^{2}=2$。

相關例題6： 求與直線x - 2y - 1 = 0相切於點(5, 2)，且圓心在直線 x - y - 9 = 0上的圓的方程。

參考解答1：
圓心在x - y - 9 = 0上，可設圓心坐標為(a, a-9)。
由(a, a-9)到直線x - 2y - 1 = 0的距離的關於圓的半徑，可得：
${\frac {|a-2(a-9)-1|}{\sqrt {1+2^{2}}}}={\sqrt {(a-5)^{2}+(a-11)^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad a=7$
由此可得半徑為${\sqrt {(a-5)^{2}+(a-11)^{2}}}={\sqrt {(7-5)^{2}+(7-11)^{2}}}={\sqrt {20}}$。
故所求的圓的方程為$(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=20$。

參考解答2：
設與已知直線相切的圓系方程為$(x-5)^{2}+(y-2)^{2}+\lambda (x-2y-1)=0$。
整理可得：$x^{2}+(\lambda -10)x+y^{2}-2(\lambda +2)y+(29-\lambda )=0$
由配方後的大致形式可知其圓心坐標為$({\frac {10-\lambda }{2}},2+\lambda )$。
又因為所求的圓心在直線x - y - 9 = 0上，於是可以將含位置參數$\lambda$的圓心坐標代入該直線方程中（從而確定$\lambda$的具體值）：
${\frac {10-\lambda }{2}}-(2+\lambda )-9=0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-4$
將求出的參數$\lambda$重新帶回原來所在的圓系方程，可得所求的圓為$(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=20$。

答案：$(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=20$。

直線系方程與圓系方程都屬於曲線系方程。

我們從上面介紹過的常用圓系方程中，挑出一部分特別實用又容易混淆記錯的集中羅列如下：

只涉及圓與圓交點的重要圓系方程：

• 過兩圓$C_{1}:x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0,C_{2}:x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0$的交點的圓系方程：$(x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1})+\lambda (x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0$
  • 該圓系方程不含有圓$C_{2}$，因此使用此方程時需要注意單獨檢驗$C_{2}$是否也滿足題意。
  • 當兩圓相交時，取$\lambda =-1$，則可得兩圓的公共弦方程：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$
  • 當兩圓相切（不論內切或外切）時，取$\lambda =-1$，可得兩圓的公切線方程：$(D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0$
• 與圓$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$相切於點$M(x_{0},y_{0})$的圓系方程：

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F)=0$（$\lambda \neq -1$，且該方程不包括原來給定的圓本身）

同時涉及直線與圓交點的重要圓系方程：

• 過直線Ax + By + C = 0與圓$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$的公共交點的圓系方程：

$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$

• 與直線Ax + By + C = 0相切於點$M(x_{0},y_{0})$的圓系方程：

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+\lambda (Ax+By+C)=0$

綜合之前直線系方程的知識，我們總結可以用曲線系快速解決的問題：

• 求一個通過指定的兩圓的2個交點（或一圓一線的2個交點），且滿足下列條件的圓：
  • 圓心滿足某種指定條件。
  • 與特定直線相切。
• 求一個通過指定的兩直線的交點，且滿足下列條件的直線：
  • 穿過某定點。
  • 平行或垂直於特定直線。
  • 與特定的圓相切。
• 求通過特定的兩圓交點的直線。此時只需要取$\lambda =-1$，等價於對兩式直接相減以消去平方項。

使用曲線系解題的主要優勢是可以根據題目需求，快捷地求解出所需的曲線方程，避免了對中間量的逐一求解的麻煩。（不需要一步一步去通過解方程組求交點、連線方程等等。）但如果問題比較直接簡單、信息足夠多，也可以不必非得套用曲線系的解法流程。

知識背景：到兩圓的圓冪相等的點組成的曲線叫做等圓冪線。可以證明，2個圓的等圓冪線是一條直線，因此此線也被叫做「根軸」（radical axis）。形如$F_{1}(x,y)+\lambda F_{2}(x,y)=0$的圓系方程所描述的所有曲線兩兩之間都可以定義根軸，而且可以證明它們共的根軸是同一條直線，所以圓系方程也叫做共軸系統（coaxial system）。由於根軸是直線，由圓系方程中兩圓的方程直接相減（即取$\lambda =-1$），容易發現所得的直線方程表示的其實就是根軸：①當兩圓有2個交點時，方程相減得到的交點連線（也叫交點弦、兩圓的公共線）就是圓系的根軸；②當兩圓只有1個交點（相切）時，方程直接相減得到的直線是切線（也叫兩圓的公切線），而且也是圓系的根軸；③當兩圓沒有交點時，方程相減得到的直線仍然表示根軸，即該線上各點的等圓冪性質仍然成立。基於這些理由，由兩圓相減得到的直線方程就叫做根軸方程。此外，在本節介紹的阿波羅尼奧斯圓組成的雙極坐標系也是由2族共軸的圓系組成。對這些知識感興趣的讀者可以學習有關點的圓冪與圓系的根軸的知識。

知識背景：將2個關係式F(x,y) = 0和G(x,y) = 0以$F(x,y)+\lambda G(x,y)=0$這樣的方式組合起來研究是一種值得注意的問題轉化技巧。一個著名的應用是微積分學中的拉格朗日乘數法，它將最值問題中的約束條件以類似的含參項的形式方式巧妙地加入到了原來的函數中，使最值的求解更便利。而且其做法在凸優化理論中會得到繼續延申。在高中階段，這種通過憑空引入新參數將2個式子合併的做法並不多見，讀者可能會在含有條件約束的不等式的證明中遇到採取此類思想的解法。

補充習題

參見

• 圓的極坐標方程
• 點的圓冪與圓系的根軸
• 圓反演與共形變換

外部連結

維基百科中的相關條目：

圓

維基百科中的相關條目：

阿波羅尼奧斯圓

維基百科中的相關條目：

圓系方程