# 高中数学/平面解析几何/直线方程补充知识

## 基础知识

### 倾斜角与斜率的一般规定

• 当原直线本身就是水平直线时，其倾斜角为0。
• 直线倾斜角的取值范围是${\displaystyle [0,\pi )}$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=k\quad (\alpha \neq {\frac {\pi }{2}})}$

(1) 已知一条直线过${\displaystyle A(1,2),B(a,3)\quad (a\in \mathbb {R} )}$两点，求此直线的倾斜角和斜率。
(2) 已知一条直线过${\displaystyle O(0,0),H(\cos \theta ,\sin \theta )}$两点，且${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <0}$，求此直线的倾斜角。

### 直线方程的多种形式

• 直线的点斜式方程：${\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})}$，其中k是斜率，且该直线过定点${\displaystyle P(x_{1},y_{1})}$
• 直线的斜截式方程：y = kx + b，其中k是斜率，b是直线在y轴上的截距；
• 直线的两点式方程：${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}}$，这样的直线过两定点${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})}$
• 直线的截距式方程：${\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}=1}$，这样的直线过定点${\displaystyle A(a,0),B(0,b),a,b\neq 0}$
• 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，A和B不可以同时为0。

${\displaystyle y=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}y-y_{1}=y_{1}(\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}-1)+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{2}-(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}-y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}\\={\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}(y_{1}-y_{2})\\\Leftrightarrow y-y_{1}={\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}(y_{1}-y_{2})\Leftrightarrow {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\end{array}}}$

### 直线与直线的位置关系判定

#### 平行与垂直

${\displaystyle \tan \alpha _{1}=\tan \alpha _{2}}$

${\displaystyle L_{1}\parallel (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\parallel {\frac {(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=(1,{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}})=(1,k_{2})}$

${\displaystyle L_{1}\perp L_{2}=(1,k_{1})\cdot (1,k_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad 1^{2}+k_{1}k_{2}=0\quad \Leftrightarrow \quad k_{1}k_{2}=-1}$

${\displaystyle L_{1}\parallel L_{2}\quad \Leftrightarrow \quad k_{1}=k_{2}}$

${\displaystyle L_{1}\perp L_{2}\quad \Leftrightarrow \quad k_{1}k_{2}=-1}$

${\displaystyle A_{1}:B_{1}=A_{2}:B_{2}}$（如果还有${\displaystyle C_{1}=C_{2}}$，则两直线不但平行，而且完全重合。）

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}$

#### 到角公式与旋转问题

${\displaystyle \theta =\alpha _{2}-\alpha _{1}\quad (\alpha _{1}<\alpha _{2})}$${\displaystyle \theta =\pi +(\alpha _{2}-\alpha _{1})\quad (\alpha _{1}>\alpha _{2})}$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})}$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})={\frac {\tan \alpha _{2}-\tan \alpha _{1}}{1+\tan \alpha _{2}\tan \alpha _{1}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}k_{1}}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}k_{1}}}}$

${\displaystyle \tan \beta =|\tan \theta |=|{\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}k_{1}}}|}$

### 点到直线的距离与平行直线的距离

• 过给定点作已知直线的垂线，求出垂线的长即为距离。
• 利用等面积法。

（平面上点到直线的距离公式） 平面上定点${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$到直线Ax + By + C = 0的距离d为[4]

${\displaystyle d={\frac {Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

（平面上两平行线之间的距离公式）设平面上两条平行线的方程分别是${\displaystyle Ax+By+C_{1}=0}$${\displaystyle Ax+By+C_{2}=0}$，则其间距计算的一般公式为：

${\displaystyle d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

## 常用结论与常见模型

### 三角形面积公式

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\Leftrightarrow (y-y_{1})(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})(x-x_{1})\\\Leftrightarrow y(x_{1}-x_{2})-y_{1}(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})x-(y_{1}-y_{2})x_{1}\\\Leftrightarrow (y_{1}-y_{2})x-(x_{1}-x_{2})y+(y_{2}-y_{1})x_{1}+y_{1}(x_{1}-x_{2})=0\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}h={\frac {(y_{1}-y_{2})x_{3}-(x_{1}-x_{2})y_{3}+(y_{2}-y_{1})x_{1}+y_{1}(x_{1}-x_{2})}{\sqrt {(y_{1}-y_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}}}}\\={\frac {x_{3}(y_{1}-y_{2})+(x_{2}-x_{1})y_{3}+x_{1}(y_{2}-y_{1})+(x_{1}-x_{2})y_{1}}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {x_{3}y_{1}-x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}+x_{1}y_{2}-x_{1}y_{1}+x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{1}y_{1}-x_{1}y_{1})}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+0}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}A={\frac {1}{2}}\cdot |P_{1}P_{2}|\cdot h\\={\frac {1}{2}}\cdot ({\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}})\cdot ({\frac {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{\sqrt {(y_{1}-y_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}}}})\\={\frac {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{2}}\end{array}}}$

### 对称问题

• 点关于直线对称或直线关于点对称。本小节会补充相关结论。
• 直线的简单旋转。这可以由有关到角的计算解决。
• 一条直线关于另一条直线的对称直线，或翻转、对折后的直线。本质上还是可以转化为将直线绕交点朝正方向或反方向旋转合适角度的问题。
• 光线的反射、折射问题。可以当作围绕交点的旋转或翻折类问题处理。
• 直线沿向量的平移。这里将平移视作广义的对称操作。可以将直线方程视为函数，然后利用函数图象平移的规律解决。

• 点(a, b)关于点(m, n)的对称坐标为(2m - a, 2n - b)。
• 点(a, b)关于x轴、y轴、原点、直线y = x、直线y = -x的对称点分别为(a, -b), (-a, b), (-a, -b), (b, a), (-b, -a)。

${\displaystyle (x_{0}-{\frac {2A(Ax_{0}+By_{0}+C)}{A^{2}+B^{2}}},y_{0}-{\frac {2B(Ax_{0}+By_{0}+C)}{A^{2}+B^{2}}})}$

### 结合几何特征确定未知的点或直线

(1) 求当${\displaystyle \triangle ABO}$面积最小时直线L的方程。
(2) 当|MA||MB|最小时，求直线L的方程。

### 直线系方程

• 过定点的直线系方程：${\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})}$（这个直线系方程中并未包括直线${\displaystyle x=x_{0}}$。）
• 和直线A x + B y + C = 0平行（且不重合）的直线系方程：${\displaystyle Ax+By+C_{0}=0\quad (C_{0}\neq C)}$
• 和直线A x + B y + C = 0垂直的直线系方程：B x + A y + C = 0
• 经过两条相交直线${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$的交点的直线系方程：

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0}$ （这个直线系方程中并未包括直线${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$。）

### 点向式、点法式和参数方程

${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P}}=t{\vec {v}}\quad \Rightarrow \quad (x-x_{0},y-y_{0})=t(a,b)\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\\z=z_{0}+ct\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0}$叫做直线的点法式方程[7]。从点法式能直接得出其法向量为(A, B)。

• 点向式（易于得到方向向量${\displaystyle {\vec {n}}_{\parallel }=(a,b)}$）：${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}+{\frac {y-y_{0}}{b}}=0}$
• 点法式（易于得到法向量${\displaystyle {\vec {n}}_{\perp }=(A,B)}$）：${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}|}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}}}$

### 与其它板块知识点或特殊规律结合的问题

(1) 设${\displaystyle \triangle ABC}$的外心为${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$，且设坐标${\displaystyle A(3,t_{1}),B(3,t_{2})}$，用${\displaystyle x_{p}}$分别表示${\displaystyle t_{1},t_{2}}$的值。
(2) 若${\displaystyle \angle AOB={\frac {\pi }{3}}}$，求${\displaystyle \triangle ABC}$外心P的轨迹方程。

A.不存在有理点；B.仅有1个有理点；C.仅有2个有理点；D.有无穷多个有理点

## 参考资料

1. 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”第7.1小节“倾斜角和斜率”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 34–37. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中国大陆））.
2. 王申怀 (本册主编); 马波; 张鹤; 王敬庚; 陶维林; 张劲松 (编者+责任编辑). 第3章“直线与方程”中的“探究与发现”部分. (编) 刘绍学 (主编); 钱珮玲 (副主编); 章建跃 (副主编). 高中数学 (A版). 普通高中课程标准实验教科书 必修2 1. 中国北京市沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 95–96. ISBN 7-107-17706-0 （中文（中国大陆））.
3. 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”第7.2小节“直线的方程”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 38–43. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中国大陆））.
4. 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”第7.3小节“两条直线的位置关系”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 45–53. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中国大陆））.
5. 黄仁寿; 欧阳新龙; 吴有根; 吴江春. 专题3“两直线的位置关系与距离公式”. (编) 徐红瑾 (项目编辑); 陈信漪 (文字编辑). 解析几何. 新专题教程 高中数学3. 朱杰人 (出版人) 4. 中国上海市中山北路3663号: 华东师范大学出版社. 2004: 22–23. ISBN 978-7-5617-3764-4 （中文（中国大陆））.
6. 刘初喜; 施洪亮; 蔡东山. 第14章“坐标平面上的直线”第14.2节“直线的倾斜角和斜率”. 华东师范大学第二附属中学(实验班用)·数学 高中下册 2. 中国上海市永福路123号: 上海教育出版社. 2015: 84–88. ISBN 978-7-5444-6432-1 （中文（中国大陆））.
7. 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”中的“阅读材料：向量与直线”部分. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 55–56. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中国大陆））.