代數拓撲學

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Graduate Texts in Mathematics 82

Raoul Bott Loring W.Tu

Differential Forms in ALgebraic Topology

代數拓撲的微分形式

Translated by XuHaifeng--210.74.240.7 15:18 2005年8月21日 (UTC)

第一章 de Rham 理論

ss1. ${ℝ}^n$上的de Rham 復形

   我们不从这一节将要定义的de Rham上同调开始，而从计算一些例子作为开始。这将展现出一个流形的最重要的微分同胚不变量。
   令$x_1,\mathrm{...},x_n$是${ℝ}^n$上的线性坐标。我们定义${\mathrm{\Omega }}^{\ast }$为$ℝ$上由$d{x}_1,\mathrm{...},d{x}_n$生成的代数，并且具有下述关系：
   $(d{x}_i{)}^2=0$
   $d{x}_{i}d{x}_j=-d{x}_{j}d{x}_{i}i\ne j$

作為$ℝ$上的一個向量空間，${\mathrm{\Omega }}^{\ast }$有基： $1,d{x}_i,d{x}_{i}d{x}_j,d{x}_{i}d{x}_{j}d{x}_k,\mathrm{...},d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$ $i<j,i<j<k,\mathrm{...}$