基礎力學/直線運動

前面我們已經大致了解了分析質點運動的工具，接下來我們要運用這些工具對質點的運動進行具體分析。在此過程中，我們要首先研究最簡單的運動形式——直線運動。

分析質點直線運動的運動學方程

研究質點的直線運動，只需建立一維坐標系Ox即可，此時質點軌跡與坐標軸（x軸）重合。用i表示坐標軸上的單位向量，設質點的位置向量為r，可得到質點的運動學方程：

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i}$

由於在一維坐標系中，r只用一個參數x即可表示其大小與方向，所以可得到該運動學方程的純量形式：

$x=x(t)$

為方便起見，之後我們提到的質點直線運動的運動學方程都是指的上式。

根據前面所學內容，我們可以寫出質點沿x軸運動的速度和加速度。

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},\quad a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.$

在一維坐標系中，有時我們將向量寫作為純量，並以其正負代表向量的方向。

若質點直線運動的運動學方程為線性函數，類似y=ax+b，可得：

$x=x(t)=x_{0}+v_{x}t$

其中x₀和v_x為常量。

對該函數求導，可得：

$v=x'(t)=v_{x}$

由於v_x為常量，所以質點直線運動的運動學方程為線性函數時其描述的是勻速直線運動。

若質點直線運動的運動學方程為二次函數，類似y=ax²+bx+c，可得：

$x=x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}$

對該函數進行求導和二次求導，可得：

${\begin{aligned}v&=x'(t)=v_{0}+a_{x}t\\a&=x''(t)=a_{x}\end{aligned}}$

由於a_x為常量，所以質點直線運動的運動學方程為二次函數時其描述的是勻加速直線運動。

聯立x(t)與x'(t)，消去自變量t，可得到速度v與位移x間的函數關係式：

$v^{2}-v_{0}^{2}=2a_{x}x$

本節中所提到的公式與高中時所教授的運動學公式在形式上是相似的；不同之處在於高中時所授公式以代數方程來呈現，而這裏我們則將其處理為函數。這樣我們就可以用求導等方式來更簡潔、嚴謹地定義一些概念，使物理解決問題的過程更便捷、高效。這將是之後我們學習上努力的一個方向。

求解質點直線運動的運動學方程

我們已經知道：

$v=x'(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

那麼已知質點速度關於時間的函數v(t)，能否求出質點的運動學方程呢？

由上式可得，質點位置坐標等於速度的積分：

$x=\int v(t)\mathrm {d} t=x(t)+C$

其中C表示任意常量。這表明，已知v(t)，尚且需要確定C才能求出運動學方程x(t)。為此我們需要使用待定系數法。測得某一時刻質點的位置坐標，記作( x₀ , t₀ )，代入上式得：

$C=x_{0}-x(t_{0})$

稱( x₀ , t₀ )為位置坐標的初始條件，x₀為初坐標，則可見給出位置坐標的初始條件和質點速度關於時間的函數後，即可求得質點的運動學方程。

將C的值代入x=x(t)+C中可得：

$x-x_{0}=x(t)-x(t_{0})$

又根據牛頓-萊布尼茲公式可得：

$x(t)-x(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}v(t)\mathrm {d} t$

於是：

$x=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}v(t)\mathrm {d} t$

或：

$\Delta x=x-x_{0}=\int _{t_{0}}^{t}v(t)\mathrm {d} t$

同樣的，對於加速度，由於：

$a=v'(t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {dt} }}$

則若已知速度的初始條件(v₀ , t₀ )，同理可證：

$v=\int a(t)\mathrm {d} t=v(t)+C$

$v=v_{0}+\int _{t_{0}}^{t}a(t)\mathrm {d} t$

$\Delta v=v-v_{0}=\int _{t_{0}}^{t}a(t)\mathrm {d} t$