基础力学/直线运动

前面我们已经大致了解了分析质点运动的工具，接下来我们要运用这些工具对质点的运动进行具体分析。在此过程中，我们要首先研究最简单的运动形式——直线运动。

分析质点直线运动的运动学方程

研究质点的直线运动，只需建立一维坐标系Ox即可，此时质点轨迹与坐标轴（x轴）重合。用i表示坐标轴上的单位矢量，设质点的位置矢量为r，可得到质点的运动学方程：

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i}$

由于在一维坐标系中，r只用一个参数x即可表示其大小与方向，所以可得到该运动学方程的标量形式：

$x=x(t)$

为方便起见，之后我们提到的质点直线运动的运动学方程都是指的上式。

根据前面所学内容，我们可以写出质点沿x轴运动的速度和加速度。

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},\quad a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.$

在一维坐标系中，有时我们将矢量写作为标量，并以其正负代表矢量的方向。

若质点直线运动的运动学方程为线性函数，类似y=ax+b，可得：

$x=x(t)=x_{0}+v_{x}t$

其中x₀和v_x为常量。

对该函数求导，可得：

$v=x'(t)=v_{x}$

由于v_x为常量，所以质点直线运动的运动学方程为线性函数时其描述的是匀速直线运动。

若质点直线运动的运动学方程为二次函数，类似y=ax²+bx+c，可得：

$x=x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}a_{x}t^{2}$

对该函数进行求导和二次求导，可得：

${\begin{aligned}v&=x'(t)=v_{0}+a_{x}t\\a&=x''(t)=a_{x}\end{aligned}}$

由于a_x为常量，所以质点直线运动的运动学方程为二次函数时其描述的是匀加速直线运动。

联立x(t)与x'(t)，消去自变量t，可得到速度v与位移x间的函数关系式：

$v^{2}-v_{0}^{2}=2a_{x}x$

本节中所提到的公式与高中时所教授的运动学公式在形式上是相似的；不同之处在于高中时所授公式以代数方程来呈现，而这里我们则将其处理为函数。这样我们就可以用求导等方式来更简洁、严谨地定义一些概念，使物理解决问题的过程更便捷、高效。这将是之后我们学习上努力的一个方向。

求解质点直线运动的运动学方程

我们已经知道：

$v=x'(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

那么已知质点速度关于时间的函数v(t)，能否求出质点的运动学方程呢？

由上式可得，质点位置坐标等于速度的积分：

$x=\int v(t)\mathrm {d} t=x(t)+C$

其中C表示任意常量。这表明，已知v(t)，尚且需要确定C才能求出运动学方程x(t)。为此我们需要使用待定系数法。测得某一时刻质点的位置坐标，记作( x₀ , t₀ )，代入上式得：

$C=x_{0}-x(t_{0})$

称( x₀ , t₀ )为位置坐标的初始条件，x₀为初坐标，则可见给出位置坐标的初始条件和质点速度关于时间的函数后，即可求得质点的运动学方程。

将C的值代入x=x(t)+C中可得：

$x-x_{0}=x(t)-x(t_{0})$

又根据牛顿-莱布尼兹公式可得：

$x(t)-x(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}v(t)\mathrm {d} t$

于是：

$x=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}v(t)\mathrm {d} t$

或：

$\Delta x=x-x_{0}=\int _{t_{0}}^{t}v(t)\mathrm {d} t$

同样的，对于加速度，由于：

$a=v'(t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {dt} }}$

则若已知速度的初始条件(v₀ , t₀ )，同理可证：

$v=\int a(t)\mathrm {d} t=v(t)+C$

$v=v_{0}+\int _{t_{0}}^{t}a(t)\mathrm {d} t$

$\Delta v=v-v_{0}=\int _{t_{0}}^{t}a(t)\mathrm {d} t$