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歐基里德幾何/命題1.2

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以給定點為端點可作線段等於已知線段

設 A 是已知點,BC 是已知線段,要求以點 A 為端點作一線段等於 BC

命題1.2圖

連接 AB(公設 1),在 AB 上作等邊三角形(命題 1.1),延長 DA、DB 成直線 AE、BF(公設 2)

以 B 為圓心,BC 為半徑畫圓 CGH;並以 D 為圓心,DG 為半徑畫圓 GKL(公設 3)

因為點 B 是圓 CGH 的圓心,點 D 是圓 GKL 的圓心,所以 BC 等於 BG,DL 等於 DG(定義 15)

又因為 DA 等於 DB,所以餘下的線段 AL 等於 BG(公理 3)

已經證明了 BC 等於 BG,所以線段 AL、BC 都等於 BG,因為等於同量的量彼此相等,所以 AL 等於 BC(公理 1)

所以以點 A 為端點作出的線段等於 AL 等於已知線段 BC

作畢.