空間直線及其方程

空間直線及其方程

空間直線的一般方程

定義：若平面{ $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ }與平面{ $Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ }相交於直線 $l$ ，則直線 $l$ 的一般方程為：

${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 \end{matrix}$

已知直線上一點 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 和它的方向向量s=(m,n,p)，設直線上的動點為M(x,y,z)則向量 $M M_{0} / / s$

所以兩向量的對應坐標成比例，從而有這條直線的方程為： $\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$

參數方程為 ${\begin{matrix} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \\ z = z_{0} + p t \end{matrix}$

說明：在點向式方程中，某些分母為零時，其分子也理解為零。如當m=n=0，p≠0時直線方程為 ${\begin{matrix} x = x_{0} \\ y = y_{0} \\ z = z_{0} + p t \end{matrix}$

若兩直線的方向向量分別為 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ ，則它們的夾角為 $\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

若直線的方向向量為 $\vec{a}$ ，平面的法向量為 $\vec{b}$ ，則直線與平面的夾角為 $\arcsin \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

(平面束)