量子力學

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量子力學

寫在前面——編者的期望

我在重做這本教科書時有過說明，這本教科書的目錄是按照朗道的《量子力學》重製的。朗道是一個掌握了物理世界深刻規律的人。他在編寫同名教科書時所講的是目前已發現的物理事實和朗道明確指出的屬於物理對當前事實的解釋的內容。對於那些試圖把物理學「嚴格化」的做法，朗道有一個有意思的說法，大概是這樣的：......的做法試圖......嚴格化，實則充滿錯誤，還有玄虛的玄學討論。編者，也就是我，是憑記憶引用的，所以既不完整，也不保證正確。不過，我確實想說說這方面的問題。自從中文國家引入量子力學，中文教材大多使用的是所謂公理化方法。確實，它很經典。這套講述方法大概可以追溯到馮·諾伊曼。有名的《量子力學的數學基礎》中第一次這樣講述了量子力學，量子力學理論第一次這樣嚴謹和慘不忍睹。不過，諾伊曼大叔的工作應當還是值得誇讚的。畢竟，他還在講物理。後世物理學教科書的作者就不同了。他們淡定的一邊套用公理化方法，另一邊在借着公理化的魔術帽討論物理的哲學基礎，討論哲學，儘管他們對哲學一無所知。

這套教科書討論的是量子力學的非相對論部分和量子場論。說量子場論，其實這裏暫時還不討論整個量子場論，而是只討論量子電動力學，所謂「QED」。QED是一個較成熟的理論。量子場論的其他領域基本上在套用QED的方法——當然不是簡單搬運。「場論」，物理好的讀者知道它講的是透過場來實現的相互作用，主體部分是相對論理論。那麼量子場論就是量子力學的相對論理論。之所以有這個理論，當然是量子力學要涉足研究相互作用。

就這套書的結構，讀者應當看得出來，§153以下講的是量子場論（目前僅限於QED）

量子力學作為一門艱深的物理理論，涉及了複雜的數學知識，讀者應該在正式接觸學習之前系統學習高等數學。個人意見是學習В.А.卓里奇的《數學分析》和Б.П.吉米多維奇的《數學分析習題集》。另外還有D.希爾伯特和R.柯朗的《數學物理方法》。等等等等...

只是來科普的讀者可能要失望了。

這套教科書尊重哥本哈根詮釋，不討論其他理論，也不討論哥本哈根詮釋。如果想提出自己的研究觀點和哲學意見，請猛戳這裏。

這套教科書篇幅龐大，可能需十數年時間才能完成，你們看到的在這裏打字的人更是可能這輩子都不會再碰這本教科書一下了，希望物理好的維基人相互轉告，完成這本教科書。

另外我想說的是，套用朗道的目錄不代表老土守舊，我會準備眾多參考資料的。朗道的特點是結構合理，同一個論點不需要重複兩次，就像下面一樣......『量子力學的數學結構』是不需要的一章，完全可以歸約到『量子力學的基本概念』中去......「現代」講法的主要缺點是結構踉蹌彆扭，矯揉造作。特別是把量子力學的全部難點提前到第一章......這無異於空洞的「哲§學」討論。容易讓人產生量子力學學不懂的想法（雖然學不懂是事實）。費曼一語成讖：沒有人懂量子力學。數學結構什麼的不需要另加討論，因為在對物理事實的闡述中它已經出現過一次了。當然，如果不同意這裏的觀點，咱們可以這樣......在理論上也不妨礙交流......下面的內容可以保留啊......它畢竟也是個內容，雖然看起來像玄學......

量子力學的數學結構

§1 態的數學結構

量子力學裏面的態這一概念，實際上是對系統狀態的完全的描述。有一種說法這一描述是過完備的，因為有一個整體的相位信息實際上並不需要。

在一般中國講授的初等量子力學裏面，對於態一般處理僅包含空間信息，不包含任何內部自由度的系統，此時這個態的空間表象可以寫成 $\langle {\bf {x}}|\psi \rangle =\psi (x)$ ，但是請記住這僅僅是一個表象而已，並不是態的本質。物理態的本質是一個向量而已，儘管這個向量所處在的空間可能不是那麼易於想像。這個向量所處的空間叫做希爾伯特空間。這個空間的維數可以是有限維，無限維，甚至不可數無限維，其嚴格的數學定義可能存在一定困難，但是大多數時候只要理解為有限維的自然推廣即可。

§2 物理量的數學結構

§3 時間的數學結構

量子力學的基本概念

我將更改架構，重新編寫這一部分，因為我打算把數學結構同物理概念緊密地結合起來介紹。而一些同物理概念沒有太緊密關係的數學講解可以甩給數學教科書，或者單獨設一部分討論——但它應當是「高級內容」。

引子：什麼是狀態

談狀態、尤其是量子力學狀態的數學結構之前，首先要了解什麼是狀態。這本應該是所有物理人都應該知道的，但不知道為什麼很多人沒有想清楚這個問題、很多老師也沒有教過。這裏，我引用自己以前撰寫過的一篇介紹。

如果你找得到某種可以區分兩件事物的手段，那麼它們就是不同的，否則它們就是全同的、不可區分的。

在很多具體問題中，我們並不關心兩個物體的具體細節是否相同。比如，現在有一節電池，但電器里需要裝兩節電池從而還需要買一節，那麼我們可能只關心新買的電池和現有的電池是不是同一型號的，而基本不關心它們是什麼品牌、包裝。這種情況下，可以說相同型號電池對於我們的需求而言是等價的，也就是說在「能不能使電器正常工作」的這個問題上是不可區分的。

可區分性和任何科學理論的聯繫都是相當基本的。在「卡爾薩根的噴火龍」的故事中，某人聲稱他的車庫裏有一條噴火龍，但它具有完美的「透明」特性，以至於任何人類能掌握的探測手段都無法探測到它。在對什麼是科學和什麼是非科學的討論中，我們會說這條論述不是科學的。其實還有另一種說法：噴火龍的存在與否是（物理上）不可區分的。唯一的可區分的不同就是這個人是宣稱噴火龍存在還是否定噴火龍的存在——而物理顯然不關心這個問題。可區分性和我們常說的狀態的概念也是密切聯繫着的。假如現在我們要研究天體系統的運動，而科學儀器允許我們確定天體的所有可區分性質，如形狀尺寸、質量分佈、電荷量、質心位置與速度、自轉角動量等物理量，現在把這一系列數據記作「狀態」。但由於決定天體運動的引力相互作用佔主導，從而不同的電荷量並不造成可區分的影響；由於天體相距很遠，所以形狀尺寸和質量分佈也並不重要。最終只有總質量、質心位置與速度、自轉角動量是需要考慮的，這些可以數據可以叫做「天體的狀態」。由於在運動中，總質量和自轉角動量不易改變，所以常把它們分離出來稱作「天體的性質」，而位置、速度、自轉角動量仍稱作「天體的運動狀態」。這也是為什麼以下對「經典決定性原理」的兩種陳述是等價的：

物體此刻的位置與速度決定其將來的位置與速度。
物體的力學狀態是「因果決定性」的。

第一個陳述里沒有提到自轉角動量，是因為對一般的物體運動的討論不能忽略其形狀（即內部結構），而自轉角動量實際上是物體內部粒子的相對運動狀態的一個函數。

在物理學中，我們通過以空間距離、時間間隔及其衍生量為代表的物理量來定義物理狀態，上文中的天體運動狀態就是一個例子。經典力學中有上文提到了的「決定性原理」，這使得通過位置和速度的測量結果定義的狀態概念相當的有用，它解決了所謂的預測問題或者說動力學問題：如何從現在的測量結果推知將來的測量結果。但是下面將要指出：在量子力學中，往往不能通過測量結果推知將來的測量結果！