量子力学

索引

量子力学

写在前面——编者的期望

我在重做这本教科书时有过说明，这本教科书的目录是按照朗道的《量子力学》重制的。朗道是一个掌握了物理世界深刻规律的人。他在编写同名教科书时所讲的是目前已发现的物理事实和朗道明确指出的属于物理对当前事实的解释的内容。对于那些试图把物理学“严格化”的做法，朗道有一个有意思的说法，大概是这样的：......的做法试图......严格化，实则充满错误，还有玄虚的玄学讨论。编者，也就是我，是凭记忆引用的，所以既不完整，也不保证正确。不过，我确实想说说这方面的问题。自从中文国家引入量子力学，中文教材大多使用的是所谓公理化方法。确实，它很经典。这套讲述方法大概可以追溯到冯·诺伊曼。有名的《量子力学的数学基础》中第一次这样讲述了量子力学，量子力学理论第一次这样严谨和惨不忍睹。不过，诺伊曼大叔的工作应当还是值得夸赞的。毕竟，他还在讲物理。后世物理学教科书的作者就不同了。他们淡定的一边套用公理化方法，另一边在借着公理化的魔术帽讨论物理的哲学基础，讨论哲学，尽管他们对哲学一无所知。

这套教科书讨论的是量子力学的非相对论部分和量子场论。说量子场论，其实这里暂时还不讨论整个量子场论，而是只讨论量子电动力学，所谓“QED”。QED是一个较成熟的理论。量子场论的其他领域基本上在套用QED的方法——当然不是简单搬运。“场论”，物理好的读者知道它讲的是透过场来实现的相互作用，主体部分是相对论理论。那么量子场论就是量子力学的相对论理论。之所以有这个理论，当然是量子力学要涉足研究相互作用。

就这套书的结构，读者应当看得出来，§153以下讲的是量子场论（目前仅限于QED）

量子力学作为一门艰深的物理理论，涉及了复杂的数学知识，读者应该在正式接触学习之前系统学习高等数学。个人意见是学习В.А.卓里奇的《数学分析》和Б.П.吉米多维奇的《数学分析习题集》。另外还有D.希尔伯特和R.柯朗的《数学物理方法》。等等等等...

只是来科普的读者可能要失望了。

这套教科书尊重哥本哈根诠释，不讨论其他理论，也不讨论哥本哈根诠释。如果想提出自己的研究观点和哲学意见，请猛戳这里。

这套教科书篇幅庞大，可能需十数年时间才能完成，你们看到的在这里打字的人更是可能这辈子都不会再碰这本教科书一下了，希望物理好的维基人相互转告，完成这本教科书。

另外我想说的是，套用朗道的目录不代表老土守旧，我会准备众多参考资料的。朗道的特点是结构合理，同一个论点不需要重复两次，就像下面一样......『量子力学的数学结构』是不需要的一章，完全可以归约到『量子力学的基本概念』中去......“现代”讲法的主要缺点是结构踉跄别扭，矫揉造作。特别是把量子力学的全部难点提前到第一章......这无异于空洞的“哲§学”讨论。容易让人产生量子力学学不懂的想法（虽然学不懂是事实）。费曼一语成谶：没有人懂量子力学。数学结构什么的不需要另加讨论，因为在对物理事实的阐述中它已经出现过一次了。当然，如果不同意这里的观点，咱们可以这样......在理论上也不妨碍交流......下面的内容可以保留啊......它毕竟也是个内容，虽然看起来像玄学......

量子力学的数学结构

§1 态的数学结构

量子力学里面的态这一概念，实际上是对系统状态的完全的描述。有一种说法这一描述是过完备的，因为有一个整体的相位信息实际上并不需要。

在一般中国讲授的初等量子力学里面，对于态一般处理仅包含空间信息，不包含任何内部自由度的系统，此时这个态的空间表象可以写成 $\langle {\bf {x}}|\psi \rangle =\psi (x)$ ，但是请记住这仅仅是一个表象而已，并不是态的本质。物理态的本质是一个向量而已，尽管这个向量所处在的空间可能不是那么易于想象。这个向量所处的空间叫做希尔伯特空间。这个空间的维数可以是有限维，无限维，甚至不可数无限维，其严格的数学定义可能存在一定困难，但是大多数时候只要理解为有限维的自然推广即可。

§2 物理量的数学结构

§3 时间的数学结构

量子力学的基本概念

我将更改架构，重新编写这一部分，因为我打算把数学结构同物理概念紧密地结合起来介绍。而一些同物理概念没有太紧密关系的数学讲解可以甩给数学教科书，或者单独设一部分讨论——但它应当是“高级内容”。

引子：什么是状态

谈状态、尤其是量子力学状态的数学结构之前，首先要了解什么是状态。这本应该是所有物理人都应该知道的，但不知道为什么很多人没有想清楚这个问题、很多老师也没有教过。这里，我引用自己以前撰写过的一篇介绍。

如果你找得到某种可以区分两件事物的手段，那么它们就是不同的，否则它们就是全同的、不可区分的。

在很多具体问题中，我们并不关心两个物体的具体细节是否相同。比如，现在有一节电池，但电器里需要装两节电池从而还需要买一节，那么我们可能只关心新买的电池和现有的电池是不是同一型号的，而基本不关心它们是什么品牌、包装。这种情况下，可以说相同型号电池对于我们的需求而言是等价的，也就是说在“能不能使电器正常工作”的这个问题上是不可区分的。

可区分性和任何科学理论的联系都是相当基本的。在“卡尔萨根的喷火龙”的故事中，某人声称他的车库里有一条喷火龙，但它具有完美的“透明”特性，以至于任何人类能掌握的探测手段都无法探测到它。在对什么是科学和什么是非科学的讨论中，我们会说这条论述不是科学的。其实还有另一种说法：喷火龙的存在与否是（物理上）不可区分的。唯一的可区分的不同就是这个人是宣称喷火龙存在还是否定喷火龙的存在——而物理显然不关心这个问题。可区分性和我们常说的状态的概念也是密切联系着的。假如现在我们要研究天体系统的运动，而科学仪器允许我们确定天体的所有可区分性质，如形状尺寸、质量分布、电荷量、质心位置与速度、自转角动量等物理量，现在把这一系列数据记作“状态”。但由于决定天体运动的引力相互作用占主导，从而不同的电荷量并不造成可区分的影响；由于天体相距很远，所以形状尺寸和质量分布也并不重要。最终只有总质量、质心位置与速度、自转角动量是需要考虑的，这些可以数据可以叫做“天体的状态”。由于在运动中，总质量和自转角动量不易改变，所以常把它们分离出来称作“天体的性质”，而位置、速度、自转角动量仍称作“天体的运动状态”。这也是为什么以下对“经典决定性原理”的两种陈述是等价的：

物体此刻的位置与速度决定其将来的位置与速度。
物体的力学状态是“因果决定性”的。

第一个陈述里没有提到自转角动量，是因为对一般的物体运动的讨论不能忽略其形状（即内部结构），而自转角动量实际上是物体内部粒子的相对运动状态的一个函数。

在物理学中，我们通过以空间距离、时间间隔及其衍生量为代表的物理量来定义物理状态，上文中的天体运动状态就是一个例子。经典力学中有上文提到了的“决定性原理”，这使得通过位置和速度的测量结果定义的状态概念相当的有用，它解决了所谓的预测问题或者说动力学问题：如何从现在的测量结果推知将来的测量结果。但是下面将要指出：在量子力学中，往往不能通过测量结果推知将来的测量结果！