量子力学

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写在前面——编者的期望[编辑]

我在重做这本教科书时有过说明,这本教科书的目录是按照朗道的《量子力学》重制的。朗道是一个掌握了物理世界深刻规律的人。他在编写同名教科书时所讲的是目前已发现的物理事实和朗道明确指出的属于物理对当前事实的解释的内容。对于那些试图把物理学“严格化”的做法,朗道有一个有意思的说法,大概是这样的:......的做法试图......严格化,实则充满错误,还有玄虚的玄学讨论。编者,也就是我,是凭记忆引用的,所以既不完整,也不保证正确。不过,我确实想说说这方面的问题。自从中文国家引入量子力学,中文教材大多使用的是所谓公理化方法。确实,它很经典。这套讲述方法大概可以追溯到冯·诺伊曼。有名的《量子力学的数学基础》中第一次这样讲述了量子力学,量子力学理论第一次这样严谨和惨不忍睹。不过,诺伊曼大叔的工作应当还是值得夸赞的。毕竟,他还在讲物理。后世物理学教科书的作者就不同了。他们淡定的一边套用公理化方法,另一边在借着公理化的魔术帽讨论物理的哲学基础,讨论哲学,尽管他们对哲学一无所知。

这套教科书讨论的是量子力学的非相对论部分和量子场论。说量子场论,其实这里暂时还不讨论整个量子场论,而是只讨论量子电动力学,所谓“QED”。QED是一个较成熟的理论。量子场论的其他领域基本上在套用QED的方法——当然不是简单搬运。“场论”,物理好的读者知道它讲的是透过场来实现的相互作用,主体部分是相对论理论。那么量子场论就是量子力学的相对论理论。之所以有这个理论,当然是量子力学要涉足研究相互作用。

就这套书的结构,读者应当看得出来,§153以下讲的是量子场论(目前仅限于QED)

量子力学作为一门艰深的物理理论,涉及了复杂的数学知识,读者应该在正式接触学习之前系统学习高等数学。个人意见是学习В.А.卓里奇的《数学分析》和Б.П.吉米多维奇的《数学分析习题集》。另外还有D.希尔伯特和R.柯朗的《数学物理方法》。等等等等...

只是来科普的读者可能要失望了。

这套教科书尊重哥本哈根诠释,不讨论其他理论,也不讨论哥本哈根诠释。如果想提出自己的研究观点和哲学意见,请猛戳这里

这套教科书篇幅庞大,可能需十数年时间才能完成,你们看到的在这里打字的人更是可能这辈子都不会再碰这本教科书一下了,希望物理好的维基人相互转告,完成这本教科书。

另外我想说的是,套用朗道的目录不代表老土守旧,我会准备众多参考资料的。朗道的特点是结构合理,同一个论点不需要重复两次,就像下面一样......『量子力学的数学结构』是不需要的一章,完全可以归约到『量子力学的基本概念』中去......“现代”讲法的主要缺点是结构踉跄别扭,矫揉造作。特别是把量子力学的全部难点提前到第一章......这无异于空洞的“哲§学”讨论。容易让人产生量子力学学不懂的想法(虽然学不懂是事实)。费曼一语成谶:没有人懂量子力学。数学结构什么的不需要另加讨论,因为在对物理事实的阐述中它已经出现过一次了。当然,如果不同意这里的观点,咱们可以这样......在理论上也不妨碍交流......下面的内容可以保留啊......它毕竟也是个内容,虽然看起来像玄学......

量子力学的数学结构[编辑]

§1 态的数学结构[编辑]

量子力学里面的态这一概念,实际上是对系统状态的完全的描述。有一种说法这一描述是过完备的,因为有一个整体的相位信息实际上并不需要。

在一般中国讲授的初等量子力学里面,对于态一般处理仅包含空间信息,不包含任何内部自由度的系统,此时这个态的空间表象可以写成,但是请记住这仅仅是一个表象而已,并不是态的本质。物理态的本质是一个向量而已,尽管这个向量所处在的空间可能不是那么易于想象。这个向量所处的空间叫做希尔伯特空间。这个空间的维数可以是有限维,无限维,甚至不可数无限维,其严格的数学定义可能存在一定困难,但是大多数时候只要理解为有限维的自然推广即可。

§2 物理量的数学结构[编辑]

§3 时间的数学结构[编辑]

量子力学的基本概念[编辑]

我将更改架构,重新编写这一部分,因为我打算把数学结构同物理概念紧密地结合起来介绍。而一些同物理概念没有太紧密关系的数学讲解可以甩给数学教科书,或者单独设一部分讨论——但它应当是“高级内容”。

引子:什么是状态[编辑]

谈状态、尤其是量子力学状态的数学结构之前,首先要了解什么是状态。这本应该是所有物理人都应该知道的,但不知道为什么很多人没有想清楚这个问题、很多老师也没有教过。这里,我引用自己以前撰写过的一篇介绍。

如果你找得到某种可以区分两件事物的手段,那么它们就是不同的,否则它们就是全同的、不可区分的。

在很多具体问题中,我们并不关心两个物体的具体细节是否相同。比如,现在有一节电池,但电器里需要装两节电池从而还需要买一节,那么我们可能只关心新买的电池和现有的电池是不是同一型号的,而基本不关心它们是什么品牌、包装。这种情况下,可以说相同型号电池对于我们的需求而言是等价的,也就是说在“能不能使电器正常工作”的这个问题上是不可区分的。

可区分性和任何科学理论的联系都是相当基本的。在“卡尔萨根的喷火龙”的故事中,某人声称他的车库里有一条喷火龙,但它具有完美的“透明”特性,以至于任何人类能掌握的探测手段都无法探测到它。在对什么是科学和什么是非科学的讨论中,我们会说这条论述不是科学的。其实还有另一种说法:喷火龙的存在与否是(物理上)不可区分的。唯一的可区分的不同就是这个人是宣称喷火龙存在还是否定喷火龙的存在——而物理显然不关心这个问题。 可区分性和我们常说的状态的概念也是密切联系着的。假如现在我们要研究天体系统的运动,而科学仪器允许我们确定天体的所有可区分性质,如形状尺寸、质量分布、电荷量、质心位置与速度、自转角动量等物理量,现在把这一系列数据记作“状态”。但由于决定天体运动的引力相互作用占主导,从而不同的电荷量并不造成可区分的影响;由于天体相距很远,所以形状尺寸和质量分布也并不重要。最终只有总质量、质心位置与速度、自转角动量是需要考虑的,这些可以数据可以叫做“天体的状态”。由于在运动中,总质量和自转角动量不易改变,所以常把它们分离出来称作“天体的性质”,而位置、速度、自转角动量仍称作“天体的运动状态”。这也是为什么以下对“经典决定性原理”的两种陈述是等价的:

  • 物体此刻的位置与速度决定其将来的位置与速度。
  • 物体的力学状态是“因果决定性”的。

第一个陈述里没有提到自转角动量,是因为对一般的物体运动的讨论不能忽略其形状(即内部结构),而自转角动量实际上是物体内部粒子的相对运动状态的一个函数。

在物理学中,我们通过以空间距离、时间间隔及其衍生量为代表的物理量来定义物理状态,上文中的天体运动状态就是一个例子。经典力学中有上文提到了的“决定性原理”,这使得通过位置和速度的测量结果定义的状态概念相当的有用,它解决了所谓的预测问题或者说动力学问题:如何从现在的测量结果推知将来的测量结果。但是下面将要指出:在量子力学中,往往不能通过测量结果推知将来的测量结果!

状态与测量:不确定性原理[编辑]

讨论测量过程对测量结果造成的影响。

概率的叠加与干涉:态叠加原理[编辑]

将态叠加原理的两大物理内涵分开解说:态之间的相关性,以及这种相关性与所谓波粒二象性的联系。

物理量的测量结果与概率幅:算符的本征值与本征矢[编辑]

先从测量结果和概率幅谈起,用测量结果的概率分布定义状态(或者说,构造状态空间)。由于量子力学中我们对期望值有很高程度的重视,通过谱分解的逆过程来构成算符会是一个很自然的需要。

狄拉克记号与量子力学公理[编辑]

将上述结果公理化,并且用狄拉克记号表示——之后都将采用这一记号。要谈到归一化和射影空间的关系。

讨论:测量和量子力学诠释[编辑]

能量和动量[编辑]

§8 哈密顿算符[编辑]

来自力学的搬运工。

§9 算符对时间的微商[编辑]

§10 定态[编辑]

§11 矩阵[编辑]

§12 矩阵的变换[编辑]

§13 算符的海森伯绘景[编辑]

§14 密度矩阵[编辑]

§15 动量[编辑]

§16 不确定度关系式[编辑]

咱们也可以把它叫做测不准原理。。。感谢王正行叫兽。。。

薛定谔方程[编辑]

§17 薛定谔方程[编辑]

§18 薛定谔方程的基本性质[编辑]

§19 流密度[编辑]

§20 变分原理[编辑]

§21 一维运动的一般性质[编辑]

§22 势阱[编辑]

§23 线性振子[编辑]

§24 均匀场中的运动[编辑]

§25 透射系数[编辑]

角动量[编辑]

§26 角动量[编辑]

§27 角动量的本征值[编辑]

§28 角动量的本征函数[编辑]

§29 矢量的矩阵元[编辑]

§30 态的宇称[编辑]

§31 角动量的相加[编辑]

有心力场中的运动[编辑]

§32 有心力场中的运动[编辑]

§33 球面波[编辑]

§34 平面波的分解[编辑]

§35 粒子向力心的“坠落”[编辑]

§36 库仑场中的运动(球坐标)[编辑]

§37 库仑场中的运动(抛物坐标)[编辑]

微扰论[编辑]

§38 与时间无关的微扰[编辑]

§39 久期方程[编辑]

§40 与时间有关的微扰[编辑]

§41 有限时间间隔微扰作用下的跃迁[编辑]

§42 周期微扰作用下的跃迁[编辑]

§43 连续谱中的跃迁[编辑]

§44 能量的不确定度关系[编辑]

§45 以势能作微扰[编辑]

准经典情形[编辑]

§46 准经典情形下的波函数[编辑]

§47 准经典情形中的边界条件[编辑]

§48 玻尔-索末菲量子化规则[编辑]

§49 有心力场中的准经典运动[编辑]

§50 势垒的贯穿[编辑]

§51 准经典矩阵元的计算[编辑]

§52 准经典情形下的跃迁概率[编辑]

§53 浸渐微扰作用下的跃迁[编辑]

自旋[编辑]

§54 自旋[编辑]

§55 自旋算符[编辑]

§56 旋量[编辑]

§57 具有任意自旋的粒子波函数[编辑]

§58 有限转动算符[编辑]

§59 粒子的部分极化[编辑]

§60 时间反演和克拉默定理[编辑]

粒子的全同性[编辑]

§61 同类粒子的不可分辨性原理[编辑]

§62 交换作用[编辑]

§63 置换对称性[编辑]

§64 二次量子化·玻色统计情形[编辑]

§65 二次量子化·费米统计情形[编辑]

原子[编辑]

§66 原子的能级[编辑]

§67 原子中的电子态[编辑]

§68 类氢能级[编辑]

§69 自洽场[编辑]

§70 托马斯-费米方程[编辑]

§71 近核处的外电子波函数[编辑]

§72 原子能级的精细结构[编辑]

§73 门捷列夫元素周期系[编辑]

§74 X射线谱项[编辑]

§75 多极矩[编辑]

§76 电场中的原子[编辑]

§77 电场中的氢原子[编辑]

双原子分子[编辑]

§78 双原子分子的电子谱项[编辑]

§79 电子谱项的相交[编辑]

§80 分子谱项与原子谱项的关系[编辑]

§81 原子价[编辑]

§82 双原子分子单重谱项的振动和转动结构[编辑]

§83 多重谱项·情形a[编辑]

§84 多重谱项·情形b[编辑]

§85 多重谱项·情形c和d[编辑]

§86 分子谱项的对称性[编辑]

§87 双原子分子的矩阵元[编辑]

§88 Λ双重分裂[编辑]

§89 原子间的远距作用[编辑]

§90 预离解[编辑]

对称性理论[编辑]

§91 对称变换[编辑]

§92 变换群[编辑]

§93 点群[编辑]

§94 群的表示[编辑]

§95 点群的不可约表示[编辑]

§96 不可约表示和谱项的分类[编辑]

§97 矩阵元的选择定则[编辑]

§98 连续群[编辑]

§99 有限点群的双值表示[编辑]

多原子分子[编辑]

§100 分子振动的分类[编辑]

§101 振动能级[编辑]

§102 分子对称位形的稳定性[编辑]

§103 陀螺转动的量子化[编辑]

§104 分子的振动转动相互作用[编辑]

§105 分子谱项的分类[编辑]

角动量的相加[编辑]

§106 3j符号[编辑]

§107 张量的矩阵元[编辑]

§108 6j符号[编辑]

§109 角动量耦合表象中的矩阵元[编辑]

§110 轴对称系统的矩阵元[编辑]

磁场中的运动[编辑]

§111 磁场中的薛定谔方程[编辑]

§112 均匀磁场中的运动[编辑]

§113 磁场中的原子[编辑]

§114 可变磁场中的自旋[编辑]

§115 磁场中的流密度[编辑]

核结构[编辑]

§116 同位旋不变性[编辑]

§117 核力[编辑]

§118 壳层模型[编辑]

§119 非球形核[编辑]

§120 同位素移位[编辑]

§121 原子能级的超精细结构[编辑]

§122 分子能级的超精细结构[编辑]

弹性碰撞[编辑]

§123 散射的一般理论[编辑]

§124 一般公式的研究[编辑]

§125 散射的幺正条件[编辑]

§126 玻恩公式[编辑]

§127 准经典情形[编辑]

§128 散射振幅的解析性质[编辑]

§129 色散关系[编辑]

§130 动量表象中的散射振幅[编辑]

§131 高能散射[编辑]

§132 慢粒子散射[编辑]

§133 低能共振散射[编辑]

§134 准离散能级处的共振[编辑]

§135 卢瑟福公式[编辑]

§136 连续谱的波函数组[编辑]

§137 全同粒子的碰撞[编辑]

§138 带电粒子的共振散射[编辑]

§139 快电子和原子的弹性碰撞[编辑]

§140 具有自旋轨道作用的散射[编辑]

§141 雷杰极点[编辑]

非弹性碰撞[编辑]

§142 存在非弹性过程时的弹性散射[编辑]

§143 慢粒子的非弹性散射[编辑]

§144 存在反应时的散射矩阵[编辑]

§145 布赖特和维格纳公式[编辑]

§146 反应中的末态相互作用[编辑]

§147 反应阈附近的截面行为[编辑]

§148 快电子和原子的非弹性碰撞[编辑]

§149 有效滞阻[编辑]

§150 重粒子和原子的非弹性碰撞[编辑]

§151 中子散射[编辑]

§152 高能非弹性散射[编辑]

相对论下的修正[编辑]

§153 相对论范围的不确定度关系式[编辑]

光子[编辑]

§154 自由电磁场的量子化[编辑]

§155 光子[编辑]

§156 规范不变性[编辑]

§157 量子理论中的电磁场[编辑]

§158 光子的角动量和宇称[编辑]

§159 光子的球面波[编辑]

§160 光子的极化[编辑]

§161 双光子系统[编辑]

玻色子[编辑]

§162 零自旋粒子的波动方程[编辑]

§163 粒子和反粒子[编辑]

§164 真中性粒子[编辑]

§165 C,P,T变换[编辑]

§166 自旋为1的粒子的波动方程[编辑]

§167 具有最高整数自旋的粒子的波动方程[编辑]

§168 粒子的螺旋性状态[编辑]

费米子[编辑]

§169 四维旋量[编辑]

§170 旋量与四维矢量的联系[编辑]

§171 旋量的反演[编辑]

§172 旋量表示的狄拉克方程[编辑]

§173 狄拉克方程的对称形式[编辑]

§174 狄拉克矩阵代数[编辑]

§175 平面波[编辑]

§176 球面波[编辑]

§177 自旋和统计的联系[编辑]

§178 电荷共轭和旋量的时间反演[编辑]

§179 粒子和反粒子的内禀对称性[编辑]

§180 双线性式[编辑]

§181 极化密度矩阵[编辑]

§182 二分量费米子[编辑]

§183 自旋为3/2的粒子的波动方程[编辑]

外场中的粒子[编辑]

§184 外场中电子的狄拉克方程[编辑]

§185 按1/c的幂展开[编辑]

§186 氢原子能级的精细结构[编辑]

§187 在有心对称场中的运动[编辑]

§188 在库仑场中的运动[编辑]

§189 在有心对称场中的散射[编辑]

§190 极端相对论情形中的散射[编辑]

§191 库仑场中散射的连续谱波函数[编辑]

§192 平面电磁波场中的电子[编辑]

§193 自旋在外场中的运动[编辑]

§194 中子在电场中的散射[编辑]

辐射[编辑]

§195 电磁相互作用算符[编辑]

§196 发射和吸收[编辑]

§197 偶极辐射[编辑]

§198 电多极辐射[编辑]

§199 磁多极辐射[编辑]

§200 角分布和辐射的极化[编辑]

§201 原子辐射:电型[编辑]

§202 原子辐射:磁型[编辑]

§203 原子辐射:塞曼效应和斯塔克效应[编辑]

§204 原子辐射:氢原子[编辑]

§205 双原子分子的辐射:电子光谱[编辑]

§206 双原子分子的辐射:振动光谱和转动光谱[编辑]

§207 核辐射[编辑]

§208 光电效应:非相对论情形[编辑]

§209 光电效应:相对论情形[编辑]

§210 氘核的光致蜕变[编辑]

光的散射[编辑]

§211 散射张量[编辑]

§212 自由取向系统的散射[编辑]

§213 分子散射[编辑]

§214 谱线的自然宽度[编辑]

§215 共振荧光[编辑]

散射矩阵[编辑]

§216 散射振幅[编辑]

§217 极化粒子的反应[编辑]

§218 运动学不变量[编辑]

§219 物理区域[编辑]

§220 按分波振幅展开[编辑]

§221 螺旋性散射振幅的对称性[编辑]

§222 不变振幅[编辑]

§223 幺正性条件[编辑]

协变微扰论[编辑]

§224 编时乘积[编辑]

§225 电子散射的费曼图[编辑]

§226 光子散射的费曼图[编辑]

§227 电子的传播子[编辑]

§228 光子的传播子[编辑]

§229 图技术的一般规则[编辑]

§230 交叉对称性[编辑]

§231 虚粒子[编辑]

电子的相互作用[编辑]

§232 电子在外场中的散射[编辑]

§233 电子和正电子被电子的散射[编辑]

§234 快速粒子的电离损失[编辑]

§235 布雷特方程[编辑]

§236 电子偶素[编辑]

§237 原子在大距离下的相互作用[编辑]

电子与光子的相互作用[编辑]

§238 光子被电子散射[编辑]

§239 光子被电子散射极化效应[编辑]

§240 电子对的双光子湮没[编辑]

§241 电子偶素的湮没[编辑]

§242 同步辐射[编辑]

§243 在磁场中由光子产生电子对[编辑]

§244 电子一原子核轫致辐射非相对论情形[编辑]

§245 电子一原子核轫致辐射相对论情形[编辑]

§246 在原子核场中由光子产生电子对[编辑]

§247 极端相对论情形电子对产生的精确理论[编辑]

§248 极端相对论情形轫致辐射的精确理论[编辑]

§249 极端相对论情形的电子一电子轫致辐射[编辑]

§250 碰撞中软光子的发射[编辑]

§251 等效光子方法[编辑]

§252 在粒子间碰撞中产生电子对[编辑]

§253 电子在强电磁波的场中发射光子[编辑]

精确传播子和顶点部分[编辑]

§254 海森伯表象中的场算符[编辑]

§255 精确的光子传播子[编辑]

§256 光子的自能函数[编辑]

§257 精确的电子传播子[编辑]

§258 顶角部分[编辑]

§259 戴森方程[编辑]

§260 沃德恒等式[编辑]

§261 外场中的电子传播子[编辑]

§262 重正化的物理条件[编辑]

§263 光子传播子的解析性质[编辑]

§264 费曼积分的正规化[编辑]

辐射修正[编辑]

§265 极化算符的计算[编辑]

§266 库仑定律的辐射修正[编辑]

§267 由费曼积分计算极化算符的虚部[编辑]

§268 电子的电磁形状因子[编辑]

§269 电子形状因子的计算[编辑]

§270 电子的反常磁矩[编辑]

§271 质量算符的计算[编辑]

§272 非零质量软光子的发射[编辑]

§273 电子在外场中的散射的二级玻恩近似[编辑]

§274 电子在外场中的散射的辐射修正[编辑]

§275 原子能级的辐射移位[编辑]

§276 介原子能级的辐射移位[编辑]

§277 束缚态的相对论方程[编辑]

§278 双色散关系[编辑]

§279 光子一光子散射[编辑]

§280 光子在原子核场中的相干散射[编辑]

§281 电磁场方程的辐射修正[编辑]

§282 磁场中的光子分裂[编辑]

§283 对四维区域积分的计算[编辑]

量子电动力学的渐近公式[编辑]

§284 光子传播子在大动量时的渐近形式[编辑]

§285 未重正化电荷和实际电荷之间的联系[编辑]

§286 散射振幅在高能下的渐近形式[编辑]

§287 顶角算符双重对数项的分离[编辑]

§288 顶角算符的双重对数渐近形式[编辑]

§289 电子一μ子散射振幅的双重对数渐近形式[编辑]

强子的量子电动力学[编辑]

§290 强子的电磁形状因子[编辑]

§291 电子一强子散射[编辑]

§292 轫致辐射的低能定理[编辑]

§293 光子一强子散射的低能定理[编辑]

§294 强子的多极矩[编辑]

§295 电子一强子的非弹性散射[编辑]

§296 由电子一正电子对生成强子[编辑]