代数/本书课文/求和/裂项法

若数列存在一个裂项变换，则可对此数列使用裂项法求和。

一般裂项

若$x_i=y_{i+1}-y_i$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{i=a}^b(y_{i+1}-y_i)=y_{b+1}-y_b+y_b-y_{b-1}+\cdots +y_{a+1}-y_a=y_{b+1}-y_a$

若$x_i=y_i-y_{i+1}$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{i=a}^b(y_i-y_{i+1})=y_a-y_{a+1}+y_{a+1}-y_{a+2}+\cdots +y_b-y_{b+1}=y_a-y_{b+1}$}}

记$\mathrm{\Delta }{y}_i=y_{i+1}-y_i$，以上求和可以写成：$\sum _{i=a}^b\mathrm{\Delta }{y}_i=y_{b+1}-y_a,\sum _{i=a}^b-\mathrm{\Delta }{y}_i=y_a-y_{b+1}$

Example

例子：

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}$
$\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}=\sum _{k=1}^n\frac{q^k-q^{k-1}}{q-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$（等比数列求和）
$\sum _{k=a}^b{C}_k^m=\sum _{k=a}^b(C_{k+1}^{m+1}-C_k^{m+1})=C_{b+1}^{m+1}-C_a^{m+1}$

隔几项裂项

若$x_i=y_{i+k}-y_i=\sum _{j=0}^{k-1}(y_{i+j+1}-y_{i+j})=\sum _{j=0}^{k-1}\mathrm{\Delta }{y}_{i+j}$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{j=0}^{k-1}\sum _{i=a}^b\mathrm{\Delta }{y}_{i+j}=\sum _{j=0}^{k-1}(y_{b+1+j}-y_{a+j})$

Example

例子：

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$

和裂项

若$x_i=y_{i+1}+y_i$

$\sum _{i=a}^b(-1{)}^i{x}_i=\sum _{i=a}^b(-1{)}^i(y_{i+1}+y_i)=-\sum _{i=a}^b[(-1{)}^{i+1}{y}_{i+1}-(-1{)}^i{y}_i]$

$=-\sum _{i=a}^b\mathrm{\Delta }[(-1{)}^i{y}_i]=(-1{)}^a{y}_a-(-1{)}^{b+1}{y}_{b+1}$

Example

例子：

$\sum _{k=1}^{2n}\frac{(-1{)}^{k-1}}{C_{2n}^k}=\frac{2n+1}{2n+2}\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k-1}(\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{k+1}})=\frac{2n+1}{2n+2}[\frac{1}{C_{2n+1}^1}+\frac{(-1{)}^{2n-1}}{C_{2n+1}^{2n+1}}]=\frac{2n+1}{2n+2}\left(\frac{-2n}{2n+1}\right)=\frac{-n}{n+1}$

待定裂项法

例子：差比数列求和 待定系数s,t使得差比数列可以裂项： $[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sk+t)r^k-[s(k-1)+t]r^{k-1}$ $\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=(sn+t)r^n-t$ 求出待定系数s,t关于a,d,r的表达式： $dk+a-d=s(r-1)k+(r-1)t+s$ $s=\frac{d}{r-1},t=\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}$ $\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{d}{r-1}n+\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$

对于多项式公比求和$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$，对数列做裂项：$p(k)q^{k-1}=f(k)q^k-f(k-1)q^{k-1}$

其中若$p(k)$是m阶阶多项式，则$f(k)$是m阶多项式，$f(k)$用待定系数法求出来。

$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0)$

例子：求$\sum _{k=1}^n(A+Bk+C{k}^2)q^{k-1}$ $(A+Bk+C{k}^2)q^{k-1}=(D+Ek+F{k}^2)q^k-[D+E(k-1)+F(k-1{)}^2]q^{k-1}$ $A+Bk+C{k}^2=(qD+qEk+qF{k}^2)-[D+E(k-1)+F(k^2-2k+1)]$ $A+Bk+C{k}^2=[(q-1)D+E-F]+[(q-1)E+2F]k+(q-1)F{k}^2$ $F=\frac{C}{q-1},E=\frac{B}{q-1}-\frac{2C}{(q-1{)}^2},D=\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}$ $f(n)=[\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}]+[\frac{B}{q-1}-\frac{2C}{(q-1{)}^2}]n+\frac{C}{q-1}{n}^2$ $\sum _{k=1}^n(A+Bk+C{k}^2)q^{k-1}=\{[\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}]+[\frac{B}{q-1}-\frac{2C}{(q-1{)}^2}]n+\frac{C}{q-1}{n}^2\}{q}^n-[\frac{A}{q-1}-\frac{B-C}{(q-1{)}^2}+\frac{2C}{(q-1{)}^3}]$

对于多项式求和$\sum _{k=1}^{n}p(k)$，对数列做裂项：$p(k)=f(k)-f(k-1)$

其中若$p(k)$是m阶阶多项式，则$f(k)$是m+1阶多项式，$f(k)$用待定系数法求出来。

例子：等差数列求和 待定系数A,B,C使得等差数列可以裂项： $a+(k-1)d=A+Bk+C{k}^2-[A+B(k-1)+C(k-1{)}^2]$ $\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]=A+Bn+C{n}^2-A=Bn+C{n}^2$ 求出待定系数B,C关于a,d的表达式： $a-d+dk=B-C+2Ck$ $C=\frac{d}{2},B=a-\frac{d}{2}$ $\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]=(a-\frac{d}{2})n+\frac{d}{2}{n}^2=an+d\frac{n(n-1)}{2}$