函数之连续

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极限的补充说明

函数的左极限定义

设函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $a\in \mathbf {R}$ 的某个去心邻域的左半区间 $\left.(-\epsilon ,a)\right.$ 内有定义。若 $\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$ ，总有 $\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$ ， $A\in \mathbf {R}$ 使得当 $\left.x\right.$ 满足 $\left.a-x\right.<\delta$ 时，必有：

\left|f(x)-A\right|<\varepsilon

则称函数 $\left.f(x)\right.$ 趋于常数 $\left.a\right.$ 的左极限是 $\left.A\right.$ ，通常记作：

\lim _{x\to a_{-}}f(x)=A

函数的右极限定义

设函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $a\in \mathbf {R}$ 的某个去心邻域的右半区间 $\left.(a,\epsilon )\right.$ 内有定义。若 $\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$ ，总有 $\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$ ， $A\in \mathbf {R}$ 使得当 $\left.x\right.$ 满足 $\left.x-a\right.<\delta$ 时，必有：

\left|f(x)-A\right|<\varepsilon

则称函数 $\left.f(x)\right.$ 趋于常数 $\left.a\right.$ 的右极限是 $\left.A\right.$ ，通常记作：

\lim _{x\to a_{+}}f(x)=A

函数极限存在的等价条件

函数 $\left.f(x)\right.$ 在点 $\left.a\right.$ 处（其中 $a\in \mathbf {R}$ ）的极限是否存在等价于函数的左极限与右极限都存在且相等；与函数 $\left.f(x)\right.$ 在点 $\left.a\right.$ 处是否有定义无关。例如：

g(x)={\frac {\sin(x)}{x}},x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )

\lim _{x\to 0}g(x)=1

函数 $\left.g(x)\right.$ 在点0处没有定义，但其在点0处的极限存在。

连续的定义与性质

定义

函数在某点上连续的定义

1.左连续：设函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 点处有定义，在 $\left.x=a\right.$ 点处左极限存在，并且满足：

f(a)=\lim _{x\to a_{-}}f(x)

则称函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 点处左连续。

2.右连续：设函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 点处有定义，在 $\left.x=a\right.$ 点处右极限存在，并且满足：

f(a)=\lim _{x\to a_{+}}f(x)

则称函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.x=a\right.$ 点处右连续。

3.连续：函数 $\left.f(x)\right.$ 在点 $\left.x=a\right.$ 处连续等价于函数 $\left.f(x)\right.$ 同时满足点 $\left.x=a\right.$ 处的左连续性与右连续性。以上条件可表述为：

f(a)=\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\lim _{x\to a_{}}f(x)=c,c\in \mathbf {R}

函数在开区间上连续的定义

设 $a,b\in \mathbf {R}$ 满足 $\left.a<b\right.$ ；若函数 $\left.f(x)\right.$ 在开区间 $\left.(a,b)\right.$ 内每一点都连续，则称函数 $\left.f(x)\right.$ 在该开区间上连续，记作：

f(x)\in C(a,b)

函数在闭区间上连续的定义

设 $a,b\in \mathbf {R}$ 满足 $\left.a<b\right.$ ；若函数 $\left.f(x)\right.$ 在开区间 $\left.(a,b)\right.$ 内每一点都连续，且函数 $\left.f(x)\right.$ 在点 $\left.x=a\right.$ 上右连续，在点 $\left.x=b\right.$ 上左连续，则称 $\left.f(x)\right.$ 在闭区间 $\left.[a,b]\right.$ 上连续，记作：

f(x)\in C[a,b]

闭区间上连续函数的性质

最大最小值性质

若函数 $\left.f(x)\right.$ 在闭区间 $\left.[a,b]\right.$ 上连续，则 $\exists \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]$ 恒满足 $\forall c\in [a,b]$ 有 $f(\xi _{1})\leq f(c)\leq f(\xi _{2})$ 。

零点定理

若函数 $\left.f(x)\right.$ 在闭区间 $\left.[a,b]\right.$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 满足 $\left.f(\xi )=0\right.$ 。

介值定理

若函数 $\left.f(x)\right.$ 在闭区间 $\left.[a,b]\right.$ 上连续，且 $\mathrm {max} (f(a),f(b))>c>\mathrm {min} (f(a),f(b)),c\in \mathbf {R}$ ，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 满足 $\left.f(\xi )=c\right.$ 。

一致连续

定义

设函数 $\left.f(x)\right.$ 在区间 $\left.U\right.$ 上有定义。若 $\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$ ， $\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$ ，对所有满足 $x_{1},x_{2}\in U$ 且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 的都有：

\left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|<\varepsilon

则称函数 $\left.f(x)\right.$ 在区间 $\left.U\right.$ 上一致连续。

性质

一致连续与连续的关系

函数 $\left.f(x)\right.$ 在区间 $\left.U\right.$ 上一致连续 $\Rightarrow f(x)$ 在区间 $\left.U\right.$ 上连续（反之未必成立）。应该注意的是，一个函数是否在某个区间上一致连续。这个事情往往和区间有关例如， $f(x)=x^{2}$ 整个实数轴上不是一致连续的。但是如果把这函数的定义域限制在一个有限的区间上，那么它是一致连续的。

康托尔（Cantor）定理

函数 $f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow$ 函数 $\left.f(x)\right.$ 在闭区间 $\left.[a,b]\right.$ 上一致连续。

函数的间断点

第一类间断点

可去间断点

若函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.a\right.$ 点处的极限存在，但 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.a\right.$ 点处无定义，或者是有定义，不过 $f(a)\not =\lim _{x\to a}f(x)$ ，则称 $\left.a\right.$ 点为函数 $\left.f(x)\right.$ 的可去间断点。

跳跃间断点

若函数 $\left.f(x)\right.$ 在 $\left.a\right.$ 点处满足条件： $\lim _{x\to a_{-}}f(x)$ 与 $\lim _{x\to a_{+}}f(x)$ 均存在，但 $\lim _{x\to a_{-}}f(x)\not =\lim _{x\to a_{+}}f(x)$ ，则称 $\left.a\right.$ 点为函数 $\left.f(x)\right.$ 的跳跃间断点。