函數之連續

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極限的補充說明

函數的左極限定義

設函數$\left.f(x)\right.$在$a\in \mathbf {R}$的某個去心鄰域的左半區間$\left.(-\epsilon ,a)\right.$內有定義。若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，總有$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，$A\in \mathbf {R}$使得當$\left.x\right.$滿足$\left.a-x\right.<\delta$時，必有：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$趨於常數$\left.a\right.$的左極限是$\left.A\right.$，通常記作：

$\lim _{x\to a_{-}}f(x)=A$

函數的右極限定義

設函數$\left.f(x)\right.$在$a\in \mathbf {R}$的某個去心鄰域的右半區間$\left.(a,\epsilon )\right.$內有定義。若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，總有$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，$A\in \mathbf {R}$使得當$\left.x\right.$滿足$\left.x-a\right.<\delta$時，必有：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$趨於常數$\left.a\right.$的右極限是$\left.A\right.$，通常記作：

$\lim _{x\to a_{+}}f(x)=A$

函數極限存在的等價條件

函數$\left.f(x)\right.$在點$\left.a\right.$處（其中$a\in \mathbf {R}$）的極限是否存在等價於函數的左極限與右極限都存在且相等；與函數$\left.f(x)\right.$在點$\left.a\right.$處是否有定義無關。例如：

$g(x)={\frac {\sin(x)}{x}},x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$

$\lim _{x\to 0}g(x)=1$

函數$\left.g(x)\right.$在點0處沒有定義，但其在點0處的極限存在。

連續的定義與性質

定義

函數在某點上連續的定義

1.左連續：設函數$\left.f(x)\right.$在$\left.x=a\right.$點處有定義，在$\left.x=a\right.$點處左極限存在，並且滿足：

$f(a)=\lim _{x\to a_{-}}f(x)$

則稱函數$\left.f(x)\right.$在$\left.x=a\right.$點處左連續。

2.右連續：設函數$\left.f(x)\right.$在$\left.x=a\right.$點處有定義，在$\left.x=a\right.$點處右極限存在，並且滿足：

$f(a)=\lim _{x\to a_{+}}f(x)$

則稱函數$\left.f(x)\right.$在$\left.x=a\right.$點處右連續。

3.連續：函數$\left.f(x)\right.$在點$\left.x=a\right.$處連續等價於函數$\left.f(x)\right.$同時滿足點$\left.x=a\right.$處的左連續性與右連續性。以上條件可表述為：

$f(a)=\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\lim _{x\to a_{-}}f(x)=\lim _{x\to a_{}}f(x)=c,c\in \mathbf {R}$

函數在開區間上連續的定義

設$a,b\in \mathbf {R}$滿足$\left.a<b\right.$；若函數$\left.f(x)\right.$在開區間$\left.(a,b)\right.$內每一點都連續，則稱函數$\left.f(x)\right.$在該開區間上連續，記作：

$f(x)\in C(a,b)$

函數在閉區間上連續的定義

設$a,b\in \mathbf {R}$滿足$\left.a<b\right.$；若函數$\left.f(x)\right.$在開區間$\left.(a,b)\right.$內每一點都連續，且函數$\left.f(x)\right.$在點$\left.x=a\right.$上右連續，在點$\left.x=b\right.$上左連續，則稱$\left.f(x)\right.$在閉區間$\left.[a,b]\right.$上連續，記作：

$f(x)\in C[a,b]$

閉區間上連續函數的性質

最大最小值性質

若函數$\left.f(x)\right.$在閉區間$\left.[a,b]\right.$上連續，則$\exists \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]$恆滿足$\forall c\in [a,b]$有$f(\xi _{1})\leq f(c)\leq f(\xi _{2})$。

零點定理

若函數$\left.f(x)\right.$在閉區間$\left.[a,b]\right.$上連續，且$f(a)\cdot f(b)<0$，則$\exists \xi \in (a,b)$滿足$\left.f(\xi )=0\right.$。

介值定理

若函數$\left.f(x)\right.$在閉區間$\left.[a,b]\right.$上連續，且$\mathrm {max} (f(a),f(b))>c>\mathrm {min} (f(a),f(b)),c\in \mathbf {R}$，則$\exists \xi \in (a,b)$滿足$\left.f(\xi )=c\right.$。

一致連續

定義

設函數$\left.f(x)\right.$在區間$\left.U\right.$上有定義。若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，對所有滿足$x_{1},x_{2}\in U$且$\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$的都有：

$\left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|<\varepsilon$

則稱函數$\left.f(x)\right.$在區間$\left.U\right.$上一致連續。

性質

一致連續與連續的關係

函數$\left.f(x)\right.$在區間$\left.U\right.$上一致連續$\Rightarrow f(x)$在區間$\left.U\right.$上連續（反之未必成立）。 應該注意的是，一個函數是否在某個區間上一致連續。這個事情往往和區間有關 例如，$f(x)=x^{2}$整個實數軸上不是一致連續的。但是如果把這函數的定義域限制在一個有限的區間上，那麼它是一致連續的。

康托爾（Cantor）定理

函數$f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow$函數$\left.f(x)\right.$在閉區間$\left.[a,b]\right.$上一致連續。

函數的間斷點

第一類間斷點

可去間斷點

若函數$\left.f(x)\right.$在$\left.a\right.$點處的極限存在，但$\left.f(x)\right.$在$\left.a\right.$點處無定義，或者是有定義，不過$f(a)\not =\lim _{x\to a}f(x)$，則稱$\left.a\right.$點為函數$\left.f(x)\right.$的可去間斷點。

跳躍間斷點

若函數$\left.f(x)\right.$在$\left.a\right.$點處滿足條件：$\lim _{x\to a_{-}}f(x)$與$\lim _{x\to a_{+}}f(x)$均存在，但$\lim _{x\to a_{-}}f(x)\not =\lim _{x\to a_{+}}f(x)$，則稱$\left.a\right.$點為函數$\left.f(x)\right.$的跳躍間斷點。

第二類間斷點

若函數$\left.f(x)\right.$在$\left.a\right.$點處的左右極限至少有一個不存在，則稱$\left.a\right.$點為函數$\left.f(x)\right.$的第二類間斷點。

初等函數的連續性

所有初等函數都在其定義區間內連續。

典型函數的連續性問題

荻里克萊（Dirichlet）函數

第一種表達方法

$f(x)=\lim _{m\to \infty }[\lim _{n\to \infty }\cos ^{n}(m!\pi x)]$，$x\in \mathbf {R}$

第二種表達方法

$\left.f(x)=\right.$$\left\{{{1\ ,\ x\in \mathbf {Q} } \atop {0\ ,\ x\notin \mathbf {Q} }}\right.$$\ \ ,\ x\in \mathbf {R}$

連續性

用函數極限的定義很容易看出荻里克萊函數在實數域上每一點的左右極限都不存在，所以荻里克萊函數在實數域上每一點都不連續，每一點都屬於第二類間斷點。

黎曼（Riemann）函數

表達式

$\left.f(x)=\right.$$\left\{{{{\frac {1}{n}}\ ,\ (x={\frac {m}{n}}\ ,(m,n)=1)\ ,\ x\in \mathbf {Q} (n,m\in \mathbf {Z^{\hat {0}}} ,x\not =0)} \atop {0\qquad \qquad \qquad ,\qquad x\notin \mathbf {Q} }}\right.$$\ \ ,f(0)=1,x\in \mathbf {R}$

式中$\left.(m,n)=1\right.$表示$\left.m\right.$與$\left.n\right.$的最大公約數是1，$\mathbf {Z^{\hat {0}}}$表示不包含0的整數範圍。

連續性

這是一個周期函數，1是其周期；在$\left.[0,1]\right.$內討論該函數連續性即可。
根據函數極限定義可知此函數在實數域上每一點的極限都是0，所以黎曼函數在每一無理數點上連續，在每一有理數點上不連續，而且都是可去間斷點。