初中数学/算术与代数/乘方与开方

基本说明

注意：本文用“*”表示乘号，代替小学时期用的“×”，因为“×”容易和“x”混淆。

• a代表某数，${\sqrt {a}}$是什么意思呢？就是${\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a$，变成规则就有：
  1. 根号a乘以根号a等于a，${\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a$
  2. 根号a平方等于a，${\sqrt {a}}^{2}=a$
  3. 根号a的平方等于a，${\sqrt {a^{2}}}=a$
  4. a等于根号a乘以根号a，也等于根号a平方，再等于根号a的平方，$a={\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}={\sqrt {a^{2}}}$
  5. 以${\sqrt {2}}$为例，以下四个数均相等：$2={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}={\sqrt {2^{2}}}$
• 根号这种运算，乘、除可以拆离、合并，加、减不能拆离、合并。即：${\sqrt {a*b}}={\sqrt {a}}*{\sqrt {b}}$，${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$但${\sqrt {a+b}}\neq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}$，${\sqrt {a-b}}\neq {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}$
  1. 以4和1为例，${\sqrt {4*1}}={\sqrt {4}}*{\sqrt {1}}$，${\sqrt {\frac {4}{1}}}={\frac {\sqrt {4}}{\sqrt {1}}}$但${\sqrt {4+1}}\neq {\sqrt {4}}+{\sqrt {1}}$，${\sqrt {4-1}}\neq {\sqrt {4}}-{\sqrt {1}}$

由基本练习理解根号

一、平方，求下列各数的值：

平方是自己乘以自己，a²=a*a

1²=　　2²=　　3²=　　4²=　　5²=　　6²=　　7²=　　8²=　　9²=　　10²=　　11²=　　12²=　　0.7²=　　(1.2)²=　　$\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=$　　$\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}=$　　 $\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}=$　　

二、根号(开方)，求下列各数的值：

(一)、从${\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}$开始

${\sqrt {1}}*{\sqrt {1}}$=　${\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}$=　${\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$=　　${\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}$=　${\sqrt {5}}*{\sqrt {5}}$=　　${\sqrt {6}}*{\sqrt {6}}$=　　${\sqrt {7}}*{\sqrt {7}}$=　 ${\sqrt {8}}*{\sqrt {8}}$=　　${\sqrt {9}}*{\sqrt {9}}$=　${\sqrt {10}}*{\sqrt {10}}$=

(二)、从${\sqrt {a}}^{2}$开始

${\sqrt {1}}^{2}$=　　${\sqrt {2}}^{2}$=　　${\sqrt {3}}^{2}$=　　${\sqrt {4}}^{2}$= 　${\sqrt {5}}^{2}$=　　${\sqrt {6}}^{2}$=　　${\sqrt {7}}^{2}$=　　${\sqrt {8}}^{2}$=　　${\sqrt {9}}^{2}$=　　${\sqrt {10}}^{2}$=　　

(三)、从 a 开始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　

(四)、从${\sqrt {a^{2}}}$开始

${\sqrt {1^{2}}}$=　　${\sqrt {2^{2}}}$=　　${\sqrt {3^{2}}}$=　　${\sqrt {4^{2}}}$=　　${\sqrt {5^{2}}}$=　　${\sqrt {6^{2}}}$=　　${\sqrt {7^{2}}}$=　　${\sqrt {8^{2}}}$=　　${\sqrt {9^{2}}}$=　　${\sqrt {10^{2}}}$=　　

(五)、从${\sqrt {a^{2}}}$开始

${\sqrt {1}}$=　　${\sqrt {4}}$=　　${\sqrt {9}}$=　　${\sqrt {16}}$=　　${\sqrt {25}}$=　　${\sqrt {36}}$=　　${\sqrt {49}}$=　　${\sqrt {64}}$=　　${\sqrt {81}}$=　　${\sqrt {100}}$=　　${\sqrt {169}}$=　　

三、毕氏定理

直角三角形，短股平方+长股平方=斜边平方，一般表达为： a²+b²=c²，请图解：(切记不是 a+b=c)

四、根号求值

• ${\sqrt {1}}=1$
• ${\sqrt {2}}$
  1. 作短股 1 公分、长股 1 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：1²+1²=c²，所以c²=2，c=${\sqrt {2}}$(参见第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {2}}$约等于 1.4 公分。
  3. 由于${\sqrt {2}}^{2}=2$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {2}}$的近似值为 1.414
• ${\sqrt {3}}$
  1. 作短股 1 公分、斜边 2 公分的直角三角形，长股为 b ，依毕氏定理：1²+b²=2²，所以b²=3，b=${\sqrt {3}}$(参见第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {3}}$约等于 1.7 公分。
  3. 由于${\sqrt {3}}^{2}=3$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {3}}$的近似值为 1.732
• ${\sqrt {4}}=2$
• ${\sqrt {5}}$
  1. 作短股 1 公分、长股 2 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：1²+2²=c²，所以c²=5，c=${\sqrt {5}}$(参见第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {5}}$约等于 2.2 公分。
  3. 由于${\sqrt {5}}^{2}=5$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {5}}$的近似值为 2.236
  4. 也可以作短股 ${\sqrt {2}}$ 公分、长股 ${\sqrt {3}}$ 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：${\sqrt {2}}^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=c^{2}$，所以c²=5，c=${\sqrt {5}}$(参见第二段)
  5. 也可以作短股 2 公分、长股 b 公分、斜边 3 公分的直角三角形，依毕氏定理：2²+b²=3²，所以b²=5，b=${\sqrt {5}}$(参见第二段)
• ${\sqrt {6}}$
  1. ${\sqrt {6}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}$，不信的话你两边都给它平方，看会不会相等：
     • 左边平方${\sqrt {6}}^{2}=6=2*3={\sqrt {2}}^{2}*{\sqrt {3}}^{2}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$
     • 右边平方$\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)^{2}=\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)*\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$
  2. 以短股 1 公分、长股 2 公分的直角三角形，斜边为${\sqrt {5}}$；再作短股 1 公分长股${\sqrt {5}}$公分的直角三角形，斜边为${\sqrt {6}}$。
  3. 第一种求近似值的方法，量${\sqrt {6}}$约为 2.4 ，再利用${\sqrt {6}}^{2}=6$，求得近似值 2.449 。
  4. 第二种求近似值的方法，直接拿 1.414(${\sqrt {2}}$的近似值) 乘以 1.732(${\sqrt {3}}$的近似值) ，即得 2.449 (${\sqrt {6}}$的近似值) 。
  5. 对根号来说，乘法可以拆离、合并，加法不能拆离、合并。
• ${\sqrt {7}}$
  1. 以短股 1 公分、斜边 2 公分的直角三角形，长股为${\sqrt {3}}$；再作短股 ${\sqrt {3}}$ 公分长股 2 公分的直角三角形，斜边为${\sqrt {7}}$。
  2. 求近似值的方法，量${\sqrt {7}}$约为 2.6 ，再利用${\sqrt {7}}^{2}=7$，求得近似值 2.646 。
• ${\sqrt {8}}$
  1. 作图方法一：作短股 2 公分、长股 2 公分、斜边 c 公分的直角三角形，依毕氏定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=${\sqrt {8}}$(参见第二段)
  2. 作图方法二：作短股 1 公分、斜边 3 公分的直角三角形，长股为 b ，依毕氏定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=${\sqrt {8}}$(参见第二段)
  3. 第一种求近似值的方法，量${\sqrt {8}}$约为 2.8 ，再利用${\sqrt {8}}^{2}=8$，求得近似值 2.828 。
  4. 第二种求近似值的方法，${\sqrt {8}}={\sqrt {2*2*2}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}=2*{\sqrt {2}}$直接拿 2 乘以 1.414(${\sqrt {2}}$的近似值)，即得 2.828 (${\sqrt {8}}$的近似值) 。
• ${\sqrt {9}}=3$
• ${\sqrt {10}}$
  1. 作短股 1 公分、长股 3 公分的直角三角形，斜边为 c ，依毕氏定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=${\sqrt {10}}$(参见第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {10}}$约等于 3.2 公分。
  3. 由于${\sqrt {10}}^{2}=10$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {10}}$的近似值为 3.162