初中数学/算术与代数/乘方与开方

基本说明

• a代表某数，$\sqrt{a}$是什么意思呢？就是$\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$，变成规则就有：
  1. 根号a乘以根号a等于a，$\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$
  2. 根号a平方等于a，${\sqrt{a}}^2=a$
  3. 根号a的平方等于a，$\sqrt{a^2}=a$
  4. a等于根号a乘以根号a，也等于根号a平方，再等于根号a的平方，$a=\sqrt{a}\times \sqrt{a}={\sqrt{a}}^2=\sqrt{a^2}$
  5. 以$\sqrt{2}$为例，以下四个数均相等：$2=\sqrt{2}\times \sqrt{2}={\sqrt{2}}^2=\sqrt{2^2}$
• 根号这种运算，乘、除可以拆离、合并，加、减不能拆离、合并。即：$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$但$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$，$\sqrt{a-b}\ne \sqrt{a}-\sqrt{b}$
  1. 以4和1为例，$\sqrt{4\times 1}=\sqrt{4}\times \sqrt{1}$，$\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}$但$\sqrt{4+1}\ne \sqrt{4}+\sqrt{1}$，$\sqrt{4-1}\ne \sqrt{4}-\sqrt{1}$

由基本练习理解根号

平方

提示：平方是自己乘自己：$a^2=a\times a$

$1^2$	$=2^2$	$=3^2$	$=4^2$	$=5^2$	$=6^2$	$=7^2$	$=8^2=$
$9^2$	$=10^2$	$=11^2$	$=12^2$	$=0.7^2$	$=1.2^2$	$={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$	$={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=$

开方

$\sqrt{1}\times \sqrt{1}$	$=\sqrt{2}\times \sqrt{2}$	$=\sqrt{3}\times \sqrt{3}$	$=\sqrt{4}\times \sqrt{4}$	$=\sqrt{5}\times \sqrt{5}$	$=$
$\sqrt{6}\times \sqrt{6}$	$=\sqrt{7}\times \sqrt{7}$	$=\sqrt{8}\times \sqrt{8}$	$=\sqrt{9}\times \sqrt{9}$	$=\sqrt{10}\times \sqrt{10}$	$=$
${\sqrt{1}}^2$	$={\sqrt{2}}^2$	$={\sqrt{3}}^2$	$={\sqrt{4}}^2$	$={\sqrt{5}}^2$	$=$
${\sqrt{6}}^2$	$={\sqrt{7}}^2$	$={\sqrt{8}}^2$	$={\sqrt{9}}^2$	$={\sqrt{10}}^2$	$=$
$\sqrt{1^2}$	$=\sqrt{2^2}$	$=\sqrt{3^2}$	$=\sqrt{4^2}$	$=\sqrt{5^2}$	$=$
$\sqrt{6^2}$	$=\sqrt{7^2}$	$=\sqrt{8^2}$	$=\sqrt{9^2}$	$=\sqrt{10^2}$	$=$
$\sqrt{1}$	$=\sqrt{4}$	$=\sqrt{9}$	$=\sqrt{16}$	$=\sqrt{25}$	$=$
$\sqrt{36}$	$=\sqrt{49}$	$=\sqrt{64}$	$=\sqrt{81}$	$=\sqrt{169}$	$=$

勾股定理

直角三角形，短股平方+长股平方=斜边平方，一般表达为： $a^2+b^2=c^2$，请图解：

根号求值

• $\sqrt{1}=1$
• $\sqrt{2}$
  • 作短股1公分、长股1公分的直角三角形，斜边为c，依勾股定理：$1^2+1^2=c^2$，所以$c^2=2,c=\sqrt{2}$（参见第二段）
  • 用尺量，$\sqrt{2}$约等于1.4公分。
  • 由于${\sqrt{2}}^2=2$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{2}$的近似值为1.414。
• $\sqrt{3}$
  • 作短股1公分、斜边2公分的直角三角形，长股为b，依勾股定理：$1^2+b^2=2^2$，所以$b^2=3,b=\sqrt{3}$（参见第二段）
  • 用尺量，$\sqrt{3}$约等于1.7公分。
  • 由于${\sqrt{3}}^2=3$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{3}$的近似值为1.732。
• $\sqrt{4}=2$
• $\sqrt{5}$
  • 作短股1公分、长股2公分的直角三角形，斜边为c，依勾股定理：$1^2+2^2=c^2$，所以$c^2=5,c=\sqrt{5}$（参见第二段）
  • 用尺量，$\sqrt{5}$约等于2.2公分。
  • 由于${\sqrt{5}}^2=5$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{5}$的近似值为2.236。
  • 也可以作短股$\sqrt{2}$公分、长股$\sqrt{3}$公分的直角三角形，斜边为c，依勾股定理：${\sqrt{2}}^2+{\sqrt{3}}^2=c^2$，所以$c^2=5,c=\sqrt{5}$（参见第二段）
  • 也可以作短股2公分、长股b公分、斜边3公分的直角三角形，依勾股定理：$2^2+b^2=3^2$，所以$b^2=5,b=\sqrt{5}$（参见第二段）
• $\sqrt{6}$
  • $\sqrt{6}=\sqrt{2}\times \sqrt{3}$，不信的话你两边都给它平方，看会不会相等：
    • 左边平方${\sqrt{6}}^2=6=2\times 3={\sqrt{2}}^2\times {\sqrt{3}}^2=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}$
    • 右边平方${(\sqrt{2}\times \sqrt{3})}^2=(\sqrt{2}\times \sqrt{3})\times (\sqrt{2}\times \sqrt{3})=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}$
  • 以短股1公分、长股2公分的直角三角形，斜边为$\sqrt{5}$；再作短股1公分长股$\sqrt{5}$公分的直角三角形，斜边为$\sqrt{6}$。
  • 第一种求近似值的方法，量$\sqrt{6}$约为2.4，再利用${\sqrt{6}}^2=6$，求得近似值2.449。
  • 第二种求近似值的方法，直接拿1.414（$\sqrt{2}$的近似值）乘1.732（$\sqrt{3}$的近似值），即得2.449（$\sqrt{6}$的近似值）。
• $\sqrt{7}$
  • 以短股1公分、斜边2公分的直角三角形，长股为$\sqrt{3}$；再作短股$\sqrt{3}$公分长股2公分的直角三角形，斜边为$\sqrt{7}$。
  • 求近似值的方法，量$\sqrt{7}$约为2.6，再利用${\sqrt{7}}^2=7$，求得近似值2.646。
• $\sqrt{8}$
  • 作图方法一：作短股2公分、长股2公分、斜边c公分的直角三角形，依勾股定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=$\sqrt{8}$（参见第二段）
  • 作图方法二：作短股1公分、斜边3公分的直角三角形，长股为b，依勾股定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=$\sqrt{8}$（参见第二段）
  • 第一种求近似值的方法，量$\sqrt{8}$约为2.8，再利用${\sqrt{8}}^2=8$，求得近似值2.828。
  • 第二种求近似值的方法，$\sqrt{8}=\sqrt{2\times 2\times 2}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\times \sqrt{2}$直接拿2乘1.414($\sqrt{2}$的近似值)，即得2.828（$\sqrt{8}$的近似值）。
• $\sqrt{9}=3$
• $\sqrt{10}$
  • 作短股1公分、长股3公分的直角三角形，斜边为c，依勾股定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=$\sqrt{10}$（参见第二段）。
  • 用尺量，$\sqrt{10}$约等于3.2公分。
  • 由于${\sqrt{10}}^2=10$，所以一位一位求下去，可以得$\sqrt{10}$的近似值为3.162。