初中数学/算术与代数/乘方与开方

基本說明

• a代表某數，${\sqrt {a}}$是什麼意思呢？就是${\sqrt {a}}\times {\sqrt {a}}=a$，變成規則就有：
  1. 根號a乘以根號a等於a，${\sqrt {a}}\times {\sqrt {a}}=a$
  2. 根號a平方等於a，${\sqrt {a}}^{2}=a$
  3. 根號a的平方等於a，${\sqrt {a^{2}}}=a$
  4. a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，$a={\sqrt {a}}\times {\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}={\sqrt {a^{2}}}$
  5. 以${\sqrt {2}}$為例，以下四個數均相等：$2={\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}={\sqrt {2^{2}}}$
• 根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：${\sqrt {a\times b}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$，${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$但${\sqrt {a+b}}\neq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}$，${\sqrt {a-b}}\neq {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}$
  1. 以4和1為例，${\sqrt {4\times 1}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {1}}$，${\sqrt {\frac {4}{1}}}={\frac {\sqrt {4}}{\sqrt {1}}}$但${\sqrt {4+1}}\neq {\sqrt {4}}+{\sqrt {1}}$，${\sqrt {4-1}}\neq {\sqrt {4}}-{\sqrt {1}}$

由基本練習理解根號

平方

提示：平方是自己乘自己：$a^{2}=a\times a$

$1^{2}$	$=\qquad 2^{2}$	$=\qquad 3^{2}$	$=\qquad 4^{2}$	$=\qquad 5^{2}$	$=\qquad 6^{2}$	$=\qquad \qquad 7^{2}$	$=\qquad \qquad 8^{2}=$
$9^{2}$	$=\qquad 10^{2}$	$=\qquad 11^{2}$	$=\qquad 12^{2}$	$=\qquad 0.7^{2}$	$=\qquad 1.2^{2}$	$=\qquad \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$=\qquad \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}=$

开方

${\sqrt {1}}\times {\sqrt {1}}$	$=\qquad {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}$	$=\qquad {\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}$	$=\qquad {\sqrt {4}}\times {\sqrt {4}}$	$=\qquad {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}$	$=$
${\sqrt {6}}\times {\sqrt {6}}$	$=\qquad {\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}$	$=\qquad {\sqrt {8}}\times {\sqrt {8}}$	$=\qquad {\sqrt {9}}\times {\sqrt {9}}$	$=\qquad {\sqrt {10}}\times {\sqrt {10}}$	$=$
${\sqrt {1}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {2}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {3}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {4}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {5}}^{2}$	$=$
${\sqrt {6}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {7}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {8}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {9}}^{2}$	$=\qquad {\sqrt {10}}^{2}$	$=$
${\sqrt {1^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {2^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {3^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {4^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {5^{2}}}$	$=$
${\sqrt {6^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {7^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {8^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {9^{2}}}$	$=\qquad {\sqrt {10^{2}}}$	$=$
${\sqrt {1}}$	$=\qquad {\sqrt {4}}$	$=\qquad {\sqrt {9}}$	$=\qquad {\sqrt {16}}$	$=\qquad {\sqrt {25}}$	$=$
${\sqrt {36}}$	$=\qquad {\sqrt {49}}$	$=\qquad {\sqrt {64}}$	$=\qquad {\sqrt {81}}$	$=\qquad {\sqrt {169}}$	$=$

勾股定理

直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為： $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，請圖解：

根号求值

• ${\sqrt {1}}=1$
• ${\sqrt {2}}$
  • 作短股1公分、長股1公分的直角三角形，斜邊為c，依勾股定理：$1^{2}+1^{2}=c^{2}$，所以$c^{2}=2,c={\sqrt {2}}$（參見第二段）
  • 用尺量，${\sqrt {2}}$約等於1.4公分。
  • 由於${\sqrt {2}}^{2}=2$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {2}}$的近似值為1.414。
• ${\sqrt {3}}$
  • 作短股1公分、斜邊2公分的直角三角形，長股為b，依勾股定理：$1^{2}+b^{2}=2^{2}$，所以$b^{2}=3,b={\sqrt {3}}$（參見第二段）
  • 用尺量，${\sqrt {3}}$約等於1.7公分。
  • 由於${\sqrt {3}}^{2}=3$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {3}}$的近似值為1.732。
• ${\sqrt {4}}=2$
• ${\sqrt {5}}$
  • 作短股1公分、長股2公分的直角三角形，斜邊為c，依勾股定理：$1^{2}+2^{2}=c^{2}$，所以$c^{2}=5,c={\sqrt {5}}$（參見第二段）
  • 用尺量，${\sqrt {5}}$約等於2.2公分。
  • 由於${\sqrt {5}}^{2}=5$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {5}}$的近似值為2.236。
  • 也可以作短股${\sqrt {2}}$公分、長股${\sqrt {3}}$公分的直角三角形，斜邊為c，依勾股定理：${\sqrt {2}}^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=c^{2}$，所以$c^{2}=5,c={\sqrt {5}}$（參見第二段）
  • 也可以作短股2公分、長股b公分、斜邊3公分的直角三角形，依勾股定理：$2^{2}+b^{2}=3^{2}$，所以$b^{2}=5,b={\sqrt {5}}$（參見第二段）
• ${\sqrt {6}}$
  • ${\sqrt {6}}={\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}$，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
    • 左邊平方${\sqrt {6}}^{2}=6=2\times 3={\sqrt {2}}^{2}\times {\sqrt {3}}^{2}={\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}$
    • 右邊平方$\left({\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}\right)^{2}=\left({\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}\right)\times \left({\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}\right)={\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}$
  • 以短股1公分、長股2公分的直角三角形，斜邊為${\sqrt {5}}$；再作短股1公分長股${\sqrt {5}}$公分的直角三角形，斜邊為${\sqrt {6}}$。
  • 第一種求近似值的方法，量${\sqrt {6}}$約為2.4，再利用${\sqrt {6}}^{2}=6$，求得近似值2.449。
  • 第二種求近似值的方法，直接拿1.414（${\sqrt {2}}$的近似值）乘1.732（${\sqrt {3}}$的近似值），即得2.449（${\sqrt {6}}$的近似值）。
• ${\sqrt {7}}$
  • 以短股1公分、斜邊2公分的直角三角形，長股為${\sqrt {3}}$；再作短股${\sqrt {3}}$公分長股2公分的直角三角形，斜邊為${\sqrt {7}}$。
  • 求近似值的方法，量${\sqrt {7}}$約為2.6，再利用${\sqrt {7}}^{2}=7$，求得近似值2.646。
• ${\sqrt {8}}$
  • 作圖方法一：作短股2公分、長股2公分、斜邊c公分的直角三角形，依勾股定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=${\sqrt {8}}$（參見第二段）
  • 作圖方法二：作短股1公分、斜邊3公分的直角三角形，長股為b，依勾股定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=${\sqrt {8}}$（參見第二段）
  • 第一種求近似值的方法，量${\sqrt {8}}$約為2.8，再利用${\sqrt {8}}^{2}=8$，求得近似值2.828。
  • 第二種求近似值的方法，${\sqrt {8}}={\sqrt {2\times 2\times 2}}={\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}=2\times {\sqrt {2}}$直接拿2乘1.414(${\sqrt {2}}$的近似值)，即得2.828（${\sqrt {8}}$的近似值）。
• ${\sqrt {9}}=3$
• ${\sqrt {10}}$
  • 作短股1公分、長股3公分的直角三角形，斜邊為c，依勾股定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=${\sqrt {10}}$（參見第二段）。
  • 用尺量，${\sqrt {10}}$約等於3.2公分。
  • 由於${\sqrt {10}}^{2}=10$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {10}}$的近似值為3.162。