初中數學/算術與代數/乘方與開方

基本說明

注意：本文用「*」表示乘號，代替小學時期用的「×」，因為「×」容易和「x」混淆。

• a代表某數，${\sqrt {a}}$是什麼意思呢？就是${\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a$，變成規則就有：
  1. 根號a乘以根號a等於a，${\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a$
  2. 根號a平方等於a，${\sqrt {a}}^{2}=a$
  3. 根號a的平方等於a，${\sqrt {a^{2}}}=a$
  4. a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，$a={\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}={\sqrt {a^{2}}}$
  5. 以${\sqrt {2}}$為例，以下四個數均相等：$2={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}={\sqrt {2^{2}}}$
• 根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：${\sqrt {a*b}}={\sqrt {a}}*{\sqrt {b}}$，${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$但${\sqrt {a+b}}\neq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}$，${\sqrt {a-b}}\neq {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}$
  1. 以4和1為例，${\sqrt {4*1}}={\sqrt {4}}*{\sqrt {1}}$，${\sqrt {\frac {4}{1}}}={\frac {\sqrt {4}}{\sqrt {1}}}$但${\sqrt {4+1}}\neq {\sqrt {4}}+{\sqrt {1}}$，${\sqrt {4-1}}\neq {\sqrt {4}}-{\sqrt {1}}$

由基本練習理解根號

一、平方，求下列各數的值：

平方是自己乘以自己，a²=a*a

1²=　　2²=　　3²=　　4²=　　5²=　　6²=　　7²=　　8²=　　9²=　　10²=　　11²=　　12²=　　0.7²=　　(1.2)²=　　$\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=$　　$\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}=$　　 $\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}=$　　

二、根號(開方)，求下列各數的值：

(一)、從${\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}$開始

${\sqrt {1}}*{\sqrt {1}}$=　${\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}$=　${\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$=　　${\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}$=　${\sqrt {5}}*{\sqrt {5}}$=　　${\sqrt {6}}*{\sqrt {6}}$=　　${\sqrt {7}}*{\sqrt {7}}$=　 ${\sqrt {8}}*{\sqrt {8}}$=　　${\sqrt {9}}*{\sqrt {9}}$=　${\sqrt {10}}*{\sqrt {10}}$=

(二)、從${\sqrt {a}}^{2}$開始

${\sqrt {1}}^{2}$=　　${\sqrt {2}}^{2}$=　　${\sqrt {3}}^{2}$=　　${\sqrt {4}}^{2}$= 　${\sqrt {5}}^{2}$=　　${\sqrt {6}}^{2}$=　　${\sqrt {7}}^{2}$=　　${\sqrt {8}}^{2}$=　　${\sqrt {9}}^{2}$=　　${\sqrt {10}}^{2}$=　　

(三)、從 a 開始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　

(四)、從${\sqrt {a^{2}}}$開始

${\sqrt {1^{2}}}$=　　${\sqrt {2^{2}}}$=　　${\sqrt {3^{2}}}$=　　${\sqrt {4^{2}}}$=　　${\sqrt {5^{2}}}$=　　${\sqrt {6^{2}}}$=　　${\sqrt {7^{2}}}$=　　${\sqrt {8^{2}}}$=　　${\sqrt {9^{2}}}$=　　${\sqrt {10^{2}}}$=　　

(五)、從${\sqrt {a^{2}}}$開始

${\sqrt {1}}$=　　${\sqrt {4}}$=　　${\sqrt {9}}$=　　${\sqrt {16}}$=　　${\sqrt {25}}$=　　${\sqrt {36}}$=　　${\sqrt {49}}$=　　${\sqrt {64}}$=　　${\sqrt {81}}$=　　${\sqrt {100}}$=　　${\sqrt {169}}$=　　

三、畢氏定理

直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為： a²+b²=c²，請圖解：(切記不是 a+b=c)

四、根號求值

• ${\sqrt {1}}=1$
• ${\sqrt {2}}$
  1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+1²=c²，所以c²=2，c=${\sqrt {2}}$(參見第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {2}}$約等於 1.4 公分。
  3. 由於${\sqrt {2}}^{2}=2$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {2}}$的近似值為 1.414
• ${\sqrt {3}}$
  1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=2²，所以b²=3，b=${\sqrt {3}}$(參見第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {3}}$約等於 1.7 公分。
  3. 由於${\sqrt {3}}^{2}=3$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {3}}$的近似值為 1.732
• ${\sqrt {4}}=2$
• ${\sqrt {5}}$
  1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+2²=c²，所以c²=5，c=${\sqrt {5}}$(參見第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {5}}$約等於 2.2 公分。
  3. 由於${\sqrt {5}}^{2}=5$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {5}}$的近似值為 2.236
  4. 也可以作短股 ${\sqrt {2}}$ 公分、長股 ${\sqrt {3}}$ 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：${\sqrt {2}}^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=c^{2}$，所以c²=5，c=${\sqrt {5}}$(參見第二段)
  5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+b²=3²，所以b²=5，b=${\sqrt {5}}$(參見第二段)
• ${\sqrt {6}}$
  1. ${\sqrt {6}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}$，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
     • 左邊平方${\sqrt {6}}^{2}=6=2*3={\sqrt {2}}^{2}*{\sqrt {3}}^{2}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$
     • 右邊平方$\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)^{2}=\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)*\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}$
  2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為${\sqrt {5}}$；再作短股 1 公分長股${\sqrt {5}}$公分的直角三角形，斜邊為${\sqrt {6}}$。
  3. 第一種求近似值的方法，量${\sqrt {6}}$約為 2.4 ，再利用${\sqrt {6}}^{2}=6$，求得近似值 2.449 。
  4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414(${\sqrt {2}}$的近似值) 乘以 1.732(${\sqrt {3}}$的近似值) ，即得 2.449 (${\sqrt {6}}$的近似值) 。
  5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
• ${\sqrt {7}}$
  1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為${\sqrt {3}}$；再作短股 ${\sqrt {3}}$ 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為${\sqrt {7}}$。
  2. 求近似值的方法，量${\sqrt {7}}$約為 2.6 ，再利用${\sqrt {7}}^{2}=7$，求得近似值 2.646 。
• ${\sqrt {8}}$
  1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=${\sqrt {8}}$(參見第二段)
  2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=${\sqrt {8}}$(參見第二段)
  3. 第一種求近似值的方法，量${\sqrt {8}}$約為 2.8 ，再利用${\sqrt {8}}^{2}=8$，求得近似值 2.828 。
  4. 第二種求近似值的方法，${\sqrt {8}}={\sqrt {2*2*2}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}=2*{\sqrt {2}}$直接拿 2 乘以 1.414(${\sqrt {2}}$的近似值)，即得 2.828 (${\sqrt {8}}$的近似值) 。
• ${\sqrt {9}}=3$
• ${\sqrt {10}}$
  1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=${\sqrt {10}}$(參見第二段)
  2. 用尺量，${\sqrt {10}}$約等於 3.2 公分。
  3. 由於${\sqrt {10}}^{2}=10$，所以一位一位求下去，可以得${\sqrt {10}}$的近似值為 3.162