国中数学/国中数学八年级/8-1 角

7-2 函数图形与线型函数

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国中数学八年级 8-1 角

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8-2 尺规作图

本章节要介绍基本的平面图形“角(angle)”。

角的分类

国小讲过“角的分类”，现重新复习如下：
参见：维基百科：角的种类

• 锐角：角度介于$0$度到$90$度的角。
• 直角：角度等于$90$度的角。
• 钝角：角度介于$90$度到$180$度的角。
• 平角：角度等于$180$度的角。
• 优角：角度介于$180$度到$360$度的角。
• 周角：角度等于$360$度的角。

一个直角

$\angle a$为锐角，$\angle b$为钝角

一个周角

例子

下图中，$\triangle ABC$为直角三角形，$\angle A$、$\angle B$为锐角，$\angle C$为直角。
其中，$a$、$b$分别是锐角$\angle A$、$\angle B$的对边，我们称之为股；$c$是直角$\angle C$的对边，我们称之为斜边。

补角与余角

参见：维基百科：补角、维基百科：余角

一对互补角

补角

• 两个角的度数和为$180$度时，我们称这两个角互补，即$\angle A+\angle B=180^{\circ }$时，我们称$\angle A$、$\angle B$互为补角，简称$\angle A$与$\angle B$互补。

Example：当两个角的边可以碰在一起形成一直线时，则这两个角互补。(如右图所示)

余角

• 两个角的度数和为$90$度时，我们称这两个角互余，$\angle A+\angle B=90^{\circ }$时，我们称$\angle A$、$\angle B$互为余角，简称$\angle A$与$\angle B$互余。

Example：左图$\triangle ABC$中，两锐角$\angle A+\angle B=90^{\circ }$，故直角三角形当中两锐角$\angle A$、$\angle B$互余。

例题$1$ 已知$\angle A$与$\angle B$互余，$\angle B$与$\angle C$互补，则： $(1)$若$\angle A$为$35^{\circ }$，则$\angle B$与$\angle C$分别是几度？ $(2)$若$\angle A$为$x^{\circ }$，则$\angle B$与$\angle C$分别是几度？(用$x$表示)

解 $(1)$因为$\angle A=35^{\circ }$，$\angle B$与$\angle A$互余，代表$\angle A+\angle B=90^{\circ }$，所以$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$； 而因为$\angle B=55^{\circ }$，$\angle B$与$\angle C$互补，代表$\angle B+\angle C=180^{\circ }$，所以$\angle C=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$。 $(2)$因为$\angle A=x^{\circ }$，$\angle B$与$\angle A$互余，代表$\angle A+\angle B=90^{\circ }$，所以$\angle B=90^{\circ }-\angle A=(90-x)^{\circ }$； 而因为$\angle B=(90-x)^{\circ }$，$\angle B$与$\angle C$互补，代表$\angle B+\angle C=180^{\circ }$，所以$\angle C=180^{\circ }-\angle B=[180-(90-x)]^{\circ }=(90+x)^{\circ }$。

对顶角

参见：维基百科：对顶角

对顶角

两直线交于一点会形成$4$个角，其中不相邻的两个角我们称为对顶角。
如右图，$\angle A$与$\angle B$互为对顶角；$\angle C$与$\angle D$互为对顶角。

• 两个角互为对顶角，则这两个角度数相同。
• 另外要注意的是，要两直线有交点才会形成两组对顶角，如果不共线的话就不会有对顶角。

例题$2$ 如右图，已知两直线相交于一点，而且$\angle 1=(3x+8)^{\circ }$，$\angle 3=(6x-22)^{\circ }$，则$\angle 2$为几度？

解 ∵两直线相交于一点，∴$\angle 1$与$\angle 3$为对顶角， 即$3x+8=6x-22$，可以解出$x=10$， 所以$\angle 1$为$3\times 10+8=30+8=38$度，$\angle 2=180^{\circ }-\angle 1=180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ }$。

角平分线

参见：维基百科：平分线
如下图所示，若射线$OP$将一个角$\angle AOB$分成$2$个相同角度大小的角$\angle AOP$与$\angle BOP$，则称射线$OP$为$\angle AOB$的角平分线。

射线OP为∠AOB的角平分线

平分后的角与原角的度数关系

若射线$OP$为$\angle AOB$的角平分线，则$\angle AOP=\angle BOP={\frac {1}{2}}\angle AOB$。

• 若直线$L$上从左而右依序有三点$A$、$B$、$C$，$O$为线外一点且${\overline {OB}}$垂直直线$L$，则${\overline {OB}}$为平角$\angle ABC$的角平分线。

优角

优角即为介于180度到360度的角度。

例题$3$ 如果我们在一个圆中取一个圆心$O$点，再画OA、OB两条射线。 $(1)$若锐角$\angle AOB$为$50^{\circ }$，则其优角是几度？ $(2)$若钝角$\angle AOB$为$110^{\circ }$，则其优角是几度？

解 $(1)$因$\angle AOB$为$50^{\circ }$，周角为$360^{\circ }$，所以优角＝360°－50°＝310°。 $(2)$因$\angle AOB$为$110^{\circ }$，周角为$360^{\circ }$，所以优角＝360°－110°＝250°。

复习条目

• 平面图形

未来要学习的

• 尺规作图：角平分线
• 内角与外角
• 角平分线的性质