國中數學/國中數學七年級/8-1 垂直與線對稱

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 7-3 一元一次不等式的應用問題 國中數學七年級
8-1 垂直與線對稱
8-2 三視圖 

本單元為國中階段第一次的幾何課程,我們將從最簡單的幾何圖形開始介紹。

幾何圖形[编辑]

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點(point)是最基本的幾何圖形,一個點只代表位置,它不具有大小長度

點的命名[编辑]

通常我們會使用大寫英文字母等標示點,並稱呼為「什麼點」或「點什麼」。
Example:用大寫字母標示的點我們稱為點或點。(如下圖所示)

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任意兩點就可以決定唯一的一條直線。(這是歐幾里得幾何公理之一,有興趣的同學可以點入連結參看。)

  1. 直線
    • 兩端可以無限延長的線我們稱作直線。
    • 直線沒有長度和寬度,也沒有方向性。
    • 直線的命名:除非要特別說明這條直線過兩點我們記錄成之外,其餘大部分都是在直線旁邊標示大寫英文字母等符號,若需要表示更多直線就會在大寫英文字母左下方寫上小小的數字(稱為下標),形如……等等。
    • 在直線上代表直線會通過
    • 為任意兩點,則這兩個直線的表達方式代表相同的直線
  2. 線段
    • 兩端都不可以延伸的線我們稱作線段。
    • 線段具有長度,但沒有寬度與方向性。
    • 線段的命名:通過兩點的線段我們可以記錄成,其中讀作「線段」或「線段」。
    • 因為線段具有長度,故有時會表示線段的長度。如的長度為公分,我們可以寫作公分。
    • 線段可以比大小:
      1. 長,代表將點與點重合之後,點會介於兩點之間,此時我們可以寫作
      2. 短,代表將點與點重合之後,點會落在之外,此時我們可以寫作
      3. 等長,代表將點與點重合之後,點會與點重合,此時我們可以寫作
    • 上代表會通過
  3. 射線
    • 只有一端可以無限延長的線我們稱作射線。
    • 射線具有方向性,但沒有長度與寬度。
    • 線段的命名:若點不可無限延伸,但點可以,我們將此射線記錄成,讀作「射線」或「射線」。
      • 注意:不可以紀錄為,因為這代表點可以無限延伸,但點不可。
      • 由此可知並不等於
    • 上代表會通過

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參見:國中數學/國中數學八年級/8-1 角
兩射線如果使用相同的起點,則會形成一個,此起點我們稱為角的頂點

角的種類
定義
銳角 介於0度到90度的角
直角 等於90度的角
鈍角 介於90度到180度的角
平角 等於180度的角
優角 介於180度到360度的角
周角 等於360度的角

角的命名[编辑]

AngoloOttuso.png
  1. 可以直接在角上面標示、……,並稱呼為「(讀作角)」、「」、「」、「」等等。
  2. 在不會造成混淆的情況下,可以標示出頂點,並利用頂點命名。例如有一個角的頂點為,我們稱此角為
  3. 若有可能造成混淆,可以在兩射線上各取一點,並以順時針或逆時針的方式報讀角的名字。如右圖為(順時針)或(逆時針)[註 1],但不可以稱(即頂點必須在中間)。
  • 下圖為一個可能會造成混淆的例子:
角BAC.jpg
  • 如果只是說,不知道是要表達還是
  • 如果要表示最大的那個角,應該要用來說明比較好。

三角形[编辑]

由三個點用線段互相連起來的圖形,我們稱為三角形。三角形具有條邊、個角與個頂點。是中學時期學習最多的形狀。

  • 依內角的大小可以將三角形區分成三類:
三角形種類
說明
銳角三角形 三個內角都是銳角
直角三角形 三個內角當中有一個直角
鈍角三角形 三個內角當中有一個鈍角
  • 其中,依邊的長短可以分出特別的兩類三角形:
三角形種類
說明
等腰三角形 其中兩條邊等長
正三角形 三條邊都等長

三角形的命名[编辑]

三角形的命名如同角的命名,可以順時針報讀或逆時針報讀,但它跟角報讀方式的不同之處在於三角形可以從任何點開始。如下圖,你可以稱下面這個三角形為
但在大部分的情形[註 2]我們會習慣將英文字母按照順序排列,記作,讀作「三角形」,很少人稱作「三角形」。

Bisambahu tringle.JPG

多邊形[编辑]

個點以上(含),相鄰的兩點以線段連成一圈的圖形,我們稱為多邊形。

  • 一個邊形有個頂點、條邊與個角。
  • 三角形也是一種多邊形。
  • 國中階段會比較著墨在三角形、四邊形與正多邊形上。
  • 多邊形的稱呼:從某一個頂點出發,依序以順時針或逆時針的順序報讀各頂點。一樣的,習慣上我們會按照英文字母的順序報讀。
Quadrilateral definition.png
此四邊形可以稱呼它為四邊形或四邊形等等,但不能稱呼為四邊形
  • 多邊形的對角線:不相鄰的兩點連成的線,我們稱為對角線
    圖中畫出五邊形所有的對角線。
    • 補充:邊形的對角線有個頂點。
  • 若對角線全部都在圖形之內,我們稱此圖形為凸多邊形,若有一條對角線的部分會在圖形之外,則我們稱此圖形為凹多邊形
    • 在國中數學內,沒有特別強調時,談論的圖形都是凸多邊形。
凸六邊形的例子。所有對角線(紅色線段)都在圖形內。
凹五邊形的例子。綠色的對角線有部分超出圖形之外。

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參見:國中數學/國中數學九年級/3-1 點、線與圓的位置關係
在平面上,與一固定點距離相同的所有點形成的圖形,我們稱為,其中「相同的距離」我們稱為半徑

垂直[编辑]

當兩直線(或線段)的夾角剛好是直角時,我們稱兩直線(或線段)垂直,並使用「」表示。如下圖直線與直線垂直,我們可以寫作「」。

01-Lot fällen-1.svg

垂線[编辑]

垂線:一直線與直線的夾角為直角(兩直線互相垂直),則我們稱此直線為垂線
1.一條直線的垂線有無限多條

  • 如下圖當中,都是的垂線。
  • 當然,只要在畫一條直線,其夾角與直線度的時候,這條直線也會是直線的垂線。
垂線.jpg

2.過線上一點作的垂線只有一條

  • 如上圖當中,過點且與垂直的直線只有一條。

3.過線外一點作的垂線只有一條

垂足[编辑]

兩垂直的直線(或線段)所相交的點,我們稱為垂足。如上圖當中的三點,分別是直線的垂足。

平分[编辑]

設一線段,若點上且滿足,則我們稱平分點也稱作兩點的中點

垂直平分線

垂直平分線(中垂線)[编辑]

點平分,則過點且與垂直的直線我們稱為垂直平分線,又稱作中垂線

  1. 只有線段才有垂直平分線,直線與射線沒有。
  2. 一條線段的垂直平分線只有一條。

線對稱圖形[编辑]

  1. 線對稱圖形的意義:將一個平面圖形沿著某一條直線對摺,如果可以使直線兩側的圖形完全重疊,則此圖形為線對稱圖形
    一些線對稱圖形,紅色直線為對稱軸。

  2. 對稱軸:在線對稱圖形中,若沿著直線對摺,直線兩側的圖形完全重疊,則直線稱為線對稱圖形的對稱軸
    • 對應點:沿著對稱軸對摺,會剛好疊合的點。
    • 對應邊:沿著對稱軸對摺,會剛好疊合的邊。
    • 對應角:沿著對稱軸對摺,會剛好疊合的角。
    • 一個圖形的對稱軸可能不只一條。
      虛線為對稱軸。可以注意左上方的正方形有4條對稱軸。
      所以要表達對應點、對應邊或對應角時,應該要說明「以哪條直線為對稱軸,什麼的對應什麼是什麼」。
      • 例如:如下圖,以直線為對稱軸,點的對應點為點的對應邊為的對應角為
以直線L為對稱軸的箭頭
  • 註解:
    1. 在線對稱圖形中,對稱軸為兩側對稱點連線的垂直平分線
      • 如上圖當中,直線的垂直平分線。
    2. 在線對稱圖形中,對稱線段等長,對稱角等大。
      • 如上圖當中的對應邊為,所以的對應角為,所以

常見的線對稱圖形[编辑]

  1. 等腰三角形
    • 等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形。
    • 一般的等腰三角形只有一條對稱軸,此對稱軸既是底邊的垂直平分線,也會將頂角平分成兩個角度相等的角(我們稱作角平分線)。
    • 等腰三角形的兩個底角相等。
  2. 正三角形
    • 正三角形必定有條對稱軸。
    • 正三角形必然是等腰三角形,但等腰三角形不一定是正三角形。
  3. 長方形
    • 長方形的定義:有四個直角的四邊形。
    • 一般的長方形有條對稱軸。
  4. 菱形
    • 菱形的定義:有四邊等長的四邊形。
    • 一般的菱形有條對稱軸。
  5. 正方形
    • 正方形的定義:四邊等長四個角都是直角的四邊形。
    • 正方形必定有條對稱軸。
    • 正方形必然是長方形,但長方形不一定是正方形。
    • 正方形必然是菱形,但菱形不一定是正方形。
  6. 箏形
    • 箏形的定義:有兩對鄰邊相等的四邊形。
    • 箏形又稱作鳶形。
    • 一般的箏形只有一條對稱軸。
    • 正方形、菱形必然是箏形,但箏形不一定是正方形或菱形。
  7. 等腰梯形
    • 等腰梯形的意義:一個梯形的兩腰等長
    • 等腰梯形只有一條對稱軸。
  8. 正多邊形
    • 正多邊形的對稱軸和它的邊數一樣多。如正七邊形有七條對稱軸。
  9. 圓形
    • 圓形有無限多條對稱軸,任何一條直徑都是其對稱軸。

常考的"非"線對稱圖形[编辑]

  1. 內角分別是度的三角形。
  2. 一般的平行四邊形。
  3. 一般的梯形。

剪紙與線對稱圖形[编辑]

將一張紙對摺,並在摺線畫圖案,剪下來的圖形必定以摺線作為其對稱軸。

方格紙與線對稱圖形[编辑]

其秘訣為:對稱點與對稱軸的距離相等,利用方格紙上的格子可以測量距離,找出對稱點然後再相連即可。

註解[编辑]

  1. 數學上常常使用逆時針的命名方式,知名數學軟體Geogrbra就是使用逆時針的方式畫出角度。
  2. 在全等三角形的地方有時為了對應點的對應關係,所以我們沒有按照英文字母順序排列。