代數/本書課文/求和/錯位相減法

錯位相減法是透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。

含公比數列

設$S_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$
$q{S}_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k$
$\begin{array}{cc}(1-q)S_n& =\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}p(k+1)q^k-\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k\\ & =\sum _{k=1}^n[p(k+1)-p(k)]q^k+p(1)-p(n+1)q^n\\ S_n& =\frac{q}{1-q}\sum _{k=1}^n[p(k+1)-p(k)]q^{k-1}+\frac{p(1)-p(n+1)q^n}{1-q}\end{array}$

每一次錯位相減會對多項式進行一次差分，一個m階多項式進行差分後是m-1階多項式，所以可以在有限步內用錯位相減法求出多項式公比求和。

例子：等比數列求和 $S_n=\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}$ $q{S}_n=\sum _{k=1}^n{q}^k$ $(q-1)S_n=q^n-1,S_n=\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$

例子：差比數列求和 $S_n=\sum _{k=1}^n[a+d(k-1)]r^{k-1}$ 代入上述結論： $\begin{array}{cc}{S}_n& =\frac{r}{1-r}\sum _{k=1}^{n}d{r}^{k-1}+\frac{a-(a+dn)r^n}{1-r}\\ & =\frac{dr(1-r^n)}{(1-r{)}^2}+\frac{a-(a+dn)r^n}{1-r}\end{array}$

倒序求和

$S_n=\sum _{k=1}^n{x}_k=\sum _{k=1}^n{x}_{n+1-k}$
若$x_k+x_{n+1-k}$為常數，即可求出$2S_n$

例子：等差數列求和 $S_n=\sum _{k=1}^{n}a+d(k-1)=\sum _{k=1}^{n}a+d(n-k)$ $2S_n=\sum _{k=1}^{n}2a+d(n-1)=2an+dn(n-1)$ $S_n=an+d\frac{n(n-1)}{2}$