微積分學/極限/極限與連續

連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的（或者說具有不連續性）。

舉例來說，考慮描述一棵樹的高度隨時間而變化的函數$h(t)$，那麼這個函數是連續的（除非樹被砍斷）。又例如，假設$T(P)$表示地球上某一點$P$的空氣溫度，則這個函數也是連續的。事實上，古典物理學中有一句格言：「自然界中，一切都是連續的。」 相比之下，如果$M(t)$表述在時間t的時候銀行帳戶上的錢幣金額，則這個函數無論在存錢或者取錢的時候都會有跳躍，因此函數$M(t)$是不連續的。

定義

對函數連續性的嚴格定義需要用到極限的概念。我們學習了極限的概念後，已經擁有了定義何為連續函數的知識基礎。首先我們定義函數在一點上的連續性：

定義（函數在一點的連續性）

設函數$f(x)$在某一點$c$的一個鄰域上有定義，則函數$f$在$c$點連續 若且唯若$f$在$x$趨於$c$時的極限等於$f$在$c$的值：

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$.

從定義中可以看出，函數$f(x)$在某一點$c$連續需要滿足三個條件：

1. 函數在$c$點及其附近有定義，也就是說$f(c)$存在；
2. 函數在$x$趨於$c$時的極限存在；
3. 這個極限等於$f$在$c$的值$f(c)$。

這三個條件缺一不可。如果函數不滿足其中的一個或多個條件，就稱這一點為函數$f$的間斷點。

我們也可以重新用$\delta -\epsilon$的方式給出函數在一點連續的定義：

定義（函數在一點的連續性，$\delta -\epsilon$定義）
設有函數$f\,:\;\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$。$c$是$\mathbb {D}$中一點，並且$f$在$c$的一個鄰域上有定義。如果對任意的正實數$\epsilon$，都存在正實數$\delta$，使得對任意$x\in \mathbb {D}$，只要$\vert x-c\vert \leqslant \delta$，就有$\vert f(x)-f(c)\vert \leqslant \epsilon$，那麼就說$f$在$c$處連續。

從定義上來看，函數在一點的連續性是函數的一個局部性質。我們還可以定義函數在區間上的連續性：

定義（函數在開區間上的連續性）
設有函數$f\,:\;\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$。如果函數在$(a,b)\subset \mathbb {D}$上的每一點都連續，那麼就稱$f$在$(a,b)$上連續，或稱$f$是$(a,b)$上的連續函數。

如果函數在整個實數軸上都連續或在自己的定義域上連續，我們簡稱函數是連續函數。初等函數在定義域上連續，所以我們稱初等函數都是連續函數。

間斷點

函數的間斷點，也就是不連續的點。間斷點有很多種類，實數軸上的函數的間斷點大致可以分為四類。

可去間斷點

可去間斷點，函數在紅點處無定義，但只要將紅點處補上，就是連續函數。

可去間斷點指的是函數在某一點上沒有定義，但在這一點有極限。這時候，只要為函數在這一點上「補上」這個極限值，就可以將這個間斷點變成一個連續點。例如函數$f(x)=x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$在$x=0$處沒有定義，但$f$在$x$趨於$0$有極限：

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=0.$

所以只要將$f$重新定義為：

$f(x)={\begin{cases}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&\forall x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.$

那麼$f$就是一個連續的函數。

跳躍間斷點

階梯函數在0處有一個跳躍間斷點。

跳躍間斷點指的是函數在某一點的左極限和右極限都存在並有限，但兩者不相等。這時候函數在這一點可以是有定義，也可以是無定義，但無論這一點的函數值為何，都無法使得函數連續。比如右圖中的階梯函數$k(x)$：

$k(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&\forall x>0\\-1,&\forall x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$

它在$0$點左側的極限是$-1$，右極限是$1$，所以無論在$0$點的取值是$-1$還是$1$，都不會使得函數在$0$點處連續。

無窮型間斷點

無窮型間斷點指的是函數在某一點附近趨於無窮大，或者僅僅在某一側趨於無窮大，這時候函數的間斷點同樣無法用「補上一點」的方法去掉。比如倒數函數：

$f\,:\;x\mapsto {\frac {1}{x}}.$

在$0$點左側的極限是負無窮大，右極限是正無窮大。所以無論在$0$點的取值如何，都不會使得函數在$0$點處連續。無窮型間斷點可以看做是跳躍間斷點的特殊的一種。

無極限間斷點

除了以上的幾類間斷點，還有的間斷點是函數在趨於這一點時沒有極限，比如函數$f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$在$x=0$處沒有定義，也沒有極限，因為在$0$點附近，函數以越來越快的頻率「振盪」，所以在趨於$0$點時既不會趨向某個值，也不會趨向無窮大。

除了第一類間斷點外，另外三類間斷點都是不可去的。把函數所有可去間斷點「去掉」後得到的新函數叫做函數的拓延。

單側連續性

和單側極限類似，我們也可以定義函數在某一點的單側連續性。函數在一點左（右）連續，如果它在這一點的左（右）極限等於它在這一點的值。和單側極限的性質類似，函數在某一點連續，若且唯若函數在某一點左連續而且右連續。

定義了單側連續之後，我們就可以定義函數在閉區間上的連續性。

定義（函數在閉區間上的連續性）

設函數$f(x)$在某個閉區間$[a,b]$上有定義，則函數$f$在$[a,b]$上連續若且唯若

1. $f$在開區間$(a,b)$上連續；
2. $f$在點$a$處右連續；
3. $f$在點$b$處左連續。

連續的函數有許多良好的性質，可以幫助我們解決許多問題。

介值定理

介值定理描述了連續函數的值域，是一個很有用的定理：

介值定理
設函數$f$在某個閉區間$[a,b]$上連續，那麼對於所有介於$f(a)$和$f(b)$的實數$k$，都存在一個介於$a$和$b$之間的實數$a\leqslant c\leqslant b$，使得$f(c)=k$。