微积分学/极限/一些极限性质的证明

若$a$，$b$均为常数，则$\underset{x\to a}{lim}b=b$。

证明

欲证$\underset{x\to a}{lim}b=b$，只需找到一个$\delta >0$，使得对任意$\epsilon >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|b-b|<\epsilon$。由于$|b-b|=0$且$\epsilon >0$, 则$|b-b|<\epsilon$对任意$\delta$均成立，证毕。

若$a$为常数，则$\underset{x\to a}{lim}x=a$。

证明

欲证$\underset{x\to a}{lim}x=a$，只需找到一个$\delta >0$，使得对任意$\epsilon >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|x-a|<\epsilon$。取$\delta =\epsilon$，满足条件，证毕。

线性规则
设$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$，$\underset{x\to c}{lim}g(x)=M$，则$\underset{x\to c}{lim}[f(x)+g(x)]=\underset{x\to c}{lim}f(x)+\underset{x\to c}{lim}g(x)=L+M$。

证明

显然，必有函数${\delta }_f(\epsilon )$和${\delta }_g(\epsilon )$，使得对任意$\epsilon >0$，当$|x-c|<{\delta }_f(\epsilon )$时，$|f(x)-L|<\epsilon$；当$|x-c|<{\delta }_g(\epsilon )$时，$|g(x)-M|<\epsilon$。两式相加，得$|f(x)-L|+|g(x)-M|<2\epsilon$。

由三角不等式，得$|[f(x)-L]+[g(x)-M]|=|[f(x)+g(x)]-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|$。

因此，当$|x-c|<{\delta }_f(\epsilon )$且$|x-c|<{\delta }_g(\epsilon )$时，$|[f(x)+g(x)]-(L+M)|<2\epsilon$。

设${\delta }_{fg}(\epsilon )$为${\delta }_f(\frac{\epsilon }{2})$和${\delta }_g(\frac{\epsilon }{2})$二者中较小者，则$\underset{x\to c}{lim}[f(x)+g(x)]$的定义中的$\delta$即为${\delta }_{fg}(\epsilon )$，求出值为$L+M$，证毕。

线性规则
设$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$，$\underset{x\to c}{lim}g(x)=M$，则$\underset{x\to c}{lim}[f(x)-g(x)]=\underset{x\to c}{lim}f(x)-\underset{x\to c}{lim}g(x)=L-M$。

证明

令$h(x)=-g(x)$，则$\underset{x\to c}{lim}h(x)=-M$，故$\underset{x\to c}{lim}[f(x)-g(x)]=\underset{x\to c}{lim}[f(x)+h(x)]=L-M$，证毕。

积规则
设$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$，$\underset{x\to c}{lim}g(x)=M$，则$\underset{x\to c}{lim}[f(x)g(x)]=\underset{x\to c}{lim}f(x)\underset{x\to c}{lim}g(x)=LM$。

证明

设$\epsilon$为任意正数，则必有${\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3$，使得

1. 当$0<|x-c|<{\delta }_1$时，$|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{2(1+|M|)}$；
2. 当$0<|x-c|<{\delta }_2$时，$|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2(1+|L|)}$；
3. 当$0<|x-c|<{\delta }_3$时，$|g(x)-M|<1$。

由3得当$0<|x-c|<{\delta }_3$时，$|g(x)|=|g(x)-M+M|\le |g(x)-M|+|M|<1+|M|$，则当$0<|x-c|<min\{{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\}$时，由1和2得$\begin{array}{cc}|f(x)g(x)-LM|& =|f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM|\\ & \le |f(x)g(x)-Lg(x)|+|Lg(x)-LM|\\ & =|g(x)||f(x)-L|+|L||g(x)-M|\\ & <(1+|M|)\frac{\epsilon }{2(1+|M|)}+(1+|L|)\frac{\epsilon }{2(1+|L|)}\\ & =\epsilon \end{array}$，证毕。

商规则
设$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$，$\underset{x\to c}{lim}g(x)=M\ne 0$，则$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to c}{lim}f(x)}{\underset{x\to c}{lim}g(x)}=\frac{L}{M}$。

证明

若$\underset{x\to c}{lim}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}$，则可令$h(x)=\frac{1}{g(x)}$，运用积规则可证商规则。下证$\underset{x\to c}{lim}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}$：

设$\epsilon$为任意正数，则必有${\delta }_1,{\delta }_2$，使得

1. 当$0<|x-c|<{\delta }_1$时，$|g(x)-M|<\epsilon |M|||M|-1|$；
2. 当$0<|x-c|<{\delta }_2$时，$|g(x)-M|<1$。

由2得$|M|=|M-g(x)+g(x)|\le |M-g(x)|+|g(x)|<1+|g(x)|$，则当$0<|x-c|<{\delta }_2$时，$|g(x)|>|M|-1$。

故当$0<|x-c|<{\delta }_2$时，$\left|\frac{1}{g(x)}\right|<\frac{1}{|M|-1}\le \left|\frac{1}{|M|-1}\right|$。

当$0<|x-c|<min\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$时，有

$\begin{array}{cc}|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}|& =\left|\frac{M-g(x)}{Mg(x)}\right|\\ & =\left|\frac{g(x)-M}{Mg(x)}\right|\\ & =\left|\frac{1}{g(x)}\right|\left|\frac{g(x)-M}{M}\right|\\ & <\left|\frac{1}{|M|-1}\right|\left|\frac{g(x)-M}{M}\right|\\ & <\left|\frac{1}{|M|-1}\right|\left|\frac{\epsilon |M|||M|-1|}{M}\right|\\ & =\epsilon \end{array}$，证毕。

夹挤原理
设$\underset{x\to c}{lim}g(x)=\underset{x\to c}{lim}h(x)=L$，且在$c$的某个去心邻域内有$g(x)\le f(x)\le h(x)$，则$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$。

证明

显然，必有$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|g(x)-L|<\epsilon$，$|h(x)-L|<\epsilon$。

不等式等价于：$0<|x-c|<\delta$时，$L-\epsilon <g(x)<L+\epsilon$，$L-\epsilon <h(x)<L+\epsilon$。

因此当$0<|x-c|<\delta$时，$L-\epsilon <g(x)<f(x)<h(x)<L+\epsilon$，或当$0<|x-c|<\delta$时，$-\epsilon <g(x)-L<f(x)-L<h(x)-L<\epsilon$。

故当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<max\left\{\right|g(x)-L|,|h(x)-L\left|\right\}<\epsilon$，证毕。