相對論/E=mc2

基本物理量的定義

	相對論	牛頓力學	說明
速度v(向量)	$\frac{dx}{dt}$	$\frac{dx}{dt}$	位置對時間微分
加速度a(向量)	$\frac{dv}{dt}$	$\frac{dv}{dt}$	速度對時間微分
力F(向量)	$\frac{d(mv)}{dt}$	$ma=m\ast \frac{dv}{dt}$	動量mv對時間微分， 牛頓力學中$m$為常數
功與能(純量)	$F\ast dx$	$F\ast dx$	施力*位移

一、第一組推導：以「微分『功』的定義來主導」

運用 $\frac{d{x}^2}{dx}=2x$ 則 $\frac{dx}{d{x}^2}=\frac{1}{2x}$

(一)微分相對論質量

1. 由 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 得 $m^2=\frac{m_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}=\frac{m_0^2{c}^2}{c^2-v^2}$ 移項後得
   $m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$ 或 $m^2{c}^2=m_0^2{c}^2+m^2{v}^2$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_0$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_0^2{c}^2$ 對時間微分會得 0 ，所以 $\frac{d(m^2\ast c^2)}{dt}=\frac{d(m^2\ast v^2)}{dt}$，化簡得 $d(m^2\ast c^2)=d(m^2\ast v^2)$，代入(二)

(二)微分「功」的定義

$d{E}_k=F\ast dx=\frac{d(m\ast v)}{dt}dx=d(m\ast v)\ast v=\frac{d(m^2{v}^2)}{d((mv{)}^2)}\ast d(m\ast v)\ast v=d(m^2{v}^2)\ast \frac{d(mv)}{d((mv{)}^2)}\ast v$
$=d(m^2{v}^2)\ast \frac{1}{2mv}\ast v=d(m^2{v}^2)\ast \frac{1}{2m}=d(m^2{v}^2)\ast \frac{dm}{d{m}^2}=d(m^2{v}^2)\ast \frac{dm\ast c^2}{d{m}^2\ast c^2}=dm\ast c^2\ast \frac{d(m^2{v}^2)}{d(m^2{c}^2)}$由於(一)所以
$=dm\ast c^2$

(三)動能

對 $d{E}_k$ 積分得相對論動能 $E_k={\int }_{m_0}^m{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$

二、第二組推導：以「微分『功』的定義來主導(展開再合併)」

(一)微分「功」的定義

$d{E}_k=F\ast dx=\frac{d(m\ast v)}{dt}dx=d(m\ast v)\ast v=(dm\ast v+m\ast dv)\ast v=dm\ast v^2+m\ast v\ast dv$
$=\frac{2m\ast dm\ast v^2+2m\ast m\ast v\ast dv}{2m}=\frac{2m\ast dm\ast v^2+2v\ast dv\ast m^2}{2m}=\frac{d(m^2)\ast v^2+d(v^2)\ast m^2}{2m}$
$=\frac{d(m^2{v}^2)}{\frac{d(m^2)}{dm}}=dm\ast \frac{d(m^2{v}^2)}{d(m^2)}=dm\ast c^2\frac{d(m^2{v}^2)}{c^2\ast d(m^2)}=dm\ast c^2\frac{d(m^2{v}^2)}{d(m^2{c}^2)}=dm\ast c^2$

(二)微分相對論質量

1. 由 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 得 $m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$ 或 $m^2{c}^2=m_0^2{c}^2+m^2{v}^2$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_0$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_0^2{c}^2$ 對時間微分會得 0 ，所以 $\frac{d(m^2\ast c^2)}{dt}=\frac{d(m^2\ast v^2)}{dt}$，化簡得 $d(m^2\ast c^2)=d(m^2\ast v^2)$，代入上式
3. 對其積分得相對論動能 $E_k={\int }_{m_0}^m{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$

三、第三組推導：兩路並進

(一)微分「功」的定義

$d{E}_k=F\ast dx=\frac{d(m\ast v)}{dt}dx=d(m\ast v)\ast v=(dm\ast v+m\ast dv)\ast v=dm\ast v^2+m\ast v\ast dv=$相對論質量$=dm\ast c^2$

(二)微分相對論質量

1. 由 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 得 $m^2{c}^2-m^2{v}^2=m_0^2{c}^2$ 或 $m^2{c}^2=m_0^2{c}^2+m^2{v}^2$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_0$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_0^2{c}^2$ 對時間微分會得 0 ，所以 $\frac{d(m^2\ast c^2)}{dt}=\frac{d(m^2\ast v^2)}{dt}$，化簡得 $d(m^2\ast c^2)=d(m^2\ast v^2)$
3. c 為常數，m、v均為變數，化簡上式得 $d(m^2)\ast c^2=d(m^2)\ast v^2+m^2\ast d(v^2)$
4. 用鏈式法則得 $\frac{d{m}^2}{dm}\ast dm\ast c^2=\frac{d{m}^2}{dm}\ast dm\ast v^2+m^2\ast \frac{d(v^2)}{dv}\ast dv$
5. 化簡上式得 $2m\ast dm\ast c^2=2m\ast dm\ast v^2+m^2\ast 2v\ast dv$
6. 三項同除以 2m 得 $dm\ast c^2=dm\ast v^2+m\ast v\ast dv$
7. 代入第上段式得：$d{E}_k=dm\ast v^2+m\ast v\ast dv=dm\ast c^2$
8. 對其積分得相對論動能 $E_k={\int }_{m_0}^m{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$