離散數學/集合論

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集合論

定義

簡單來說，所謂的一個集合，就是將數個對象歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。 一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認對象的匯集。

「對象」可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。

「特性」必須明確定義，比如

×××是汉字

下面這種就是沒有明確定義，因此不能用來描述集合：

×××这个汉字很难写

構成集合的事物或對象稱作元素或是成員。

集合表示法

• 要列出集合的元素，我們將它們用大括號括起來，用逗號分隔。例如：

$\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$

• 集合的元素也可以用自然語言描述：

{介乎-3和3之间的整数}

• 集合建構式符號可用於描述元素過多無法悉數列出的集合，其中元素用字母$x$代替：

{$x$|$x$为整数且$|x|<4$}

• 等價於

$\{x|x\in \mathbb {Z} ,|x|<4\}$

• 符號∈和∉分別表示屬於和不屬於：

狗∈{动物}，北京∉{欧洲城市}

• 集合可以包含無限數量的元素，例如質數集，它的元素有無窮多個。省略號用於表示「以此類推」：

$\{2,3,5,7,11,\dots \}$

• 大寫字母$A$、$B$……通常表示集合
• 小寫字母$x$、$y$……通常表示元素

特殊集合

全集

全集包含了所有的研究對象和集合，數學符號為 $U$。

空集

空集是不含任何元素的集合，數學符號為{}或∅。

特殊數集

有幾個集合經常被使用，有專門的符號來表示。

自然數集

數學中，自然數指用於計數和定序的數字。自然數集用$\mathbb {N}$表示，$\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$

整數集

整數，是序列中所有的數的統稱，包括負整數、零與正整數。整數集用$\mathbb {Z}$表示，$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

有理數集

數學上，可以表達為兩個整數比的數(${\frac {a}{b}}$，$b\neq 0$)被定義為有理數，例如${\frac {3}{8}}$、0.75。整數和分數統稱為有理數。有理數集用$\mathbb {Q}$表示。

無理數集

與有理數對應的是無理數，如${\sqrt {2}}$無法用整數比表示。

實數集

在數學中，實數是有理數和無理數的總稱。實數集用$\mathbb {R}$表示。