高中數學/預備知識/算術與代數

閱讀指南

學習高中數學的讀者應該具備一定程度的初中/國中數學知識基礎，同時高中可能會需要用到少量在先前階段沒有作為重點學習過的知識。本節例舉了一些學習高中數學必須掌握的算術與代數預備知識，並刻意撇去了一部分在高中階段幾乎不怎麼會用到的初中/國中知識。讀者可以速覽本節內容，以便查漏補缺，減少知識死角。

高中數學的代數、函數運算技巧考察更多、更靈活，所以初中的代數、函數相關的基本功尤為重要。

出於篇幅不宜過長、內容不宜過雜的考慮，我們將「算術-代數」與「函數」的預備知識劃入不同的章節。由於代數與函數圖象確實有很密切的關係，我們只得將部分同時涉及一次函數、二次函數與反比例函數的解方程知識移入了函數預備知識一節，本節只會較少地提及它們。

基礎知識

我們在這裡給出對高中有用的初中算術與代數基礎知識脈絡，並以粗體顯示其中重要性較大的知識點。

實數及其運算

有關「數與運算」，讀者應該掌握的基礎知識：

整數、自然數、奇數、偶數、分數、餘數、小數的概念
正負數的四則運算以及去括號的注意事項
負數、數軸與絕對值的概念
絕對值的幾何意義
有理數與無理數的區別
有理數與無理數的四則運算
乘方、開方與算術平方根的概念
含根號分母的有理化
熟記整數1～20的平方值
熟記2的10以內的整數次方的結果值
負冪次的含義
整數開方的取值估計

小學接觸過的加、減、乘、除統稱為四則運算。按照約定，在包含多種運算的混合算式中，應該先計數乘除法，再計算加減法。必要時可以通過添加小括號改變默認的運輸優先順序。當算式中出現多層括號時，依然是約定總是先計算完最內層的小括號，再計算外層的算式。

為了計數的方便，參與四則運算的數字可以大於零，也可以小於零。大於零的數叫做正數（positive number），小於零的數叫做負數（negative number），零既不是正數也不是負數。正數、零、負數之間可以進行絕大多數的四則運算，只有在除法中零不能作為除數是一個特殊例外。

初中範圍內所有學過的數都可以比較大小，所以我們可以將它們表示在同一條有方向的直線上，這就是數軸或數線（number line）。數軸上的每一個點都與一個數一一對應。其中數字0所在的點叫做數軸的原點。數軸一般沿著水平向右的方向畫出。數軸上的數默認從左往右依次增大，點與點之間的間距代表對應點之間的數值大小差異。

如果以原點為界，則數軸上的數可以分為正數、負數和零這3類：

數軸上與負數對應的點都在位於原點右側。
0剛好位數軸的於原點上。
數軸上與正數對應的點都在位於原點左側。

數軸上的任意一個數字與零的間距大小叫做這個數字的絕對值（absolute value）。x的絕對值記為|x|。絕對值永遠是非負的數，即 $|x|\geq 0$ 。

自然數包括零和一切正整數。

所有能表示為2個整數之商的數都叫做有理數或比例數（rational number）。為了一類乘除性計算的方便，我們為有理數規定了乘方（冪）、開方的運算，由此不可避免地導致非有理數的出現。可以與其它有理數比較大小，但是不能表示為2個整數之商的數叫做無理數或非比例數（irrational number）。無理數是存在的，並且它們的對應點和有理數的對應點一樣都分布在數軸上。有理數可以表示為有限循環小數，無理數則是無限不循環小數。

由於對於有理數和無理數，都可以規定相似的運算法則，我們因而在很大程度上可以將其作為同類事物加以研究。為了區別後面將要介紹的另一種數字，我們將有理數和無理數合稱為實數（real number(s)）。

整式、分式與根式

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多項式

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因式分解

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分式

有關「代數式基礎」，讀者應該掌握的基礎知識：

整式、分式與根式的概念
n元多項式、n次多項式及其標準形式、齊次和式的概念
完全平方公式（簡單的配方法）、平方差公式
平方和與平方差的轉換技巧
套用代數公式時的整體代換思想
因式分解
方程、解（根）、移項、等價變形的概念
一元一次方程的列式與求解

含有未知數的等式叫做方程（法語：équation）。英語中說的「equation」可以泛指等式或方程。阿拉伯人把方程的解也叫做方程的根（root）。

有關「比例、分式方程與二次根式」，讀者應該掌握的基礎知識：

比例與分式的對應關係
比例的合分比等性質
正比例與反比例的概念
分式方程的基本性質
增根與丟根現象及其解決辦法
二次根式及其分母有理化

解方程組

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線性方程組

有關「解方程組」，讀者應該掌握的基礎知識：

二元一次方程組及其消元法與代入法
了解三元一次方程組的求解
直接或間接消元的思想、整體代換（設而不求）的思想
了解方程獨立性的概念

方程的同解性與分式方程

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分式方程

解方程時需要進行代數變形，不過此過程中可能會因為變形前後形式的不完全等價性，導致出現解的範圍發生變化，出現漏根或增根的問題。要防止漏解，應該檢查每一步變形的等價性，記錄可能遺漏的情形；要防止出現原先不應該有的增解，應該將最後得到的解帶入原來的分式中，捨棄無效的解。

不等關係的基本性質

有關「簡單的不等式性質」，讀者應該掌握的基礎知識：

不等式的簡單性質及其傳遞性
不等式的疊加規則
在不等式兩側乘除係數時的注意事項

維基百科中的相關條目：

不等式

表達不等性（inequality）的式子叫做不等式（inequation），例如 $a+3\neq 5$ 。大於與小於叫做互為反序關係（converse relation）。

我們更加感興趣的是具有確定大小次序關係的不等式，即用下列符號表示的不等關係：

嚴格大於（strictly greater than）：>
嚴格小於（strictly less than）：<
大於或等於（greater than or equal to）：≤或⩽
小於或等於（less than or equal to）：≥或⩾

提示： $a>0$ 且 $b>0$ 有時會簡寫為 $a,b>0$ 。一般不把 $a<b,b<c$ 當作不等式鏈理解，即它只被看成 $a<b$ 且 $b<c$ 。

這種不等號表示的關係有時可以組成單方向的不等式鏈條，叫不等式鏈（chain of inequations）。例如： $a<b<c\leq d$ 。

不等式有一大堆與等式相似的基本性質，可以用於不等關係的推理或證明，而且也需要注意推導是否是等價的變形。^[1]

等價變形：

$a>b\Leftrightarrow b<a$ （反對稱性，antisymmetric）
$a-b>0\Leftrightarrow a>b$
$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$
$a+x>b\Leftrightarrow a>b-x$

單方向推導：

$a>b$ 且 $b>c\Rightarrow a>b>c$ （傳遞性，transitive property）
$a>b$ 且 $c>d\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}a+c>b+d\\a-d>b-c\end{array}}\right.$
$a>b$ 且 $c>0\Rightarrow ac>bc$
$a>b$ 且 $c<0\Rightarrow ac<bc$
$\left\{{\begin{array}{l}a>b>0\\c>d>0\end{array}}\right.\Rightarrow ac>bd$
$a>b>0\Rightarrow a^{n}>b^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$
$a>b>0\Rightarrow {\sqrt[{n}]{a}}>{\sqrt[{n}]{b}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$

以上只列舉出了大於和小於號的運算性質。大於等於或小於等於的性質與之完全相似，不再贅述。

大於等於或小於等於關係與等價關係一樣，還滿足自反性（reflexive property）：
$a\leq a,a\geq a$

注意：一般來說，涉及乘除法時需要特別留意乘除的倍數是正數還是負數。當不等式的兩端同時乘以或除以同一個負數的時候，不等式號要改變符號方向。

還有其它較少見的表達不等關係的符號，其中在中學數學中偶爾能見到的有遠大於（much less than，記作「>>」）和遠小於（much greater than，記作「<<」）符號。

相關例題1：比較 ${\frac {1}{\sqrt {4}}}$ 與 ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ 的大小。

相關例題2：解不等式 ${\sqrt {x^{2}+1}}\geq {\sqrt {2x}}$ 。

相關例題3：解不等式 ${\sqrt {x}}\geq {\sqrt[{3}]{x}}$ 。

相關例題4：求證將2個電阻並聯後，總的等效電阻值會小於原來的任何一個單電阻的阻值。

相關例題5：設 $c\geq 1,a,b>0$ ，求證 ${\sqrt {a+c{\sqrt {b}}}}\leq {\sqrt {c}}{\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}$ 。

簡單分式不等式的求解

包含分式的不等式叫分式不等式。例如 ${\frac {x+1}{x-2}}+3>{\frac {2}{x+2}}$ 。求解分式不等式中的變量取值範圍時，除了要像解方程時一樣防止進行代數變形時可能產生的漏解或增解問題，還要注意不等式是否會變號的問題。

相關例題1：解不等式： ${\frac {x+1}{x-1}}>2$ 。

相關例題2：解不等式： ${\frac {3x+1}{x}}>2x-1$ 。

代數應用問題

有關「代數基礎應用問題模型」，讀者應該掌握的基礎知識：

利率以及複利的計算
簡單的工程問題、行程問題、年齡問題的求解
雞兔同籠等雙未知量問題的列式求解

常用結論與常見模型

分母的有理化

維基百科中的相關條目：

分母有理化

分母的有理化常見操作：

${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\frac {\sqrt {a}}{a}}$
${\frac {1}{{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}}={\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{a-b}}$
${\frac {1}{a+{\sqrt {b}}}}={\frac {a-{\sqrt {b}}}{(a+{\sqrt {b}})(a-{\sqrt {b}})}}={\frac {a-{\sqrt {b}}}{a^{2}-b}}$
${\frac {1}{a-{\sqrt {b}}}}={\frac {a+{\sqrt {b}}}{(a-{\sqrt {b}})(a+{\sqrt {b}})}}={\frac {a+{\sqrt {b}}}{a^{2}-b}}$

比例的性質補充

關於比例（分數或分式），有下列性質值得注意：

合分比性質：已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}$ 。
等比性質：已知 $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ ，且有 $b\neq 0,d\neq 0$ ，如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ，則有 ${\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ 。

黃金分割率滿足下列特殊等式：

$\phi ={\frac {1}{\phi }}+1$ 或 $\phi ^{2}-\phi -1=0$

十字相乘法分解因式

對比係數與待定係數法

對比係數與待定係數法在數學中有眾多應用：

分式拆分
因式分解（配方法、十字相乘法、結果唯一性的證明）
有理方程的試根法（rational root test）或克羅內克方法（Kronecker method）
裂項法
多項式恆等問題
直線與曲線方程的未知參數求解

相關例題1：已知 ${\frac {4x+1}{(x-2)(x-5)}}={\frac {A}{x-5}}+{\frac {B}{x-2}}$ ，求A、B的值。

當分式可以拆成的簡單分式（分子皆為常數）較多時，其實上述直接比較係數的做法也可行，但是會比較繁瑣。後面會學到，基於極限理論的黑維塞分數拆分法能夠更快解決上述分式拆分問題。

相關例題2：已知 $a=2005,b=2006$ ，求 $(a+b)\cdot {\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{4}-b^{4}}}$ 的值。

相關例題3：已知 $\forall x\in \mathbb {R} ,ax^{2}+(b+1)x+c=(x+4)(x-3)$ ，求a、b、c的值。

相關例題4：分解因式： $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$ 。

參考解答：
易知原式等價於 $(2x+y)(x-3y)+(x+11y-6)$ 。
可設原式可分解成 $(2x+y+m)(x+3y+n)$ 的形式。
$(2x+y+m)(x+3y+n)=2x^{2}-5xy-3y^{2}+(m+2n)x+(n-3m)y+mn$
要使得上式與原式等價，只需要保證展開後的各項係數同時對應相等。即：
$\left\{{\begin{array}{l}m+2n=1\\n-3m=11\\mn=-6\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}m=-3\\n=2\end{array}}\right.$
即 $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6=(2x+y+m)(x+3y+n)=(2x+y-3)(x+3y+2)$ 。

答案： $(2x+y-3)(x+3y+2)$ 。

相關例題5：分解因式： $x^{3}-4x^{2}+2x+1$ 。

平方轉化與立方和差公式

維基百科中的相關條目：

立方和

常見的平方關係轉化：

$(a+{\frac {1}{a}})^{2}=(a^{2}+{\frac {1}{a^{2}}})+2$
$(a-{\frac {1}{a}})^{2}=(a^{2}+{\frac {1}{a^{2}}})-2$
$(a+{\frac {1}{a}})^{2}=(a-{\frac {1}{a}})^{2}+4$

立方和差公式：

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$

整體代換思想

整體代換是一種結合條件和問題形式特點，避免硬算出所有中間結果的技巧。

相關例題1：已知 $a+b=4,ab=3$ ，求 ${\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}$ 的值。

對於已知信息為比例式，待求值的式子為齊次代數式的情形，往往要優先想到利用整體代換的思想求解。

相關例題2：已知 ${\frac {a}{b}}=2$ ，求 ${\frac {a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$ 的值。

相關例題3：已知 ${\frac {b}{a}}={\frac {9}{10}}$ ，求 $(1-{\frac {b}{a}})^{2005}\cdot ({\frac {a}{b-a}})^{2008}$ 的值。

有些題目只適合使用整體代換的方法巧解。用基礎方法硬算反而會將這類問題複雜化，甚至變得需要分類討論。

相關例題4：已知 $x+{\frac {1}{x}}=3$ ，求 ${\frac {x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}}$ 的值。

相關例題5：已知 $x^{2}-5x+1=0$ ，求 $x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}$ 的值。

相關例題6：已知 ${\frac {1}{2a^{2}+3b+7}}={\frac {1}{8}}$ ，求 ${\frac {1}{4a^{2}+6b-9}}$ 的值。

相關例題7：已知 $2^{k}-{\frac {3}{2^{k}}}-a=0\quad (k\in \mathbb {N} ,a\in \mathbb {R} )$ ，用含a的代數式表示 $8^{k}$ 的值。

糖水不等式

糖水不等式是指：假設 $0<a<b,c>0$ ，則有 ${\frac {a}{b}}>{\frac {a+c}{b+c}}$ 。

它的直觀意義是：往糖水裡加糖，會變得更甜。（假設糖在糖水中的質量比例能代表糖水甜度，且加糖後含糖比例不超出糖水的飽和度範圍。）

提示：糖水不等式沒有正式的英文稱呼。

這個不等式雖然形式看似簡單，卻也是構成後面不等式放縮技巧的基石。

絕對值不等式

維基百科中的相關條目：

絕對值不等式

關於絕對值的簡單比較，有下列絕對值不等式成立：

\forall a,b\in \mathbb {R} ,\mid \shortmid a\shortmid -\shortmid b\shortmid \mid \leqslant \mid a\pm b\mid \leqslant \mid a\mid +\mid b\mid

上式中的2個等號不會同時成立，但是各自取等的條件都只可能是a = b或a = -b。

提示：絕對值不等式沒有正式的英文稱呼。英文中的「絕對值不等式」（absolute value inequality）常常是泛指一切包含絕對值符號的代數不等式。

後面會學到，絕對值不等式可以看作是三角不等式的特例，後者更易理解。

補充習題

已知 ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{a+b}}$ ，求 ${\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}$ 的值。
已知 $x^{2}-3x+1=0$ ，分別求 $x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}$ 和 $x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}$ 的值。
已知 $a-b=ab$ ，求 ${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}$ 的值。
已知 $a^{2}-4ab+4b^{2}=0$ ，求 ${\frac {a-b}{a+b}}$ 的值。
已知1 + a與1 - b互為倒數，且 $ab\neq 0$ ，求 ${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}$ 的值。
已知 ${\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}=3$ ，求 ${\frac {5a+3ab-5b}{3a-ab-3b}}$ 的值。