多項式

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多項式的定義[编辑]

多項式,即式子,而且若為正整數,則稱此式為多項式

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名詞解釋[编辑]

項:多項式中每一個皆稱之為多項式的項

次數:多項式中每一項的n為此項的次數

同次項:若有多個多項式,其中每一項的項稱之為同次項

首項:指多項式的項中次數最大者,若多項式首項為,則稱此多項式為次多項式

項數:顧名思義,即為多項式項的數目

係數:指任意多項式中的為多項式

零次多項式(單項式,有時不被視為多項式):指多項式中,,而沒有其他的項,其中為常數

零多項式:零次多項式中的者稱

多項式及非多項式[编辑]

多項式裡面的任意必須為正整數,否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式:

以下的式子不為多項式:

習題[编辑]

多項式的計算[编辑]

多項式有類似於一般數字的運算,凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法

 當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫

加法[编辑]

若有兩個多項式,它們的同次項可相加,例子如下: 例:

減法[编辑]

例:

乘法[编辑]

多項式的乘法,就是的每一項,都乘以的每一項,有次方的就累積。
例:
則:

除法[编辑]

多項式除法,如除以,意即求出商式和餘式

使得,其中

多項式長除法[编辑]

多項式與多項式之間的長除法,步驟類同於數與數之間的長除法

例子:用多項式長除法求解 除以
如下寫上被除式與除式

首先要消掉這一項,乘上是二次多項式,把記到商式部份

寫到被除式的下方

與被除式相減

把相減得到的結果看成另外一個被除式,重復以上步驟

在這個例子中商式為,餘式為0

綜合除法[编辑]

一般的綜合除法能計算除式形如的除法。

得出形如的恆等式。

例子:用綜合除法求解除以
在頂部寫上被除式的各項系數,左邊寫上k

把被除式最高次項的系數寫下來

乘上左邊的常數再放上第二行

與上面的系數相加,寫到下面

重複乘法加法運算,直到除法結束

結果得出商式為,餘式為

餘式定理[编辑]

多項式除以的餘式為

证明餘式定理
由多項式除法得到:


因為除式為一次多項式,所以餘式一定是常數,代入,得到

Example
例子:

除以 的餘式為
除以的餘式為
除以的餘式為

習題[编辑]

  1. 除以的餘式
  2. 用長除法求 除以的餘式

因式分解[编辑]

因式分解和整式的乘法一样,是一种整式的恒等变形,但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式从左向右是整式乘法,从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如:
首先,先要找和為47、積為396的兩個數,396為36、11之積,
所以

習題[编辑]

最大公因式和最小公倍式[编辑]

輾轉相除法[编辑]

方程式求解[编辑]

若設一個多項式,則使此式成立的所有我們稱之為此多項式的解,而求出此些的過程稱之為求解,以下為各種求解的方法和一些定理的介紹:

代數基本定理[编辑]

每個複係數的多項式至少有一個複數解

證明[编辑]

一次因式檢驗法[编辑]

根式解[编辑]

一元二次方程式[编辑]

任意的一元二次方程式,它的解都可用以下公式來表示:

例子:找出的所有根
即求的所有解。

代入到求根公式,得到:

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

例子:因式分解
從上例中我們得到多項式的根為 and ,於是多項式可分解成:


可見 時等式成立,於是多項式可因式分解為:

可是當時方程根不是實數,不可以因式分解。

配方法[编辑]

由乘法公式,可以對任意一元二次方程式進行配方,而以上的公式解也是由配方法推導出來的,推導過程如下:

根與係數的關係[编辑]

設一元二次方程式的解為w和z,則有以下關係式:

這兩個公式由設w和z為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出

一元三次方程式[编辑]

一元四次方程式[编辑]

根與係數的關係[编辑]

勘根定理[编辑]

習題[编辑]