多項式

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多項式的定義

多項式，即式子 $f (x) = a_{n} x^{n} + ...... + a_{1} x + a_{0}$ ，而且若 $n$ 為正整數，則稱此式為多項式

名詞解釋

項：多項式中每一個 $x^{n}$ 皆稱之為多項式的項

次數：多項式 $x^{n}$ 中每一項的n為此項的次數

同次項：若有多個多項式，其中每一項的 $x^{k}$ 項稱之為同次項

首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為 $n$ ，則稱此多項式為 $n$ 次多項式

項數：顧名思義，即為多項式項的數目

係數：指任意多項式 $a_{n} x^{n}$ 中的 $a_{n}$ 且 $a_{n}$ 為多項式

零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式 $f (x)$ 中， $f (x) = c$ ，而沒有其他 $x^{n}$ 的項，其中 $c$ 為常數

零多項式：零次多項式中的 $c = 0$ 者稱

多項式及非多項式

多項式裡面的任意 $x^{n}$ 的 $n$ 必須為正整數，否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式：

$x^{10} + 60 x^{8} - 33 x^{5} + 42 x^{2} - 3$ 、 $(\sqrt{2} - \sqrt[3]{5}) x^{2} - \sqrt[4]{6}$ 、 $π^{e} x^{1 0^{10}} - 6 x + 1$ 、 $(3 + i) x^{5} - 2 i x^{2} + 1$

以下的式子不為多項式：

$2 x^{3} + 10 x^{- 1}$ 、 $5 x^{\sqrt{2}} + x^{3 π} + 2 x - 1$ 、 $x^{3} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 4 \sqrt{x} - 3 \sqrt[3]{x^{5}}$ 、 $\sqrt{1 + x^{2}}$

習題

多項式的計算

多項式有類似於一般數字的運算，凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法

 當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫

加法

若有兩個多項式 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，它們的同次項可相加，例子如下：例： $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5$ 、 $g (x) = 5 x^{4} + 10 x^{3} + x^{2} + 3 x + 2$ 則

$f (x) + g (x) = (2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5) + (5 x^{4} + 10 x^{3} + x^{2} + 3 x + 2) = 7 x^{4} + 13 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x + 7$

減法

例： $f (x) = 36 x^{5} + 7 x^{4} + 66 x^{3} + 36 x^{2} + 66 x + 6$ 、 $g (x) = 5 x^{5} - 73 x^{4} - 11 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x + 3$ 則

$f (x) - g (x) = (36 - 5) x^{5} + (7 + 73) x^{4} + (66 + 11) x^{3} + (36 + 11) x^{2} + (66 - 5) x + (6 - 3) = 31 x^{5} + 80 x^{4} + 77 x^{3} + 47 x^{2} + 61 x + 3$

乘法

多項式的乘法， $f (x) g (x)$ 就是 $f (x)$ 的每一項，都乘以 $g (x)$ 的每一項，有次方的就累積。
例： $f (x) = x^{2} + x + 36, g (x) = x^{2} + x + 11$
則： $f (x) g (x) = 36 x^{2} + 36 x + 36 * 11 + 11 x^{2} + 11 x + x^{3} + x^{2} + x^{4} + x^{3} = x^{4} + (1 + 1) x^{3} + (36 + 11 + 1) x^{2} + (36 + 11) x + (36 * 11) = x^{4} + 2 x^{3} + 48 x^{2} + 47 x + 396$

除法

多項式除法，如 $f (x)$ 除以 $g (x)$ ，意即求出商式 $q (x)$ 和餘式 $r (x)$ ，

使得 $f (x) = q (x) g (x) + r (x)$ ，其中 $\deg (r) < \deg (g)$

多項式長除法

多項式與多項式之間的長除法，步驟類同於數與數之間的長除法

例子：用多項式長除法求解

x^{2} + 36 x + 155

除以

x + 5

如下寫上被除式與除式

\begin{matrix} x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \end{matrix}

首先要消掉 $x^{2}$ 這一項， $x$ 乘上 $x + 5$ 是二次多項式，把 $x$ 記到商式部份

\begin{matrix} x \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \end{matrix}

把 $x (x + 5) = x^{2} + 5 x$ 寫到被除式的下方

\begin{matrix} x \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \\ - \underline{(x^{2} + 5 x)} \end{matrix}

與被除式相減

\begin{matrix} x \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \\ - \underline{(x^{2} + 5 x)} \\ (36 - 5) x + 155 \end{matrix}

把相減得到的結果看成另外一個被除式，重復以上步驟

\begin{matrix} x + 31 \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \\ - \underline{(x^{2} + 5 x)} \\ 31 x + 155 \\ - \underline{(31 x + 155)} \\ 0 \end{matrix}

在這個例子中商式為 $x + 31$ ，餘式為0

綜合除法

一般的綜合除法能計算除式形如 $x - k$ 的除法。

$\begin{matrix} \begin{matrix} k \end{matrix} & \begin{matrix} f (x) \\ q (x) & r \end{matrix} \end{matrix}$

得出形如 $f (x) = (x - k) q (x) + r$ 的恆等式。

例子：用綜合除法求解

x^{3} - 12 x^{2} - 42

除以

x - 3

在頂部寫上被除式的各項系數，左邊寫上k

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \end{matrix} \end{matrix}

把被除式最高次項的系數寫下來

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}

乘上左邊的常數再放上第二行

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}

與上面的系數相加，寫到下面

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ 1 & - 9 \end{matrix} \end{matrix}

重複乘法加法運算，直到除法結束

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 & - 27 & - 81 \\ 1 & - 9 & - 27 & - 123 \end{matrix} \end{matrix}

結果得出商式為 $x^{2} - 9 x - 27$ ，餘式為 $- 123$

餘式定理

多項式 $f (x)$ 除以 $x - a$ 的餘式為 $f (a)$ ， $(x - a) | f (x) \Leftrightarrow f (a) = 0$

证明餘式定理

由多項式除法得到：

$f (x) = (x - a) q (x) + r$
因為除式為一次多項式，所以餘式一定是常數，代入 $x = a$ ，得到 $f (a) = r$

Example

例子：

$f (x) = x^{2} + 36 x + 155$ 除以 $x + 5$ 的餘式為 $f (- 5) = (- 5)^{2} + 36 (- 5) + 155 = 25 - 180 + 155 = 0$
$f (x) = x^{3} - 12 x^{2} - 42$ 除以 $x - 3$ 的餘式為 $f (3) = (3)^{3} - 12 (3)^{2} - 42 = 27 - 108 - 42 = - 123$
$f (x) = x^{3} - 7 x - 55$ 除以 $x - 4$ 的餘式為 $f (4) = (4)^{3} - 7 (4) - 55 = 64 - 28 - 55 = 36 - 55 = - 19$

習題

求 $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5$ 除以 $x + 2$ 的餘式
用長除法求 $f (x) = x^{3} + 36 x^{2} + 36 x + 155$ 除以 $x^{2} + 5 x + 5$ 的餘式

因式分解

因式分解和整式的乘法一样，是一种整式的恒等变形，但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式 $(a + b) (m + n) = a m + b m + a n + b n$ 从左向右是整式乘法，从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如： $x^{2} + 47 x + 396$
首先，先要找和為47、積為396的兩個數，396為36、11之積， $36 + 11 = 47$
所以 $x^{2} + 47 x + 396 = x^{2} + (36 + 11) x + (36 * 11) = (x + 36) (x + 11)$

$x^{2} + 31 x - 180$

常數項小於0，首先，先要找和為31、積為—180的兩個數，一正一負，—180為—5、36之積， 36＋(－5)＝36－５＝31
所以 $x^{2} + 31 x - 180 = x^{2} + (36 - 5) x + ((- 5) * 36) = (x + 36) (x - 5)$

習題

最大公因式和最小公倍式

輾轉相除法

方程式求解

若設一個多項式 $f (x) = 0$ ，則使此式成立的所有 $x$ 我們稱之為此多項式的解，而求出此 $x$ 的過程稱之為求解，以下為各種求解的方法和一些定理的介紹：

代數基本定理

每個複係數的多項式至少有一個複數解

證明

一次因式檢驗法

根式解

一元二次方程式

任意的一元二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，它的解都可用以下公式來表示： $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

例子：找出

4 x^{2} + 7 x - 2

的所有根

即求

4 x^{2} + 7 x - 2 = 0

的所有解。

代入 $a = 4, b = 7, c = - 2$ 到求根公式，得到：

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 (4) (- 2)}}{2 (4)} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8} = \frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{- 7 \pm 9}{8}$

$x = \frac{2}{8}, x = \frac{- 16}{8}$

$x = \frac{1}{4}, x = - 2$

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

例子：因式分解

4 x^{2} + 7 x - 2

從上例中我們得到多項式的根為

x = \frac{1}{4}

and

x = - 2

，於是多項式可分解成：

$4 x^{2} + 7 x - 2 = C (x + 2) (x - \frac{1}{4}) = C (x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2})$
可見 $C = 4$ 時等式成立，於是多項式可因式分解為：
$4 x^{2} + 7 x - 2 = 4 (x + 2) (x - \frac{1}{4}) = (x + 2) (4 x - 1)$

可是當 $4 a c > b^{2}$ 時方程根不是實數，不可以因式分解。

配方法

由乘法公式 $(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ ，可以對任意一元二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：

$a x^{2} + b x + c = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$
$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + \frac{c}{a} = 0$
$x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = {(\frac{b}{2 a})}^{2}$
$x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} \Rightarrow x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$
$x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} \Rightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$
$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

根與係數的關係

設一元二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解為w和z，則有以下關係式：

$w + z = - \frac{b}{a}$
$w z = \frac{c}{a}$

這兩個公式由設w和z為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出

一元三次方程式

一元四次方程式

根與係數的關係

勘根定理

習題