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三胞胎素数

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定义[编辑]

正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:

A类三胞胎素数,构成为,相差2的两个孪生素数在前面,例如:(5,7,11);(11,13,17); (17,19,23);等等。

B类三胞胎素数,构成为,相差2的两个孪生素数在后面,例如:(7,11,13);(13,17,19);(37,41,43);等等。

当素数p 大于3时,可以证明形同的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上,这三个数对3的模两两不同,所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大,因此一定有一个是3的倍数,从而这个数不是素数。


数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。 三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

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数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。

定义[编辑]

正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:

公式[编辑]

A类三胞胎素数[编辑]

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数,可以利用一下的定理:“若自然数都不能被不大于的任何素数整除,则都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实:如果一个自然数不能被不大于的任何素数整除,则是素数。

考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数。解方程:

其中(保证都不能被任一个素数整除),

如果解出,则是一组三胞胎素数。

我们可以把(1)式内容等价转换成为同余方程组表示:

由于(2)式的模、……、 是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的,(2)式在范围内有唯一解。

A类三胞胎素数的例子[编辑]

例如k=2时,,解得。这三个素数都满足的条件:,因此,这三个素数所对应的素数组:

7-2,7与7+4;
13-2,13与13+4;
19-2,19与19+4

都是三胞胎素数组。

这样,就求得了区间中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时,设有方程组,解得。其中出现一个新的素数43,而。因此,43-2,43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组,解得,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算已经求得了区间的全部A类三胞胎素数。

k=4时
43 193 103 13
169 109 19 139

已经得到区间的全部A类三胞胎素数

B类三胞胎素数[编辑]

对于B类的三胞胎素数,也可以用类似的结论:“若自然数都不能被不大于任何素数整除,则都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地,考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数。解方程:

其中

而如果,则是一组三胞胎素数。

我们可以把(3)式内容等价转换成为同余方程组表示:

同样地,由于(4)式中的模、……、 是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的,(4)式在范围内有唯一解。

B类三胞胎素数的例子[编辑]

例如k=2时,,解得B=11,17。这两个素数都满足的条件:,因此我们得到两组B类三胞胎素数:

11-4,11与11+2;
17-4,17与17+2;

这样,就求得了区间中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时,解方程组,解得B=11,41。这两个素数都满足的条件:,因此我们得到一组新的B类三胞胎素数:

41-4,41与41+2。

而解方程组,得B=17,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算 已经求得了区间的全部B类三胞胎素数。

k=4时
71 191 101 41
197 107 17 167

已经求得了区间的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数,并且一个不漏地求得。

三胞胎素数猜想[编辑]

有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?这个问题迄今尚未解决。同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。