三胞胎素数

定义

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

A类三胞胎素数，构成为$p,p+2,p+6$，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。

B类三胞胎素数，构成为$p,p+4,p+6$，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。

当素数p 大于3时，可以证明形同$p,p+2,p+4$的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。

在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。 三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

埃氏筛法并没有坐吃山空，反而源源不断释放出新的能量，以后我们还要讨论这些内容居然可以与图论--曲面染色建立一一对应的关系。就是用数论研究图论，或者用图论研究数论。与一笔画建立对应关系。

在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。

定义

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

公式

A类三胞胎素数

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数$A-2,A,A+4$都不能被不大于${\sqrt {A+4}}$的任何素数整除，则$A-2,A$与$A+4$都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数$A$不能被不大于${\sqrt {A}}$的任何素数整除，则$A$是素数。

考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数$p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$。解方程：

$A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)$

其中$g_{i}\neq 0$，$g_{i}\neq 2$，$g_{i}\neq p_{i}-4$（保证$A-2,A,A+4$都不能被任一个素数整除），$1\leq g_{i}\leq p_{i}-1$。

如果解出$A<p_{k+1}^{2}-4$，则$A-2,A$与$A+4$是一组三胞胎素数。

我们可以把（1）式内容等价转换成为同余方程组表示：

$A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)$

由于（2）式的模$p_{1}$、$p_{2}$、……、$p_{k}$ 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的$g_{1},g_{2},\cdots ,g_{k}$，（2）式在$p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$范围内有唯一解。

A类三胞胎素数的例子

例如k=2时，$A=2m_{1}+1=3m_{2}+1$，解得$A=7,13,19$。这三个素数都满足$A<p_{k+1}^{2}-4$的条件：$7,13,19<5^{2}-4$，因此，这三个素数所对应的素数组：

7-2，7与7+4；

13-2，13与13+4；

19-2，19与19+4

都是三胞胎素数组。

这样，就求得了区间$(5,5^{2})$中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时，设有方程组$A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3$，解得$A=13$ 与$A=43$。其中出现一个新的素数43，而$43<7^{2}-4$。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组$A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4$，解得$A=19$，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间$(7,7^{2})$的全部A类三胞胎素数。

k=4时	$7m_{4}+1$	$7m_{4}+4$	解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikibooks.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 7m_{4}+5}	$7m_{4}+6$
$A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3$	43	193	103	13
$A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4$	169	109	19	139

已经得到区间$(11,11^{2})$的全部A类三胞胎素数

B类三胞胎素数

对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数$B-4,B,B+2$都不能被不大于${\sqrt {B+2}}$任何素数整除，则$B-4,B$与$B+2$都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数$p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$。解方程：

$B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)$

其中$j_{i}\neq 0$、$j_{i}\neq 4$、$j_{i}\neq p_{i}-2$。

而如果$B<p_{k+1}^{2}-2$，则$B-4,B$与$B+2$是一组三胞胎素数。

我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示：

$B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)$

同样地，由于（4）式中的模$p_{1}$、$p_{2}$、……、$p_{k}$ 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的$j_{1},j_{2},\cdots ,j_{k}$，（4）式在$p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$范围内有唯一解。

B类三胞胎素数的例子

例如k=2时，$B=2m_{1}+1=3m_{2}+2$，解得B=11，17。这两个素数都满足$B<p_{k+1}^{2}-2$的条件：$11,17<5^{2}-2$，因此我们得到两组B类三胞胎素数：

11-4，11与11+2；

17-4，17与17+2；

这样，就求得了区间$(5,5^{2})$中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时，解方程组$B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2$，解得B=11，41。这两个素数都满足$B<p_{k+1}^{2}-2$的条件：$11,41<7^{2}-2$，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：

41-4，41与41+2。

而解方程组$B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2$，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算 已经求得了区间$(7,7^{2})$的全部B类三胞胎素数。

k=4时	$7m_{4}+1$	$7m_{4}+2$	$7m_{4}+3$	$7m_{4}+6$
$B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1$	71	191	101	41
$B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2$	197	107	17	167

已经求得了区间$(11,11^{2})$的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。

三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。