正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:
A类三胞胎素数,构成为
,相差2的两个孪生素数在前面,例如:(5,7,11);(11,13,17); (17,19,23);等等。
B类三胞胎素数,构成为
,相差2的两个孪生素数在后面,例如:(7,11,13);(13,17,19);(37,41,43);等等。
当素数p 大于3时,可以证明形同
的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上,这三个数对3的模两两不同,所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大,因此一定有一个是3的倍数,从而这个数不是素数。
在数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。
三胞胎素数猜想
有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。
埃氏筛法并没有坐吃山空,反而源源不断释放出新的能量,以后我们还要讨论这些内容居然可以与图论--曲面染色建立一一对应的关系。就是用数论研究图论,或者用图论研究数论。与一笔画建立对应关系。
在数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。
正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:
为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数,可以利用一下的定理:“若自然数
都不能被不大于
的任何素数整除,则
与
都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实:如果一个自然数
不能被不大于
的任何素数整除,则
是素数。
考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数
。解方程:
![{\displaystyle A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54741a7190b440cdff468595d81e030559b2cfeb)
其中
,
,
(保证
都不能被任一个素数整除),
。
如果解出
,则
与
是一组三胞胎素数。
我们可以把(1)式内容等价转换成为同余方程组表示:
![{\displaystyle A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697e4ab6f08e48476e81dbb6ac218a2c53911072)
由于(2)式的模
、
、……、
是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的
,(2)式在
范围内有唯一解。
例如k=2时,
,解得
。这三个素数都满足
的条件:
,因此,这三个素数所对应的素数组:
- 7-2,7与7+4;
- 13-2,13与13+4;
- 19-2,19与19+4
都是三胞胎素数组。
这样,就求得了区间
中的全部A类三胞胎素数。
又如当k=3时,设有方程组
,解得
与
。其中出现一个新的素数43,而
。因此,43-2,43与43+4也是一组三胞胎素数。
又比如求解方程组
,解得
,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。
由于余数不能是0、2或对应的素数减去4,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算已经求得了区间
的全部A类三胞胎素数。
k=4时 |
![{\displaystyle 7m_{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6b2eef9778fa352754f4d5dac6137d401f45a) |
![{\displaystyle 7m_{4}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a0c79602ed62ff2c931756f8e56fca35d7fbcf) |
![{\displaystyle 7m_{4}+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1a2bbb29cd25433b1d76c0d3c5756afde0bf35) |
|
![{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50be299ecb6573bbb359f06e6475bed5905340be) |
43 |
193 |
103 |
13
|
![{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c73f56eba9d30815428de3dcf09a654752de38) |
169 |
109 |
19 |
139
|
已经得到区间
的全部A类三胞胎素数
对于B类的三胞胎素数,也可以用类似的结论:“若自然数
都不能被不大于
任何素数整除,则
与
都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。
于是同样地,考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数
。解方程:
![{\displaystyle B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f62b279993a237a3eeca60e49c4591e0158e0a)
其中
、
、
。
而如果
,则
与
是一组三胞胎素数。
我们可以把(3)式内容等价转换成为同余方程组表示:
![{\displaystyle B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0782ee405385d48776754764ee550bbee93ce0)
同样地,由于(4)式中的模
、
、……、
是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的
,(4)式在
范围内有唯一解。
例如k=2时,
,解得B=11,17。这两个素数都满足
的条件:
,因此我们得到两组B类三胞胎素数:
- 11-4,11与11+2;
- 17-4,17与17+2;
这样,就求得了区间
中的全部B类三胞胎素数。
又比如当k=3时,解方程组
,解得B=11,41。这两个素数都满足
的条件:
,因此我们得到一组新的B类三胞胎素数:
- 41-4,41与41+2。
而解方程组
,得B=17,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。
由于余数不能是0、4或对应的素数减去2,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算
已经求得了区间
的全部B类三胞胎素数。
k=4时 |
![{\displaystyle 7m_{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6b2eef9778fa352754f4d5dac6137d401f45a) |
![{\displaystyle 7m_{4}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75776d9c663e894623f604cbdb2699c134f7062) |
![{\displaystyle 7m_{4}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733078d86b54cd8242b5c52507d56a3e23b31cc3) |
|
![{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a497286e2647edafca59ab729bc92ecc05c589) |
71 |
191 |
101 |
41
|
![{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737c4dcf777eca5b1f668e87dcf941b77154336c) |
197 |
107 |
17 |
167
|
已经求得了区间
的全部B类三胞胎素数。
仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数,并且一个不漏地求得。
有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?这个问题迄今尚未解决。同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。