跳至內容

三胞胎質數

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基教科書,自由的教學讀本

定義[編輯]

正如孿生素數是指差等於2的兩個素數,三胞胎素數是指三個連續素數,使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上,除了最小的兩組三胞胎素數:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外,三胞胎素數分為兩類:

A類三胞胎素數,構成為,相差2的兩個孿生素數在前面,例如:(5,7,11);(11,13,17); (17,19,23);等等。

B類三胞胎素數,構成為,相差2的兩個孿生素數在後面,例如:(7,11,13);(13,17,19);(37,41,43);等等。

當素數p 大於3時,可以證明形同的數組不可能是三胞胎素數[1]。事實上,這三個數對3的模兩兩不同,所以必然有一個能被3整除。然而這三個數都比3要大,因此一定有一個是3的倍數,從而這個數不是素數。


數論中,三胞胎素數(也稱為三生素數)是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數,它的名字也正是由此而來。 三胞胎素數猜想

有關孿生素數的一個著名猜想是:是否有無窮多個孿生素數?同樣的,有關於三胞胎素數的類似猜想:是否有無窮個三胞胎素數?由於三胞胎素數中一定有兩個是孿生素數,解決了三胞胎素數猜想也就意味着解決了孿生素數猜想。

埃氏篩法並沒有坐吃山空,反而源源不斷釋放出新的能量,以後我們還要討論這些內容居然可以與圖論--曲面染色建立一一對應的關係。就是用數論研究圖論,或者用圖論研究數論。與一筆畫建立對應關係。

數論中,三胞胎素數(也稱為三生素數)是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數,它的名字也正是由此而來。

定義[編輯]

正如孿生素數是指差等於2的兩個素數,三胞胎素數是指三個連續素數,使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上,除了最小的兩組三胞胎素數:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外,三胞胎素數分為兩類:

公式[編輯]

A類三胞胎素數[編輯]

為了具體地求一定範圍內的A類三胞胎素數,可以利用一下的定理:「若自然數都不能被不大於的任何素數整除,則都是素數」。 這個定理的證明用到一個簡單的事實:如果一個自然數不能被不大於的任何素數整除,則是素數。

考慮按照從小到大的順序:2,3,5,……排列的前k 個素數。解方程:

其中(保證都不能被任一個素數整除),

如果解出,則是一組三胞胎素數。

我們可以把(1)式內容等價轉換成為同餘方程組表示:

由於(2)式的模、……、 是素數,兩兩互素,根據孫子定理(中國剩餘定理)知,對於給定的,(2)式在範圍內有唯一解。

A類三胞胎素數的例子[編輯]

例如k=2時,,解得。這三個素數都滿足的條件:,因此,這三個素數所對應的素數組:

7-2,7與7+4;
13-2,13與13+4;
19-2,19與19+4

都是三胞胎素數組。

這樣,就求得了區間中的全部A類三胞胎素數。

又如當k=3時,設有方程組,解得。其中出現一個新的素數43,而。因此,43-2,43與43+4也是一組三胞胎素數。

又比如求解方程組,解得,也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。

由於餘數不能是0、2或對應的素數減去4,可能的餘數組合只有以上的兩種,所以上面的計算已經求得了區間的全部A類三胞胎素數。

k=4時
43 193 103 13
169 109 19 139

已經得到區間的全部A類三胞胎素數

B類三胞胎素數[編輯]

對於B類的三胞胎素數,也可以用類似的結論:「若自然數都不能被不大於任何素數整除,則都是素數」。這個結論的證明與上面的相同。

於是同樣地,考慮按照從小到大的順序:2,3,5,……排列的前k 個素數。解方程:

其中

而如果,則是一組三胞胎素數。

我們可以把(3)式內容等價轉換成為同餘方程組表示:

同樣地,由於(4)式中的模、……、 是素數,兩兩互素,根據孫子定理(中國剩餘定理)知,對於給定的,(4)式在範圍內有唯一解。

B類三胞胎素數的例子[編輯]

例如k=2時,,解得B=11,17。這兩個素數都滿足的條件:,因此我們得到兩組B類三胞胎素數:

11-4,11與11+2;
17-4,17與17+2;

這樣,就求得了區間中的全部B類三胞胎素數。

又比如當k=3時,解方程組,解得B=11,41。這兩個素數都滿足的條件:,因此我們得到一組新的B類三胞胎素數:

41-4,41與41+2。

而解方程組,得B=17,也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。

由於餘數不能是0、4或對應的素數減去2,可能的餘數組合只有以上的兩種,所以上面的計算 已經求得了區間的全部B類三胞胎素數。

k=4時
71 191 101 41
197 107 17 167

已經求得了區間的全部B類三胞胎素數。

仿此下去可以求得給定區域內的全部A類和B類全部三胞胎素數,並且一個不漏地求得。

三胞胎素數猜想[編輯]

有關孿生素數的一個著名猜想是:是否有無窮多個孿生素數?這個問題迄今尚未解決。同樣的,有關於三胞胎素數的類似猜想:是否有無窮個三胞胎素數?由於三胞胎素數中一定有兩個是孿生素數,解決了三胞胎素數猜想也就意味着解決了孿生素數猜想。