正如孿生素數是指差等於2的兩個素數,三胞胎素數是指三個連續素數,使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上,除了最小的兩組三胞胎素數:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外,三胞胎素數分為兩類:
A類三胞胎素數,構成為
,相差2的兩個孿生素數在前面,例如:(5,7,11);(11,13,17); (17,19,23);等等。
B類三胞胎素數,構成為
,相差2的兩個孿生素數在後面,例如:(7,11,13);(13,17,19);(37,41,43);等等。
當素數p 大於3時,可以證明形同
的數組不可能是三胞胎素數[1]。事實上,這三個數對3的模兩兩不同,所以必然有一個能被3整除。然而這三個數都比3要大,因此一定有一個是3的倍數,從而這個數不是素數。
在數論中,三胞胎素數(也稱為三生素數)是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數,它的名字也正是由此而來。
三胞胎素數猜想
有關孿生素數的一個著名猜想是:是否有無窮多個孿生素數?同樣的,有關於三胞胎素數的類似猜想:是否有無窮個三胞胎素數?由於三胞胎素數中一定有兩個是孿生素數,解決了三胞胎素數猜想也就意味着解決了孿生素數猜想。
埃氏篩法並沒有坐吃山空,反而源源不斷釋放出新的能量,以後我們還要討論這些內容居然可以與圖論--曲面染色建立一一對應的關係。就是用數論研究圖論,或者用圖論研究數論。與一筆畫建立對應關係。
在數論中,三胞胎素數(也稱為三生素數)是一類由三個連續素數組成的數組。三胞胎素數的定義類似於孿生素數,它的名字也正是由此而來。
正如孿生素數是指差等於2的兩個素數,三胞胎素數是指三個連續素數,使得其中最大的一個減去最小一個的差不超過6。事實上,除了最小的兩組三胞胎素數:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素數都是相差達到6的三元數組。除了以上兩個特例以外,三胞胎素數分為兩類:
為了具體地求一定範圍內的A類三胞胎素數,可以利用一下的定理:「若自然數
都不能被不大於
的任何素數整除,則
與
都是素數」。 這個定理的證明用到一個簡單的事實:如果一個自然數
不能被不大於
的任何素數整除,則
是素數。
考慮按照從小到大的順序:2,3,5,……排列的前k 個素數
。解方程:
![{\displaystyle A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+g_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54741a7190b440cdff468595d81e030559b2cfeb)
其中
,
,
(保證
都不能被任一個素數整除),
。
如果解出
,則
與
是一組三胞胎素數。
我們可以把(1)式內容等價轉換成為同餘方程組表示:
![{\displaystyle A\equiv g_{1}{\pmod {p_{1}}},\ A\equiv g_{2}{\pmod {p_{2}}},\ \cdots ,\ A\equiv g_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697e4ab6f08e48476e81dbb6ac218a2c53911072)
由於(2)式的模
、
、……、
是素數,兩兩互素,根據孫子定理(中國剩餘定理)知,對於給定的
,(2)式在
範圍內有唯一解。
例如k=2時,
,解得
。這三個素數都滿足
的條件:
,因此,這三個素數所對應的素數組:
- 7-2,7與7+4;
- 13-2,13與13+4;
- 19-2,19與19+4
都是三胞胎素數組。
這樣,就求得了區間
中的全部A類三胞胎素數。
又如當k=3時,設有方程組
,解得
與
。其中出現一個新的素數43,而
。因此,43-2,43與43+4也是一組三胞胎素數。
又比如求解方程組
,解得
,也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。
由於餘數不能是0、2或對應的素數減去4,可能的餘數組合只有以上的兩種,所以上面的計算已經求得了區間
的全部A類三胞胎素數。
k=4時 |
![{\displaystyle 7m_{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6b2eef9778fa352754f4d5dac6137d401f45a) |
![{\displaystyle 7m_{4}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a0c79602ed62ff2c931756f8e56fca35d7fbcf) |
![{\displaystyle 7m_{4}+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1a2bbb29cd25433b1d76c0d3c5756afde0bf35) |
|
![{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50be299ecb6573bbb359f06e6475bed5905340be) |
43 |
193 |
103 |
13
|
![{\displaystyle A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c73f56eba9d30815428de3dcf09a654752de38) |
169 |
109 |
19 |
139
|
已經得到區間
的全部A類三胞胎素數
對於B類的三胞胎素數,也可以用類似的結論:「若自然數
都不能被不大於
任何素數整除,則
與
都是素數」。這個結論的證明與上面的相同。
於是同樣地,考慮按照從小到大的順序:2,3,5,……排列的前k 個素數
。解方程:
![{\displaystyle B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+j_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f62b279993a237a3eeca60e49c4591e0158e0a)
其中
、
、
。
而如果
,則
與
是一組三胞胎素數。
我們可以把(3)式內容等價轉換成為同餘方程組表示:
![{\displaystyle B\equiv j_{1}{\pmod {p_{1}}},B\equiv j_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,B\equiv j_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \cdots \quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0782ee405385d48776754764ee550bbee93ce0)
同樣地,由於(4)式中的模
、
、……、
是素數,兩兩互素,根據孫子定理(中國剩餘定理)知,對於給定的
,(4)式在
範圍內有唯一解。
例如k=2時,
,解得B=11,17。這兩個素數都滿足
的條件:
,因此我們得到兩組B類三胞胎素數:
- 11-4,11與11+2;
- 17-4,17與17+2;
這樣,就求得了區間
中的全部B類三胞胎素數。
又比如當k=3時,解方程組
,解得B=11,41。這兩個素數都滿足
的條件:
,因此我們得到一組新的B類三胞胎素數:
- 41-4,41與41+2。
而解方程組
,得B=17,也是上面已經求出過的一組三胞胎素數。
由於餘數不能是0、4或對應的素數減去2,可能的餘數組合只有以上的兩種,所以上面的計算
已經求得了區間
的全部B類三胞胎素數。
k=4時 |
![{\displaystyle 7m_{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e6b2eef9778fa352754f4d5dac6137d401f45a) |
![{\displaystyle 7m_{4}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75776d9c663e894623f604cbdb2699c134f7062) |
![{\displaystyle 7m_{4}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733078d86b54cd8242b5c52507d56a3e23b31cc3) |
|
![{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a497286e2647edafca59ab729bc92ecc05c589) |
71 |
191 |
101 |
41
|
![{\displaystyle B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737c4dcf777eca5b1f668e87dcf941b77154336c) |
197 |
107 |
17 |
167
|
已經求得了區間
的全部B類三胞胎素數。
仿此下去可以求得給定區域內的全部A類和B類全部三胞胎素數,並且一個不漏地求得。
有關孿生素數的一個著名猜想是:是否有無窮多個孿生素數?這個問題迄今尚未解決。同樣的,有關於三胞胎素數的類似猜想:是否有無窮個三胞胎素數?由於三胞胎素數中一定有兩個是孿生素數,解決了三胞胎素數猜想也就意味着解決了孿生素數猜想。