國中數學/一元二次方程式

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

一元二次方程式是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式,基本的公式為

其中,是二次項,是一次項,是常數項。是一個重要條件,否則該式的最高次數就不會是二次[註 1]。當然,一元二次方程式的解有時會出現「無實根」[註 2]的情況。

解方程式[编辑]

因式分解[编辑]

使用因式分解來解一元二次方程式的重要關鍵是:若 ab=0 ,則 a=0 或 b=0 。

  • 沒有常數項:
    1. (提出公因式)
    2. (若 ab=0 ,則 a=0 或 b=0)
  • 沒有一次項:
    1. (移常數項)
    2. (兩邊各開根號)
    3. [註 3]
  • 完整式:
    1. (使用十字交乘法)
    2. (若 ab=0 ,則 a=0 或 b=0)
  • 完整式 (完全平方式):
    1. [註 4]

配完全平方式[编辑]

參見:一元二次多項式的配方法

配完全平方式,簡稱配方法,是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像這樣的式子,其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方,如一次項係數是4,那就是要兩邊同加上才能配方。

  1. (移常數項、兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
  2. (等號左邊配方、兩邊同開根號)
  3. (開根號之後要加上絕對值)

公式解[编辑]

把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c,並代入以求解。

從以上一元二次方程的判別式,我們可以輕鬆解得x=11, 1。

  • 而如果

從以上一元二次方程的判別式 ,我們可以發現小於0,我們可以說本題無實根。

證明[编辑]

    1. (兩邊同除a)
    2. (移常數項)
    3. (兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
    4. (等號左邊配方)
    5. (等號右邊通分)

例題[编辑]

Crystal Clear action edit

  • 基本1. x2=16
  • 基本2. x2-x=30
  • 基本3. 4x2+4x+4=3
  • 基本4. x2+36x-396=11x
  • 基本5. x2-10x+36=636
答案

Crystal Clear Password

  • 基本1.
    • x2=16
    • x=±4
    • x=4 , -4
  • 基本2.
    • x2-x=30
    • (x-6)(x+5)=0
    • x=6 , -5
  • 基本3.
    • 4x2+4x+4=3
    • 4x2+4x+1=0
    • (2x+1)2=0
    • x= -0.5 (重根)
    • x=-0.5 , -0.5
  • 基本4.
    • x2+36x-396=11x
    • x2+(36-11)x-396=0
    • x=-36 , 11
  • 基本5.
    • x2-10x+36=636
    • x2-10x+(36-636)=0
    • 系數a=1,b=-10,c=-600代入公式解
    • x=30 , -20


注釋[编辑]

  1. 任何數乘以0都為0-包括X2
  2. 即解為虛數。國中課程中亦可寫成「無解」
  3. 這裡亦可表示成x=±5
  4. 這裡亦可表示成x=5 (重根)
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目: