国中数学/一元二次方程式

一元二次方程式是一个只有一个未知数、最高次数是二次的方程式，基本的公式为 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。

其中， $a x^{2}$ 是二次项， $b x$ 是一次项， $c$ 是常数项。 $a \neq 0$ 是一个重要条件，否则该式的最高次数就不会是二次^{[注 1]}。当然，一元二次方程式的解有时会出现“无实根”^{[注 2]}的情况。

解方程式

使用因式分解来解一元二次方程式的重要关键是：若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 。

没有常数项：
1. $x^{2} + 7 x = 0$
2. $\Rightarrow x (x + 7) = 0$ (提出公因式)
3. $\Rightarrow x = 0, x + 7 = 0$ (若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0)
4. $\Rightarrow x = 0, - 7$
没有一次项：
1. $x^{2} + 11 = 36$
2. $\Rightarrow x^{2} = 36 - 11$ (移常数项)
3. $\Rightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{36 - 11}$ (两边各开根号)
4. $\Rightarrow x = 5, - 5$ ^{[注 3]}
完整式：
1. $x^{2} - 46 x + 480 = 0$
2. $\Rightarrow (x - 16) (x - 30) = 0$ (使用十字交乘法)
3. $\Rightarrow x - 16 = 0, x - 30 = 0$ (若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0)
4. $\Rightarrow x = 16, 30$
完整式 (完全平方式)：
1. $x^{2} - 10 x + 36 = 11$
2. $x^{2} - 10 x + 36 - 11 = 0$
3. $\Rightarrow (x - 5)^{2} = 0$
4. $\Rightarrow x = 5, 5$ ^{[注 4]}

配完全平方式，简称配方法，是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的过程。

简单来说就是像这样的式子，其中“一次项系数一半的平方”是指一次项系数除2再平方，如一次项系数是4，那就是要两边同加上 $(4 \div 2)^{2}$ 才能配方。

把二次项系数当作a、一次项系数当b、常数项当c，并代入 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 以求解。

从以上一元二次方程的判别式 $b^{2} - 4 a c = 36 - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{11}{2}) = 36 - 11 = 25$ ，我们可以轻松解得x=11, 1。

从以上一元二次方程的判别式 $b^{2} - 4 a c = 36 - 4 (0.5) (55.5) = 36 - 111 = - 75$ ，我们可以发现 $36 - 111 = - 75$ 小于0，我们可以说本题无实根。

答案
基本1. x²=16 x=±4 x=4 , -4 基本2. x²-x=30 (x-6)(x+5)=0 x=6 , -5 基本3. 4x²+4x+4=3 4x²+4x+1=0 (2x+1)²=0 x= -0.5 (重根) x=-0.5 , -0.5 基本4. x²+36x-396=11x x²+(36-11)x-396=0 x=-36 , 11 基本5. x²-10x+36=636 x²-10x+(36-636)=0 系数a=1,b=-10,c=-600代入公式解 x=30 , -20