一元二次方程式是一个只有一个未知数、最高次数是二次的方程式,基本的公式为 。
其中,是二次项,是一次项,是常数项。是一个重要条件,否则该式的最高次数就不会是二次[注 1]。当然,一元二次方程式的解有时会出现“无实根”[注 2]的情况。
使用因式分解来解一元二次方程式的重要关键是:若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0 。
- 没有常数项:
- (提出公因式)
- (若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0)
- 没有一次项:
- (移常数项)
- (两边各开根号)
- [注 3]
- 完整式:
- (使用十字交乘法)
- (若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0)
- 完整式 (完全平方式):
- [注 4]
参见:一元二次多项式的配方法
配完全平方式,简称配方法,是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的过程。
简单来说就是像这样的式子,其中“一次项系数一半的平方”是指一次项系数除2再平方,如一次项系数是4,那就是要两边同加上才能配方。
- (移常数项、两边同加“一次项系数一半的平方”)
- (等号左边配方、两边同开根号)
- (开根号之后要加上绝对值)
把二次项系数当作a、一次项系数当b、常数项当c,并代入以求解。
从以上一元二次方程的判别式,我们可以轻松解得x=11, 1。
- 而如果?
从以上一元二次方程的判别式
,我们可以发现小于0,我们可以说本题无实根。
- (两边同除a)
- (移常数项)
- (两边同加“一次项系数一半的平方”)
- (等号左边配方)
- (等号右边通分)
- 基本1. x2=16
- 基本2. x2-x=30
- 基本3. 4x2+4x+4=3
- 基本4. x2+36x-396=11x
- 基本5. x2-10x+36=636
答案
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- 基本1.
- 基本2.
- x2-x=30
- (x-6)(x+5)=0
- x=6 , -5
- 基本3.
- 4x2+4x+4=3
- 4x2+4x+1=0
- (2x+1)2=0
- x= -0.5 (重根)
- x=-0.5 , -0.5
- 基本4.
- x2+36x-396=11x
- x2+(36-11)x-396=0
- x=-36 , 11
- 基本5.
- x2-10x+36=636
- x2-10x+(36-636)=0
- 系数a=1,b=-10,c=-600代入公式解
- x=30 , -20
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- ↑ 任何数乘以0都为0-包括X2
- ↑ 即解为虚数。国中课程中亦可写成“无解”
- ↑ 这里亦可表示成x=±5
- ↑ 这里亦可表示成x=5 (重根)