國中數學/一元二次方程式

一元二次方程式是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式，基本的公式為 $ax^{2}+bx+c=0$。

其中，$ax^{2}$是二次項，$bx$是一次項，$c$是常數項。$a\neq 0$是一個重要條件，否則該式的最高次數就不會是二次。當然，一元二次方程式的解有時會出現「無實根」的情況。

解方程式

因式分解

使用因式分解來解一元二次方程式的重要關鍵是：若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0 。

• 沒有常數項：
  1. $x^{2}+7x=0$
  2. $\Rightarrow x(x+7)=0$ (提出公因式)
  3. $\Rightarrow x=0,x+7=0$ (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
  4. $\Rightarrow x=0,-7$
• 沒有一次項：
  1. $x^{2}+11=36$
  2. $\Rightarrow x^{2}=36{\color {Rhodamine}-11}$(移常數項)
  3. $\Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {36-11}}$ (兩邊各開根號)
  4. $\Rightarrow x=5,-5$
• 完整式：
  1. $x^{2}-46x+480=0$
  2. $\Rightarrow (x-16)(x-30)=0$ (使用十字交乘法)
  3. $\Rightarrow x-16=0,x-30=0$ (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
  4. $\Rightarrow x=16,30$
• 完整式 (完全平方式)：
  1. $x^{2}-10x+36=11$
  2. $x^{2}-10x+36{\color {Rhodamine}-11}=0$
  3. $\Rightarrow (x-5)^{2}=0$
  4. $\Rightarrow x=5,5$

配完全平方式

參見：一元二次多項式的配方法

配完全平方式，簡稱配方法，是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像這樣的式子，其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方，如一次項係數是4，那就是要兩邊同加上$(4\div 2)^{2}$才能配方。

1. $x^{2}+2x-3=0$
2. $\Rightarrow x^{2}+2x+1=3+1$ (移常數項、兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
3. $\Rightarrow {\sqrt {(x+1)^{2}}}={\sqrt {4}}$ (等號左邊配方、兩邊同開根號)
4. $\Rightarrow |x+1|=2$ (開根號之後要加上絕對值)
5. $\Rightarrow x=1,-3$

公式解

把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c，並代入$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$以求解。

• ${\frac {1}{2}}x^{2}-6x+{\frac {11}{2}}=0$

從以上一元二次方程的判別式$b^{2}-4ac=36-4({\frac {1}{2}})({\frac {11}{2}})=36-11=25$，我們可以輕鬆解得x=11, 1。

• 而如果$0.5x^{2}-6x+55.5=0$？

從以上一元二次方程的判別式 $b^{2}-4ac=36-4(0.5)(55.5)=36-111=-75$，我們可以發現$36-111=-75$小於0，我們可以說本題無實根。

證明

• 1. $ax^{2}+bx+c=0$
  2. $\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ (兩邊同除a)
  3. $\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$ (移常數項)
  4. $\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}=-{\frac {c}{a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}$ (兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
  5. $\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=-{\frac {c}{a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}$ (等號左邊配方)
  6. $\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ (等號右邊通分)
  7. $\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

例題

• 基本1. x²=16
• 基本2. x²-x=30
• 基本3. 4x²+4x+4=3
• 基本4. x²+36x-396=11x
• 基本5. x²-10x+36=636

答案

基本1. x2=16 x=±4 x=4 , -4 基本2. x2-x=30 (x-6)(x+5)=0 x=6 , -5 基本3. 4x2+4x+4=3 4x2+4x+1=0 (2x+1)2=0 x= -0.5 (重根) x=-0.5 , -0.5 基本4. x2+36x-396=11x x2+(36-11)x-396=0 x=-36 , 11 基本5. x2-10x+36=636 x2-10x+(36-636)=0 系數a=1,b=-10,c=-600代入公式解 x=30 , -20

注釋

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一元二次方程