国中数学/一元二次方程式

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

一元二次方程式是一个只有一个未知数、最高次数是二次的方程式,基本的公式为

其中,是二次项,是一次项,是常数项。是一个重要条件,否则该式的最高次数就不会是二次[注 1]。当然,一元二次方程式的解有时会出现“无实根”[注 2]的情况。

解方程式[编辑]

因式分解[编辑]

使用因式分解来解一元二次方程式的重要关键是:若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0 。

  • 没有常数项:
    1. (提出公因式)
    2. (若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0)
  • 没有一次项:
    1. (移常数项)
    2. (两边各开根号)
    3. [注 3]
  • 完整式:
    1. (使用十字交乘法)
    2. (若 ab=0 ,则 a=0 或 b=0)
  • 完整式 (完全平方式):
    1. [注 4]

配完全平方式[编辑]

参见:一元二次多项式的配方法

配完全平方式,简称配方法,是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的过程。

简单来说就是像这样的式子,其中“一次项系数一半的平方”是指一次项系数除2再平方,如一次项系数是4,那就是要两边同加上才能配方。

  1. (移常数项、两边同加“一次项系数一半的平方”)
  2. (等号左边配方、两边同开根号)
  3. (开根号之后要加上绝对值)

公式解[编辑]

把二次项系数当作a、一次项系数当b、常数项当c,并代入以求解。

从以上一元二次方程的判别式,我们可以轻松解得x=11, 1。

  • 而如果

从以上一元二次方程的判别式 ,我们可以发现小于0,我们可以说本题无实根。

证明[编辑]

    1. (两边同除a)
    2. (移常数项)
    3. (两边同加“一次项系数一半的平方”)
    4. (等号左边配方)
    5. (等号右边通分)

例题[编辑]

Crystal Clear action edit

  • 基本1. x2=16
  • 基本2. x2-x=30
  • 基本3. 4x2+4x+4=3
  • 基本4. x2+36x-396=11x
  • 基本5. x2-10x+36=636
答案

Crystal Clear Password

  • 基本1.
    • x2=16
    • x=±4
    • x=4 , -4
  • 基本2.
    • x2-x=30
    • (x-6)(x+5)=0
    • x=6 , -5
  • 基本3.
    • 4x2+4x+4=3
    • 4x2+4x+1=0
    • (2x+1)2=0
    • x= -0.5 (重根)
    • x=-0.5 , -0.5
  • 基本4.
    • x2+36x-396=11x
    • x2+(36-11)x-396=0
    • x=-36 , 11
  • 基本5.
    • x2-10x+36=636
    • x2-10x+(36-636)=0
    • 系数a=1,b=-10,c=-600代入公式解
    • x=30 , -20


注释[编辑]

  1. 任何数乘以0都为0-包括X2
  2. 即解为虚数。国中课程中亦可写成“无解”
  3. 这里亦可表示成x=±5
  4. 这里亦可表示成x=5 (重根)
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目: