本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係,請參見第五冊 1-5 三角比。
圖一。此為一直角三角形。
圖二。由三個正方形組成。每個方格邊長皆為1cm。
有一個
為直角三角形,如圖一。∠
為該三角形之直角,其鄰邊
和
被稱為直角三角形的「股」,對邊
被稱為直角三角形的「斜邊」。
請看圖二,每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形,分別為
、
、
,而其中還有一個以
、
、
三線段組成的直角
。
仔細觀察會發現:正方形
和
面積的和與
相同。
由上面的觀察可得出:
正方形
面積+正方形
面積=正方形
面積
而若將直角
拉出,並令兩股分別為
、斜邊為
,則:
此即為畢氏定理,也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等,為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。
經過移項後也可以寫成
或
經過開根號後還可以寫成
、
、
畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等,是指符合畢氏定理的
三數。常見
互質的畢氏數有:
圖三。平面座標上求兩點距離。
今有三個點
在直角座標平面上,如圖三。若要求
點和
點的距離,即為求
,可以用這個方法:
1.做兩直線分別通過
點和
點並分別平行兩軸交於P點
2.做
此時形成一個直角
,即可使用畢氏定理



而
點的
座標必為
其中一點的
座標,
點的
座標必為
中另一點的
座標,因此公式可以改寫成

此即為兩點距離公式。
將
點座標帶入可得
同理,若要求
,則將
點座標帶入得
習題圖一
|
習題圖二
|
1.如習題圖一,已知
,
,
,則
(A)
(B)
(C)
(D) 
顯示/隱藏該題解答及解析
解析圖一
2.承上題,四邊形
的面積為多少平方單位?
(A)
(B)
(C)
(D) 
顯示/隱藏該題解答及解析
答案:(B)
解析:
四邊形ABCD面積

故選(B)。
解析圖一
3.如圖,小名拿著3.5m的梯子,在離牆2.8m處斜放於牆邊,唯恐梯子下滑,他又將梯腳往牆的方向推近0.7m,則梯頂上移了多少m?
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
顯示/隱藏該題解答及解析
答案:(C)
解析:

故選(C)。
1.有一個周長為36公分的等腰三角形,其腰長為11公分,求此三角形的面積。
三角形的面積=底×高÷2
底邊的長度,用11減掉36兩次:
36-11-11=14公分
底邊上的高將底邊分成相等的兩段,一段為7公分,因其腰長為11公分,依畢氏定理,得:
高=
公分
面積=
平方公分。