国中数学/国中数学八年级/2-3 毕氏定理

　2-2 根式的运算

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国中数学八年级
2-3 毕氏定理

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3-1 利用提公因式作因式分解　

本单元将介绍毕氏定理。关于其他直角三角形边长关系，请参见第五册 1-5 三角比。

直角三角形的两股及斜边

定义

有一个 $\triangle ABC$ 为直角三角形，如图一。∠ $ACB$ 为该三角形之直角，其邻边 $a$ 和 $b$ 被称为直角三角形的“股”，对边 $c$ 被称为直角三角形的“斜边”。

股及斜边的关系

请看图二，每个方格边长皆为1公分。该图有3个正方形，分别为 $ABCG$ 、 $GEFG$ 、 $GHIA$ ，而其中还有一个以 ${\overline {AD}}$ 、 ${\overline {DG}}$ 、 ${\overline {AG}}$ 三线段组成的直角 $\triangle ADG$ 。
仔细观察会发现：正方形 $ABCG$ 和 $GEFG$ 面积的和与 $GHIA$ 相同。

毕氏定理

由来

由上面的观察可得出：
正方形 $ABCG$ 面积+正方形 $GEFG$ 面积=正方形 $GHIA$ 面积
${\overline {AD}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}={\overline {AG}}^{2}$
而若将直角 $\triangle ADG$ 拉出，并令两股分别为 $a,b$ 、斜边为 $c$ ，则：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c>0)$
此即为毕氏定理，也可以称为毕达哥拉斯定理或勾股定理等，为古希腊数学家毕达哥拉斯所发现。

其他形式

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 经过移项后也可以写成 $c^{2}-b^{2}=a^{2}$ 或 $c^{2}-a^{2}=b^{2}$
经过开根号后还可以写成 ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c$ 、 ${\sqrt {c^{2}-b^{2}}}=a$ 、 ${\sqrt {c^{2}-a^{2}}}=b$

毕氏数

毕氏数也可以称为勾股数或商高数等，是指符合毕氏定理的 $(a,b,c)$ 三数。常见 $a,b,c$ 互质的毕氏数有：
$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(20,21,29)$

平面座标上两点距离

今有三个点 $A(5,1),B(1,4),C(-1,2)$ 在直角座标平面上，如图三。若要求 $A$ 点和 $C$ 点的距离，即为求 ${\overline {AC}}$ ，可以用这个方法：
1.做两直线分别通过 $A$ 点和 $C$ 点并分别平行两轴交于P点 2.做 ${\overline {AC}}$
此时形成一个直角 $\triangle APC$ ，即可使用毕氏定理
${\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow |X_{P}-X_{A}|^{2}+|Y_{P}-Y_{C}|^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{P}-X_{A})^{2}+(Y_{P}-Y_{C})^{2}}}$
而 $P$ 点的 $X$ 座标必为 $A,C$ 其中一点的 $X$ 座标， $P$ 点的 $Y$ 座标必为 $A,C$ 中另一点的 $Y$ 座标，因此公式可以改写成
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{A}-X_{C})^{2}+(Y_{A}-Y_{C})^{2}}}$
此即为两点距离公式。
将 $A,C$ 点座标带入可得 ${\overline {AC}}={\sqrt {37}}$
同理，若要求 ${\overline {AB}}$ ，则将 $A,B$ 点座标带入得 ${\overline {AB}}=5$

习题

1.如习题图一，已知 ${\overline {AB}}=5$ ， ${\overline {BC}}=4$ ， ${\overline {AD}}=2$ ，则 ${\overline {DC}}=?$
(A) ${\sqrt {35}}$ (B) ${\sqrt {37}}$ (C) ${\sqrt {39}}$ (D) ${\sqrt {41}}$
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答案：(B)
解析：
做 ${\overline {AV}}$ ，使四边形 $ABCD$ 分成两个直角三角形 $ABC$ 与 $ADC$ ，如解析图一。
根据毕氏定理，
${\begin{aligned}&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\\\Rightarrow &AC={\sqrt {5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {41}}\\&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41}}^{2}=2^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41-4}}={\overline {DC}}={\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故选(B)。

2.承上题，四边形 $ABCD$ 的面积为多少平方单位？
(A) $2{\sqrt {37}}+10$ (B) ${\sqrt {37}}+10$ (C) $2{\sqrt {41}}+10$ (D) ${\sqrt {41}}+10$
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答案：(B)
解析：
四边形ABCD面积
${\begin{aligned}&=\triangle ABC+\triangle ADC\\&={\frac {4\times 5}{2}}+{\frac {2\times {\sqrt {37}}}{2}}\\&=10+{\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故选(B)。

3.如图，小名拿著3.5m的梯子，在离墙2.8m处斜放于墙边，唯恐梯子下滑，他又将梯脚往墙的方向推近0.7m，则梯顶上移了多少m？
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案：(C)
解析：
${\begin{aligned}&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8)^{2}}}=2.1\\&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8-0.7)^{2}}}={\sqrt {(3.5)^{2}-(2.1)^{2}}}=2.8\\&2.8-2.1=0.7(m)\end{aligned}}$
故选(C)。

应用

1.有一个周长为36公分的等腰三角形，其腰长为11公分，求此三角形的面积。

三角形的面积=底×高÷2

底边的长度，用11减掉36两次：

36－11－11＝14公分

底边上的高将底边分成相等的两段，一段为7公分，因其腰长为11公分，依毕氏定理，得：

高= ${\sqrt {11^{2}-7^{2}}}={\sqrt {72}}=6{\sqrt {2}}$ 公分

面积= ${\frac {14\times 6{\sqrt {2}}}{2}}=42{\sqrt {2}}$ 平方公分。