國中數學/國中數學八年級/2-3 畢氏定理

　2-2 根式的運算

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國中數學八年級
2-3 畢氏定理

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3-1 利用提公因式作因式分解　

本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係，請參見第五冊 1-5 三角比。

直角三角形的兩股及斜邊

定義

有一個 $\triangle ABC$ 為直角三角形，如圖一。∠ $ACB$ 為該三角形之直角，其鄰邊 $a$ 和 $b$ 被稱為直角三角形的「股」，對邊 $c$ 被稱為直角三角形的「斜邊」。

股及斜邊的關係

請看圖二，每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形，分別為 $ABCG$ 、 $GEFG$ 、 $GHIA$ ，而其中還有一個以 ${\overline {AD}}$ 、 ${\overline {DG}}$ 、 ${\overline {AG}}$ 三線段組成的直角 $\triangle ADG$ 。
仔細觀察會發現：正方形 $ABCG$ 和 $GEFG$ 面積的和與 $GHIA$ 相同。

畢氏定理

由來

由上面的觀察可得出：
正方形 $ABCG$ 面積+正方形 $GEFG$ 面積=正方形 $GHIA$ 面積
${\overline {AD}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}={\overline {AG}}^{2}$
而若將直角 $\triangle ADG$ 拉出，並令兩股分別為 $a,b$ 、斜邊為 $c$ ，則：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}(a,b,c>0)$
此即為畢氏定理，也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等，為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。

其他形式

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 經過移項後也可以寫成 $c^{2}-b^{2}=a^{2}$ 或 $c^{2}-a^{2}=b^{2}$
經過開根號後還可以寫成 ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c$ 、 ${\sqrt {c^{2}-b^{2}}}=a$ 、 ${\sqrt {c^{2}-a^{2}}}=b$

畢氏數

畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等，是指符合畢氏定理的 $(a,b,c)$ 三數。常見 $a,b,c$ 互質的畢氏數有：
$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(20,21,29)$

平面座標上兩點距離

今有三個點 $A(5,1),B(1,4),C(-1,2)$ 在直角座標平面上，如圖三。若要求 $A$ 點和 $C$ 點的距離，即為求 ${\overline {AC}}$ ，可以用這個方法：
1.做兩直線分別通過 $A$ 點和 $C$ 點並分別平行兩軸交於P點 2.做 ${\overline {AC}}$
此時形成一個直角 $\triangle APC$ ，即可使用畢氏定理
${\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow |X_{P}-X_{A}|^{2}+|Y_{P}-Y_{C}|^{2}={\overline {AC}}^{2}$
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{P}-X_{A})^{2}+(Y_{P}-Y_{C})^{2}}}$
而 $P$ 點的 $X$ 座標必為 $A,C$ 其中一點的 $X$ 座標， $P$ 點的 $Y$ 座標必為 $A,C$ 中另一點的 $Y$ 座標，因此公式可以改寫成
$\Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{A}-X_{C})^{2}+(Y_{A}-Y_{C})^{2}}}$
此即為兩點距離公式。
將 $A,C$ 點座標帶入可得 ${\overline {AC}}={\sqrt {37}}$
同理，若要求 ${\overline {AB}}$ ，則將 $A,B$ 點座標帶入得 ${\overline {AB}}=5$

習題

1.如習題圖一，已知 ${\overline {AB}}=5$ ， ${\overline {BC}}=4$ ， ${\overline {AD}}=2$ ，則 ${\overline {DC}}=?$
(A) ${\sqrt {35}}$ (B) ${\sqrt {37}}$ (C) ${\sqrt {39}}$ (D) ${\sqrt {41}}$
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答案：(B)
解析：
做 ${\overline {AV}}$ ，使四邊形 $ABCD$ 分成兩個直角三角形 $ABC$ 與 $ADC$ ，如解析圖一。
根據畢氏定理，
${\begin{aligned}&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\\\Rightarrow &AC={\sqrt {5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {41}}\\&{\overline {AC}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41}}^{2}=2^{2}+{\overline {DC}}^{2}\\\Rightarrow &{\sqrt {41-4}}={\overline {DC}}={\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故選(B)。

2.承上題，四邊形 $ABCD$ 的面積為多少平方單位？
(A) $2{\sqrt {37}}+10$ (B) ${\sqrt {37}}+10$ (C) $2{\sqrt {41}}+10$ (D) ${\sqrt {41}}+10$
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答案：(B)
解析：
四邊形ABCD面積
${\begin{aligned}&=\triangle ABC+\triangle ADC\\&={\frac {4\times 5}{2}}+{\frac {2\times {\sqrt {37}}}{2}}\\&=10+{\sqrt {37}}\end{aligned}}$
故選(B)。

3.如圖，小名拿著3.5m的梯子，在離牆2.8m處斜放於牆邊，唯恐梯子下滑，他又將梯腳往牆的方向推近0.7m，則梯頂上移了多少m？
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案：(C)
解析：
${\begin{aligned}&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8)^{2}}}=2.1\\&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8-0.7)^{2}}}={\sqrt {(3.5)^{2}-(2.1)^{2}}}=2.8\\&2.8-2.1=0.7(m)\end{aligned}}$
故選(C)。

應用

1.有一個周長為36公分的等腰三角形，其腰長為11公分，求此三角形的面積。

三角形的面積=底×高÷2

底邊的長度，用11減掉36兩次：

36－11－11＝14公分

底邊上的高將底邊分成相等的兩段，一段為7公分，因其腰長為11公分，依畢氏定理，得：

高= ${\sqrt {11^{2}-7^{2}}}={\sqrt {72}}=6{\sqrt {2}}$ 公分

面積= ${\frac {14\times 6{\sqrt {2}}}{2}}=42{\sqrt {2}}$ 平方公分。