國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解

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 2-3 畢氏定理 國中數學八年級
3-1 利用提公因式作因式分解
3-2 利用乘法公式作因式分解 

本章節為了介紹解一元二次方程式的方式,於是我們介紹關於因式的觀念,並且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式[编辑]

定義[编辑]

設三個多項式滿足,則稱的因式。[註 1]

  • 如:,所以都是的因式。

因式的判斷[编辑]

若多項式除以多項式的餘式為,則我們稱的因式。[註 2]

  • 如:的商式為,餘式為,所以的因式。

注意[编辑]

  1. 是任意一個非零常數,則是一個多項式,而且若是一個多項式,則也是一個多項式。又因為,所以都是多項式的因式。故任意一個非零常數多項式的常數倍都是多項式的因式。
    • 例子:(圓周率)都是的因式。
  2. 若三個多項式滿足,則對於一個非零常數,所以若多項式為多項式的因式,則多項式的常數倍也是多項式的因式。
    • 例子:因為的因式,所以也是的因式。

小測

  

1 已知,請問哪一個是的因式?

2 以下哪一個是的因式?


公因式[编辑]

若多項式是多項式的因式,也是多項式的因式,則我們稱多項式是多項式公因式

  • 如:的因式,也是的因式,所以的公因式。

因式分解[编辑]

多項式因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。

如:稱作的因式分解。

已知因式作因式分解[编辑]

是個可遇不可求的方式,不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」,可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。
在二次式當中,如果已知某一個一次因式,只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式,進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的乘積。)

例題
已知多項式有一個因式,請因式分解
,故[註 3]

提出公因式[编辑]

找出多個式子當中的最高次數公因式,並利用分配律將此公因式提出,剩餘部分合併的方法。

例題
因式分解
都有公因式,故提出

注意:

  1. 如果係數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然,不過的係數有公因數,故可以將提出,得到
  2. 除非有特別要求,一般來說,因式的各項係數都要為整數。
例題
因式分解
都有公因式,故提出

[註 4]

注意:

  • 在作因式分解的時候,如果最高項係數為負數,我們會將負號提出。

另外有趣的事情是,有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。

例題
因式分解

都有公因式,故提出

先變號再提公因式[编辑]

接下來來看一個看起來好像沒有公因式,但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。

例題
因式分解

可以改寫成
都有公因式,故提出

注意:

  1. 的奇數次方交換時要加負號,變成的偶數次方交換時不用加負號,直接改成

先提出公因數再因式分解[编辑]

再來底下是一個看起來好像沒有公因式,但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。

例題
因式分解

可以改寫成
都有公因式,故提出

課後習題[编辑]

  1. 以下哪一個多項式為的因式?
    [解答 1]
  2. 以下哪一個多項式為的因式分解?
    [解答 2]
  3. 已知,則以下哪些是的因式?
    [解答 3]
  4. 以下哪些是的因式?
    [解答 4]
  5. 已知的因式,請因式分解[解答 5]
  6. ,則:
    的公因式為何?
    因式分解[解答 6]
  7. 因式分解[解答 7]
  8. 因式分解[解答 8]
  9. 因式分解[解答 9]
  10. 因式分解[解答 10]
  11. 因式分解[解答 11]
  12. 因式分解[解答 12]

注釋[编辑]

  1. 這時,多項式也會被稱作是多項式倍式
  2. 若多項式除以多項式的商式為多項式,餘式為,則不僅僅多項式為多項式的因式,多項式也為多項式的因式。
  3. 多項式的除法請見1-3 多項式的乘除運算
  4. 關於這裡的計算,請見七年級教材3-1 一元一次式

習題解答[编辑]

  1. (B)。,故選(B)。
  2. (A)。
  3. 是。
  4. 是。

課外補充[编辑]

分組分解[编辑]

彼此之間並沒有公因式,但是如果分成兩個部分

可以改寫成可以改寫成

這時有公因式,可以提出這個公因式:

這樣的作法叫做「分組分解」。