國中數學/絕對值

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一個數的絕對值代表這個數在數線所代表的點與原點$0$的距離。

如$3$與原點的距離為$3$，所以$3$的絕對值為$3$。

$-3$與原點的距離為$3$，所以$-3$的絕對值為$3$。

絕對值的符號

一個數$a$的絕對值我們記作為$|a|$。

如$3$的絕對值為$3$，所以$|3|=3$。

$-3$的絕對值為$3$，所以$|-3|=3$。

絕對值的性質

1. $0$的絕對值為$0$，即$|0|=0$。
2. 任意一個非零的數，其絕對值必定是正數。即若$a\neq 0$，則$|a|>0$。
3. 若一個數的絕對值是$0$，則這個數是$0$。即若$|a|=0$，則$a=0$。
4. 若$a$、$b$是任意兩個數，則$|a|\times |b|=|a\times b|$。
5. 若$a$、$b$是相異兩個數，而且$|a|=|b|$，則$a$、$b$互為相反數。

數線上兩點之間的距離

數線上有兩點$A(a)$、$B(b)$，則$A$、$B$之間的距離${\overline {AB}}$為$|a-b|=|b-a|=$大的數$-$小的數。

例題$1.$數線上有三點$A(-15)$、$B(-2)$、$C(19)$，則：

$(1){\overline {AB}}$的長度為何？$(2){\overline {AC}}$的長度為何？$(3){\overline {BC}}$的長度為何？

解：$(1){\overline {AB}}=|(-15)-(-2)|=|-13|=13$
    $(2){\overline {AC}}=|(-15)-19|=|-34|=34$
    $(3){\overline {BC}}=|(-2)-19|=|-21|=21$

習題

習題$1.$數線上有兩點$A(5)$、$B(-7)$，則${\overline {AB}}$的長度為何？

中點

已知數線上有相異的兩點$A(a)$、$B(b)$，若$C$到$A$、$B$的距離相等，則我們稱$C$為$A$、$B$兩點的中點，也可以稱作${\overline {AB}}$的中點。

$C$為$A$、$B$兩點的中點，則${\overline {AC}}={\overline {BC}}$。

例題$2.$數線上有三點$A(-10)$、$B(12)$、$C(1)$，檢查$C$點是否為${\overline {AB}}$的中點。

解：因為${\overline {AC}}=|(-10)-1|=|-11|=11$，${\overline {BC}}=|12-1|=|11|=11$，所以${\overline {AC}}={\overline {BC}}$，即$C$點是${\overline {AB}}$的中點。

中點的坐標

已知數線上有相異的兩點$A(a)$、$B(b)$，$C$為$A$、$B$兩點的中點，則$C$點的坐標為${\frac {a+b}{2}}$。

課外補充

1. (三角不等式)若$a$、$b$是任意兩個數，則$|a|+|b|\geq |a+b|$。
2. (內分點公式)已知$A(a)$、$B(b)$為任意兩相異點，$m$、$n$為正數，$C$在${\overline {AB}}$上且${\overline {AC}}$：${\overline {BC}}=m$：$n$，則$C$點坐標為${\frac {na+mb}{m+n}}$。

參見

• 相反數
• 數線上的幾何(高中數學)