国中数学/绝对值

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一个数的绝对值代表这个数在数线所代表的点与原点$0$的距离。

如$3$与原点的距离为$3$，所以$3$的绝对值为$3$。

$-3$与原点的距离为$3$，所以$-3$的绝对值为$3$。

绝对值的符号

一个数$a$的绝对值我们记作为$|a|$。

如$3$的绝对值为$3$，所以$|3|=3$。

$-3$的绝对值为$3$，所以$|-3|=3$。

绝对值的性质

1. $0$的绝对值为$0$，即$|0|=0$。
2. 任意一个非零的数，其绝对值必定是正数。即若$a\neq 0$，则$|a|>0$。
3. 若一个数的绝对值是$0$，则这个数是$0$。即若$|a|=0$，则$a=0$。
4. 若$a$、$b$是任意两个数，则$|a|\times |b|=|a\times b|$。
5. 若$a$、$b$是相异两个数，而且$|a|=|b|$，则$a$、$b$互为相反数。

数线上两点之间的距离

數線上有兩點$A(a)$、$B(b)$，則$A$、$B$之間的距離${\overline {AB}}$為$|a-b|=|b-a|=$大的數$-$小的數。

例题$1.$数线上有三点$A(-15)$、$B(-2)$、$C(19)$，则：

$(1){\overline {AB}}$的长度为何？$(2){\overline {AC}}$的长度为何？$(3){\overline {BC}}$的长度为何？

解：$(1){\overline {AB}}=|(-15)-(-2)|=|-13|=13$
    $(2){\overline {AC}}=|(-15)-19|=|-34|=34$
    $(3){\overline {BC}}=|(-2)-19|=|-21|=21$

习题

习题$1.$数线上有两点$A(5)$、$B(-7)$，则${\overline {AB}}$的长度为何？

中点

已知数线上有相异的两点$A(a)$、$B(b)$，若$C$到$A$、$B$的距离相等，则我们称$C$为$A$、$B$两点的中点，也可以称作${\overline {AB}}$的中点。

$C$为$A$、$B$两点的中点，则${\overline {AC}}={\overline {BC}}$。

例题$2.$数线上有三点$A(-10)$、$B(12)$、$C(1)$，检查$C$点是否为${\overline {AB}}$的中点。

解：因為${\overline {AC}}=|(-10)-1|=|-11|=11$，${\overline {BC}}=|12-1|=|11|=11$，所以${\overline {AC}}={\overline {BC}}$，即$C$點是${\overline {AB}}$的中點。

中点的坐标

已知數線上有相異的兩點$A(a)$、$B(b)$，$C$為$A$、$B$兩點的中點，則$C$點的坐標為${\frac {a+b}{2}}$。

课外补充

1. (三角不等式)若$a$、$b$是任意两个数，则$|a|+|b|\geq |a+b|$。
2. (内分点公式)已知$A(a)$、$B(b)$为任意两相异点，$m$、$n$为正数，$C$在${\overline {AB}}$上且${\overline {AC}}$：${\overline {BC}}=m$：$n$，则$C$点坐标为${\frac {na+mb}{m+n}}$。

参见

• 相反数
• 数线上的几何(高中数学)